СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР
СХЕМЫ КОРРЕЛЯТОРА И СФ (предыдущая лекция)
СФ КАК КОРРЕЛЯТОР
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ СФ
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ СФ
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
НОРБЕРТ ВИНЕР (1894−1964)
РУДОЛЬФ ЭМИЛЬ КАЛМАН (RUDOLPH EMIL KALMAN) (19.05.1930)
ФИЛЬТР ВИНЕРА
ФИЛЬТР ВИНЕРА
ФИЛЬТР ВИНЕРА
АНАЛИЗ ФИЛЬТРА ВИНЕРА
ФИЛЬТР ВИНЕРА ДЛЯ СИГНАЛА, НЕКОРРЕЛИРОВАННОГО С АДДИТИВНОЙ ПОМЕХОЙ
ФИЛЬТР ВИНЕРА ДЛЯ СИГНАЛА, НЕКОРРЕЛИРОВАННОГО С АДДИТИВНОЙ ПОМЕХОЙ
ВЫВОДЫ
2.85M
Категория: ФизикаФизика

Согласованный фильтр

1. СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР

2. СХЕМЫ КОРРЕЛЯТОРА И СФ (предыдущая лекция)

СФ

3. СФ КАК КОРРЕЛЯТОР

1.Отношение сигнал/шум на выходе СФ при t=t0 равно
отношению сигнал/шум на выходе коррелятора с опорным
сигналом, равным sвх (t )
2.Сигналы на выходе СФ и коррелятора не совпадают по
форме

4. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ СФ

ПРВ сечения СП:
w( yвых ; t0 )
Yвых (t0 ) sвых (t0 ) Nвых (t0 )
СФ является НЧ фильтром, в котором происходит нормализация
белого шума, т.е. ПРВ СП на выходе СФ является гауссовской
Если на входе СФ действуют сигнал и шум (H1)
МО СП( t=to):
(t0 ) M [Yвых (t0 )] M [sвых (t0 ) Nвых (t0 )]
вых
my
M [sвых (t0 )] M [ Nвых (t0 )] sвых (t0 ) BEsвх
Дисперсия СП:
N0 2
B Es
Dy (t0 ) D[Yвых (t0 )] D[sвых (t0 ) Nвых (t0 )] Dn
вх
вых
вых 2

5. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ СФ

N0 2
H1: my (t0 ) BEs ; Dn
B Es
вых
вх
вых
вх
2
N0 2
:
H0 m
Dn
B Es
yвых (t0 ) 0;
вых
вх
2
w( yвых ; t0 | H1)
w( yвых ; t0 | H0 )
BEs
вх
6
N0 2
B Es
вх
2
6
N0 2
B Es
вх
2
yвых

6. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

7. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

СПМ аддитивного шума
Nвх (t ) :
Gn ( f ) const
вх
Наблюдаемый сигнал:
Yвх (t ) sвх (t ) Nвх (t )
«Выбеливающий» линейный фильтр преобразует окрашенный
шум NВХ(t) в белый шум N1(t)
N0
Gn ( f )
1
2

8. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

Реакция «выбеливающего» фильтра:
Y1 (t ) Lвф [Y (t )] s1 (t ) N1 (t )
s1 (t ) sвх (t )
s1 (t )
sвх (t )
Nвх (t )
СФ для
s1(t)
Выб.
фильтр
N1 (t )
СФ для
sвх (t)

9. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

КЧХ фильтра, согласованного с s1(t)
Hcф1 ( f ) BS1* ( f )exp( j 2 ft1 )
S1 ( f ) F{s1 (t )}
t1
–длительность сигнала
s1 (t )
АЧХ «выбеливающего» фильтра должна удовлетворять условию:
2
Cвф
(f
N0
)Gn ( f )
вх
2
Свф ( f )
N0
2Gn ( f )
вх

10. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

Пример. Найти KЧХ фильтра, преобразующего в белый шум СП с
СПМ
Gnвх ( f )
2
2 4 2 f 2
2
2 2
N
N
(
4
f )
2
0
0
Свф ( f )
2Gn ( f )
2 2
вх
H вф ( f )
N0
( j 2 f )
4

11. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

Спектральная плотность сигнала на выходе «выбеливающего»
фильтра:
S1 ( f ) Hвф ( f )Sвх ( f )
КЧХ фильтра, согласованного с s1(t) (шум - белый)
Нсф1 ( f ) BS1* ( f ) exp( j 2 ft1 )
*
*
BHвф
( f ) Sвх
( f ) exp( j 2 ft1 )
КЧХ фильтра, согласованного с sвх(t) ) (шум - небелый)
2
*

(
f
)
S
Hсф ( f ) Hвф ( f ) Hсф1 ( f )
вф
вх ( f )exp( j 2 ft1 )

12. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

Вывод: КЧХ СФ не зависит от ФЧХ выбеливающего фильтра
N0
*
Hсф ( f ) B
Sвх
( f )exp( j 2 ft1 )
2Gn ( f )
вх
2
Свф
(f)
Отношение сигнал/шум:
2
qсф
2 Es
1
N0
Es
1
| Hвф ( f ) Sвх ( f ) |2 df

13. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Критерий: минимум среднего
квадрата ошибки

14. НОРБЕРТ ВИНЕР (1894−1964)

Американский учёный, выдающийся математик
и философ, основоположник кибернетики и
теории искусственного интеллекта.
Во время второй мировой войны перед
американским математиком Н. Винером встала
задача отделения полезного сигнала от шума
при решении задач автоматизации систем ПВО,
использующих радиолокационную технику.
В 1942 г. Н. Винер решил эту задачу, допустив что искомая система
должна быть линейной с постоянными параметрами, время
наблюдения бесконечно, входной и желаемый выходной сигналы
системы являются стационарными и стационарно связанными
случайными процессами, система минимизирует средний квадрат
ошибки между желаемым и реальным выходными сигналами.
В 1942-м году сотрудник Винера Джулиан Бигелоу (Julian Bigelow)
построил прототип прибора, позволявшего следить за самолетом в
течение десяти секунд и предсказывать затем его местонахождение
двадцатью секундами позже

15. РУДОЛЬФ ЭМИЛЬ КАЛМАН (RUDOLPH EMIL KALMAN) (19.05.1930)

Фильтра Калмана (конец 1958-го — начало
1959) - эффективный рекурсивный фильтр.
Когда Калман придумал свой фильтр, то
встретился с таким скептицизмом, что был
вынужден опубликовать первые работы о
нем в журнале, связанном с механикой,
хотя сам занимался электротехникой.
Основываясь на предшествующих работах Винера, Колмогорова,
Шеннона и др. Калман разработал технику оценки вектора состояния
системы управления с использованием неполных и неточных
(зашумленных) измерений, используемую в частности, в системах
навигации.
Широко используется в инженерных и эконометрических
приложениях: от радаров и систем технического зрения до оценок
параметров макроэкономических моделей

16. ФИЛЬТР ВИНЕРА

17. ФИЛЬТР ВИНЕРА

1. Априорная информация
Наблюдаемый сигнал:
X(t)
Y (t ) [ X (t ), N (t )], t
N(t)
Канал
Xˆ (t )
Пр. У
X(t) и N(t) стационарно связанные (необязательно
гауссовские) СП с нулевыми математическими ожиданиями.
Ky( ) и Kxy( ) - полагаются известными.

18. ФИЛЬТР ВИНЕРА

2. Критерий оптимальности: минимум
среднеквадратической ошибки оценивания
M [ 2 (t )] M [( X (t ) X (t ))2 ] min
3. Ограничения на синтез ОС: линейный фильтр с
постоянными параметрами
HВ ( f ) CВ ( f )exp( j В ( f ))
hВ ( )

19.

СИНТЕЗ НЕКАУЗАЛЬНОГО
СТАЦИОНАРНОГО ЛФ
X (t )
hВ ( )
hВ ( )Y (t )d
- ИХ, минимизирующая СКО
h( ) hВ ( ) h ( )
- произвольная ИХ ЛС
2
2
M [ (t )] M ( X (t ) (hВ ( ) h ( ))Y (t )d )
2
M ( X (t ) hВ ( )Y (t )d )
M [ 2 (t )] min
M [ 2 (t )]
0
0

20.

СИНТЕЗ НЕКАУЗАЛЬНОГО
СТАЦИОНАРНОГО ЛФ
K xy ( )
hВ ( 1 ) K y ( 1 )d 1
Gxy ( f ) F{Kxy ( )};
Gxy ( f ) HВ ( f )Gy ( f )
hВ ( ) K y ( )
F{hВ ( ) K y ( )} HВ ( f )Gy ( f )
HВ ( f )
Gxy ( f )
Gy ( f )

21. АНАЛИЗ ФИЛЬТРА ВИНЕРА

M [ (t ) ] M [( X (t ) X (t )) ]
2
Dx
2
Gx ( f )df ;
Dx
Gx ( f )df
M [ 2 (t )]min Dx Dx
M [ (t )]min Dx Dx
2
Gy ( f ) | H В ( f ) |2 df
(Gx ( f ) Gy ( f ) | H В ( f ) |2 )df
HВ ( f )
M [ 2 (t )]min
| Gxy ( f ) |2
df
Gx ( f )
Gy ( f )
Gxy ( f )
Gy ( f )

22.

ВЫВОДЫ
Для отыскания оптимальной линейной оценки
необходимо знать только Ky(t) и Kxy(t) (или
Gy(f) и Gxy(f) ).
Для вычисления минимальной
среднеквадратической ошибки также необходимо
знать эти характеристики и Gx(f).
Любые другие статистические характеристики
сигнала и помехи оказываются бесполезными.

23.

ВЫВОДЫ
Для всех гауссовских и негауссовских
процессов, имеющих одинаковые Ky(t), Kx(t) и
Kxy(t) , оптимальный линейный фильтр является
одинаковым и обладает одинаковой
среднеквадратической ошибкой.
Если сообщение , помеха и наблюдаемый
сигнал являются совместно гауссовскими
стационарно связанными СП, то фильтр Винера
является абсолютно оптимальным

24. ФИЛЬТР ВИНЕРА ДЛЯ СИГНАЛА, НЕКОРРЕЛИРОВАННОГО С АДДИТИВНОЙ ПОМЕХОЙ

Оцениваемый процесс X(t) и шум N(t) являются
некоррелированными СП с нулевыми МО и Y (t ) X (t ) N (t )
N(t)
X(t)
+
Y(t)
Xˆ (t )
Пр. У
K y ( ) K x ( ) K ( )
Gy ( f ) Gx ( f ) G ( f )
K xy ( ) M [ X (t )Y (t )]
M [ X (t )( X (t ) N (t ))] Kx ( )
Gxy ( f ) Gx ( f )

25. ФИЛЬТР ВИНЕРА ДЛЯ СИГНАЛА, НЕКОРРЕЛИРОВАННОГО С АДДИТИВНОЙ ПОМЕХОЙ

HВ ( f )
Gyx ( f )
M [ 2 (t )]min
Gx ( f )
HВ ( f )
Gx ( f ) G ( f )
Gy ( f )
| Gyx ( f ) |2
df
Gx ( f )
Gy ( f )
M [ (t )]min
2
Gx ( f )G ( f )
Gx ( f ) G ( f )
df

26. ВЫВОДЫ

1. Поскольку СПМ являются вещественными и четными
функциями, то
- КЧХ фильтра Винера также является вещественной и
четной:
H В ( f ) CВ ( f );
- ФЧХ фильтра Винера тождественно равна нулю на
всех частотах:
( f ) 0.
Фильтр Винера не вносит фазовых искажений в
наблюдаемый сигнал и тем самым максимально сохраняет
форму оцениваемого сигнала.

27.

ВЫВОДЫ
2.
1
H В ( f ) CВ ( f )
1 G ( f ) / Gx ( f )
Gx ( f ) G ( f )
Gx ( f ) G ( f )
HB( f ) 0
HB( f ) 1
Gx(f)
Gn(f)
1
HВ(f)
f
0.5
f

28.

ВЫВОДЫ
3. Импульсная характеристика фильтра Винера является
четной функцией
H В ( f ) H В ( f ) hВ (t ) hВ ( t )
1
hВ(t)
HВ(f)
0.5
f
t

29.

ВЫВОДЫ
4. Величина среднеквадратической ошибки не превышает
дисперсии шума:
M [ (t )2 ]min
1 G
G ( f )
( f
X (t ) Y (t ) X (t ) N (t )
) / Gx ( f )
df
G ( f )df D
M [ (t ) ]min Dn
2
Использование фильтра Винера не может привести к
увеличению среднеквадратической ошибки

30.

ВЫВОДЫ
5.
M [ (t )]min 0
2
- при отсутствии шума;
- СПМ сигнала и помехи не перекрываются на всех
частотах.
Gx ( f )Gn ( f ) 0
G ( f )G ( f )
x
M [ 2 (t )]min
df
G ( f ) G ( f )
x
Gn(f)
Gx(f)
1 при Gx ( f ) 0,
HВ ( f )
0 при Gx ( f ) 0.
1
HВ(f)
f
f

31.

ВЫВОДЫ
6. Если СПМ сообщения и помехи перекрываются,
например, при f1<f<f2 , то СКО фильтрации не равна
нулю.
Ошибка фильтрации возникает как от пропускания помехи
в частотном диапазоне f1<f<f2 , так и от ослабления
сигнала в этом же частотном диапазоне.
Чем выше уровень СПМ помехи в диапазоне перекрытия,
тем сильнее искажение информационного сигнала.
English     Русский Правила