Основы дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ

1. Основы дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.

Лекция 4

2. Дисперсионный анализ позволяет оценить

значимость и долю влияния отдельных
факторов и их взаимодействия на
вариацию того или иного признака;
достоверность различий между средними
по градациям факторов.

3. Общие теоретические предпосылки анализа.

Пример 1. На урожайность растений влияет фактор
А (доза внесения удобрений), тогда
xi x A e
где
А – доля отклонений переменной, связанная с
влиянием данного фактора;
е – остаточная часть отклонения (результат
2
2
2
случайных отклонений).
y
A e
Если выразить в дисперсиях

4. Продолжение. Общие теоретические предпосылки анализа.

Общие теоретические
предпосылки анализа.
Продолжение.
Пример 2. На признак (урожайность) оказывают
влияние 2 фактора А (доза внесения удобрений) и В
(площадь питания растений).
Тогда:
xi x A B AB e
где А (В) – доля отклонения, связанная с влиянием
фактора А (В);
АВ – доля отклонения, связанная со взаимодействием
двух факторов;
е – случайная часть отклонения.
2
2
2
2
2
В дисперсиях:
y
A
B
AB
e

5. Продолжение. Общие теоретические предпосылки анализа.

Общие теоретические
предпосылки анализа.
Продолжение.
Пример 3. На признак (урожайность)
оказывают влияние 3 фактора А (доза
внесения удобрений), В (площадь питания
растений) и С (полив).
В дисперсиях:
2
y
2
A
2
B
2
C
2
AB
2
BC
2
AC
2
ABC
2
e

6. Градации факторов

1)
2)
Градации фактора – это несколько
состояний или уровней одного фактора.
Типы градаций:
фиксированные, например, год
наблюдения, месяц, район
возделывания, сорт и т.д.;
случайные, например, число растений в
семье и т.п.

7. Схемы дисперсионного анализа.

1) по числу факторов;
2) по типу градаций факторов;
3) по сочетанию градаций разных факторов – полные
(градации одного фактора сочетаются с каждой
градацией другого фактора) и иерархические
(градации одного фактора связаны с градациями
другого фактора по иерархической схеме);
4) по числу наблюдений по каждой градации фактора
– равномерные (число наблюдений одинаковое) и
неравномерные (число наблюдений неодинаковое).

8. Ограничения при проведении дисперсионного анализа:

1) число градаций по фактору должно быть
не менее двух;
2) число наблюдений по сочетанию градаций
разных факторов должно быть не менее
двух;
3) дисперсии по градациям факторам
должны быть примерно одинаковыми;
4) распределение величин по градациям
факторов должно соответствовать
нормальному распределению.

9. Нулевая гипотеза (Но)

Но - вся вариация признака является
только случайной и не зависит от
влияния тех или иных факторов.
На – на изменчивость признака влияет тот
или иной фактор или взаимодействие этих
факторов.

10. Общие этапы дисперсионного анализа

1) вычисление сумм квадратов отклонений
(SS);
2) вычисление чисел степеней свободы (df);
3) вычисление средних квадратов (ms);
4) вычисление критерия Фишера (F);
5) определение критических значений
критерия Фишера (F05 и F01);

11. продолжение. Общие этапы дисперсионного анализа

6) определение достоверности влияния факторов;
7) вычисление дисперсий (σ2);
8) вычисление долей влияния факторов (pin);
9) построение таблицы результатов дисперсионного
анализа;
10) вычисление наименьшей существенной разности
(НСР) между средними;
11) сравнение групповых средних.

12. Однофакторный дисперсионный анализ.

in
2
df
SS
F
ms
p01
y
05
A
zyzA
eyAA
Однофакторный дисперсионный
анализ.

13. Суммы квадратов отклонений вариант от средних.

SS y ( xij x ) 2 xij2
x
N
ij
SS A ni ( xi x ) 2
i
2
x
x
2
i
i
ni
N
xi
2
2
SS z ( xij xi ) xij
ni
i j
i
Проверочное действие
2
2
SS y SS A SS z

14. Степени свободы

df y N 1
df A a 1
df z N a
Проверочное действие
df y df A df z

15. Средние квадраты

Факториальный средний квадрат
SS A
(msA) характеризует варьирование
средних по градациям фактора вокруг ms A
df A
средней по комплексу, то есть,
оценивает влияние изучаемого
фактора.
Остаточный средний квадрат (msz)
характеризует варьирование
отдельных наблюдений вокруг средних
SS z
по градациям фактора, то есть,
msz
случайную вариацию. Данный средний
df z
квадрат является мерой случайной
ошибки в дисперсионном комплексе.

16. Критерии Фишера

1)
ms A
FA
msz
2) По таблицам критических значений критерия находят
F05 и F01 на пересечении df1 и df2 .
df1 – столбцы таблицы, которые соответствуют числу
степеней свободы по фактору (dfA)
df2 – сроки таблицы, соответствующие числу степеней
свободы случайной вариации (dfz), на их пересечении
и находится искомое значение критерия Фишера.

17. Критерии Фишера

Если FA>F05 и FA>F01, нулевая гипотеза
отвергается.
Если F05<FA<F01 , то на уровне значимости 05
нулевую гипотезу следует отвергнуть, а на уровне
значимости 01 – следует принять. В этом случае
разумней продолжить экспериментальные
исследования влияния данного фактора.
Если FA<F05 , то нулевая гипотеза об отсутствии
влияния фактора принимается. И на этом
дисперсионный анализ завершается.

18. Дисперсия случайной вариации и факториальная дисперсия

msz
2
e
ms A msz
ni
2
A
Доля влияния факторов
2
p inA A2
y
2
pein e2
y

19. Результаты однофакторного дисперсионного анализа