Общие методы решения уравнений

1.

Общие методы
решения уравнений

2. Цели урока:

Рассмотреть общие методы
решения уравнений.
Научиться применять эти методы
при решении уравнений.
Формировать навыки применение
наиболее рациональных способов
решения уравнений.

3. Рассмотрим уравнения:

1) х² - 2 х = 0;
2) sin²x + sinx = 0;
3) 7
49;
2
4) log 2 x 4 log 2 x 3 0;
х 5 х
2
5)
1
х
х

4.

Общие методы решения уравнений:
Замена уравнения
h(f(х))=h(g(х))
Уравнением f(х)=g(х)
Метод разложения
на множители
Метод введения
Новой переменной
ФукциональноГрафический метод
Нетрадиционные
методы

5. Замена уравнения более простым уравнением

Суть метода: от уравнения вида
h(f(х))=h(g(х))
осуществить переход к уравнению вида
f(х)=g(х)

6. Метод применяется:

При решении показательных уравнений:
a
f x
a
g x
a 1; а 0
f(x)=g(x)
При решении логарифмических уравнений:
log a f x log a g x
a 1; а 0
f(x)=g(x)
f x 0
g x 0
При решении иррациональных уравнений:
f(x)=g(x)

7. Метод применяется: Метод нельзя использовать:

Метод применяется:
если функция монотонная
f(x)2 k 1 g(x)2 k 1
f(x)=g(x)
Метод нельзя использовать:
если функция
периодическая
Например,
sin (3x-1) = sin (3x+4)
Например:
(2x+3)3=(5x-9)3
2x+3=5x-9
x=4
Ответ: 4
если функция четная
Например,
(2x+7)2 = (5x -12)2

8. Пример 1:

Решить уравнение
2 х 3 х 1
5
5 0
2 х 3 х 1
5
5;
2
2
2 х 3х 1 1;
2
2 х 3х 0;
х 0; х 1,5.
2
Ответ: 0; 1,5.

9. Пример 2:

log 3 x 3x 5 log 3 7 2 x ;
2
х 3х 5 7 2 х;
2
х х 12 0;
х1 4, х2 3.
2
Проверка :
х 2 3х 5 0,
7 2 х 0.
х 4 посторонний
Ответ : 3.
корень

10.

2. Метод разложения на
множители.
Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить
совокупностью уравнений:
f ( x ) 0;
g ( x ) 0;
h( x ) 0.
Решив уравнения этой совокупности, нужно
взять те их корни, которые принадлежат
ОДЗ исходного уравнения, а остальные
отбросить как посторонние.

11. Пример 3:

Решить уравнение
х 2 3 2
х 6 х 5
2
х 2 3 0;
х 2 6 х 5
1;
2
ln(
х
8
)
0
.
1 ln( х 8) 0.
х 2 9;
2
х
6
х
5
0
;
х 8 1.

12. Пример 3:

х1 7;
х 1; х 5;
3
2
х 4 9.
Проверка : ОДЗ :
х 2 0,
х 8 0.
Из найденных корней этой системе
неравенств удовлетворяет только
х = 9, остальные являются
посторонними для данного уравнения.
Ответ: 9.

13.

3. Метод введения новой
переменной.
Если уравнение f(x)= 0 удалось
преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно
ввести новую переменную u = g(x), решить
уравнение p(u) = 0, а затем решить
совокупность уравнений: g ( x ) u ;
1
g ( x) u ;
2
....
g ( x) un
где и1 , и2 ,… ип - корни уравнения р(и) = 0.

14. Пример 4:

Решить уравнение
1
2
7
.
2
2
х 3х 3 х 3х 1 5
Введём новую переменную
Получим:
у х 3х .
1
2
7
.
у 3 у 1 5
2
Освободившись от знаменателей,
получим:
2
7 у 29 у 4 0;

15. Пример 4:

Найдём корни квадратного
1
уравнения:
у1 4; у 2
7
.
Выполним проверку корней на
выполнение условия:
5(у – 3)(у + 1) ≠ 0.
Оба корня удовлетворяют данному
условию.

16. Пример 4:

Вернёмся к замене переменной и
решим два уравнения:
х 3х 4
2
х 1 1; 4.
2
Ответ:
1; 4;
и
х3
4
1
х 3х .
7
2
21 469
.
14
21 469
.
14

17. 3. Функционально-графический метод.

Чтобы графически решить
уравнение f(x) = g(x) нужно
построить графики функций
у = f(x) и у = g(x) и найти точки их
пересечения. Корнями уравнения
служат абсциссы этих точек.

18.

1) Решить уравнение
х =|x–2|
Пример 5:
1 шаг: построить графики функций у =
х иу=|x–2|
2 шаг: найти абсциссы точек (или точки) пересечения графиков
у х 2
у
х
Ответ: x1 = 1, х2 = 4

19.

2. x3 – 5 + х = 0
Пример 6:
х3 = 5 - х
f(x) = х3
g(x) = 5 - х
х ≈ 1,5
Решением является абсцисса точки
пересечения графиков левой и правой частей
уравнения

20. Пример 7:

Решить уравнение
cos 2 x х 2 х 2.
2
Рассмотрим функцию у = х² - 2х + 2.
Её графиком является парабола,
ветви которой направлены вверх.
В вершине параболы функция
достигает своего наименьшего
значения.

21. Пример 7:

Найдём координаты вершины параболы.
b
х0 ; у 0 у ( х0 );
2a
(1;1)
Для функции у = х² - 2х + 2 у наим. 1.
Функция у = cos 2πx обладает
свойством: у
1.
наиб.

22. Пример 7:

Задача сводится к решению системы
уравнений
х² - 2х + 2 = 1,
cos 2πx = 1.
Решив 1 уравнение получили: х = 1.
Это значение удовлетворяет и 2
уравнению системы,
следовательно, является
единственным корнем заданного
уравнения.
Ответ: 1.

23.

1. Задание
13 № 501689
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку