Решение геометрических задач ГИА №26

1. Решение геометрических задач ГИА №26

2. Характеристика задания

26 задание представляет собой планиметрическую задачу
на вычисление, более сложную по сравнению с задачей 24.
Последнюю можно рассматривать как своего рода
подготовительную задачу: многие идеи и методы,
необходимые для её решения, используются и при решении
задания 26. Значительная часть задач связана с
окружностью.

3. Теория

Свойства вписанных углов:
• Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую
он опирается
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой
• Равные дуги окружности стягиваются равными хордами
Теорема (угол между пересекающимися
хордами). Угол между двумя пересекающимися
хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.

4. Теория

Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между
касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими
дуг.
Теорема . Отрезки касательных
к окружностям, проведенным из
одной точки, равны.
AB=AC

5. Теория

Свойства вписанной окружности:
• В любой треугольник можно вписать окружность
• Центр вписанной окружности лежит на пересечении
биссектрис внутренних углов многоугольника
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен
отношению его площади к полупериметру
• Чтобы в четырехугольник можно было вписать
окружность, он должен быть выпуклым
• В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность,
если суммы его противоположных сторон равны.

6. Теория

Свойства описанной окружности:
• Вокруг любого треугольника можно описать окружность
• В прямоугольном треугольнике центр описанной
окружности лежит на середине гипотенузы
• Радиус R окружности, описанной около треугольника,
равен отношению произведения сторон a, b,
c треугольника к его учетверенной площади
• Радиус окружности, описанной около треугольника, равен
отношению стороны треугольника к удвоенному синусу
противолежащего угла

7. Теория

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на косинус угла между ними.

8. Теория

Свойства трапеции:
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна
их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей,
равен половине разности оснований и лежит на средней
линии.
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка
пересечения продолжений её боковых сторон и середины
оснований лежат на одной прямой.
• Треугольники, образованные при пересечении диагоналей
и лежащие на основаниях трапеции, подобные.
• Треугольники, образованные при пересечении диагоналей
и лежащие на боковых сторонах трапеции, равновеликие

9. Примеры решения задач

10. Примеры решения задач

11. Примеры решения задач

12. Примеры решения задач

13. Примеры решения задач

14. Задачи для самостоятельного решения

1. Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним
образом. Точки A и B лежат на первой окружности,
точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие
касательные окружностей. Найдите расстояние между
прямыми AB и CD.
2. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны
соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7.
Биссектриса угла ADC проходит через середину
стороны AB. Найдите площадь трапеции.
3. В треугольнике ABC известны длины
сторон AB = 36, AC = 48, точка O — центр окружности,
описанной около треугольника ABC. Прямая BD,
перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в
точке D. Найдите CD.

15. Задачи для самостоятельного решения

4. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту,
….проведённую из вершины B, в отношении 5:3, считая от
….точки B. Найдите радиус окружности, описанной около
….треугольника ABC, если BC=8.
5. Углы при одном из оснований трапеции равны 39° и 51°, а
….отрезки, соединяющие середины противоположных
….сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания
….трапеции.

16. Решение задачи №1

17. Решение задачи №2

18. Решение задачи №3

19. Решение задачи №4

20. Решение задачи №5