Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства последовательностей

1. Лекция 5. Числовые последовательности; предел числовой последовательности. Основные элементарные функции. Предел функции при х

→ а, x → ∞, бесконечный
предел.

2.

Последовательность. Предел последовательности. Свойства
последовательностей
Определение. Числовой последовательности.
Если каждому n N можно поставить в соответствие действительное
число xn, то говорят, что задана числовая последовательность {xn}, n=1,2,3,...,
xn- члены числовой последовательности.
1 2
3 4 6
5
f
a, b
c, d
,
функции
как
последовательности,
Числовой
Определение.
натурального аргумента.
Любую функцию, определенную на множестве натуральных чисел,
принимающую свои значения на множестве действительных чисел (функцию
натурального аргумента) будем называть числовой последовательностью.
Члены последовательности- значения функции натурального аргумента.

3.

Пример.
Рассмотрим {xn}={ 1 }, n=1,2,3...
n
Члены этой последовательности
1 1 1 1
1; ; ; ... ;...
2 3 4 n
1
есть значения функции f ( x) в точках x=n.
x
y
Ãåî ì åòðè÷åñêèé ñì û ñë:
xn=1/n
1 2 3 4 5 6
x

4.

Определение. Предела числовой последовательности.
Число а называется пределом числовой последовательности {xn}, если
>0 N (существует номер N ): n>N xn-a < , при этом пишут
lim x n a .
n
Геометрический смысл определения:
В - окрестности т. а лежит бесконечно много членов
последовательности для n>N, а вне этой окрестности лежит лишь конечное
число членов последовательности.
xN
(
xn,n>N
xN +1
a-
a
)
x1
x
a+
Чем больше индекс члена числовой последовательности, тем ближе
точка, отвечающая этому члену последовательности, располагается к точке а.
Определение. Ограниченной числовой последовательности.
Если числа M>0 и N>0 такие, что n>N xn|<M, то говорят, что
{xn}- ограниченная последовательность.

5.

Определение.
Ограниченные
сверху
(снизу)
числовые
последовательности.
Если М и N>0 такие, что: n>N xn<M (xn>M), то говорят, что
числовая последовательность ограничена сверху (снизу).
Если для M>0 N : n>N xn >M, то говорят, что предел числовой
последовательности равен и пишут lim xn .
n
В том случае, если lim xn или предел последовательности {xn} не
n
существует, говорят, что последовательность {xn}- расходится.
Когда lim x n - существует и конечен, то говорят, что числовая
n
последовательность сходится.
Для исследования сходимости последовательностей {xn} используются
достаточные признаки сходимости числовых последовательностей.
Теорема.
Если для последовательности f(n), n=1,2,... f(x), определенная при
x + , такая, что ее значения в точках натурального ряда чисел совпадают со
значениями
числовой
последовательности,
тогда
из
lim f ( x ) lim f ( n ), è
x
n
lim f ( x ) lim f ( n )
x +
n
(числовая последовательность- частный случай функции).
ЗАМЕЧАНИЕ: обратное неверно, т.е.
из lim f (n)
lim f ( x) (не следует).
n
x

6.

Пример.
Рассмотрим
последовательность
lim sin n 0 , но lim sin x =
n
f(n)=sinn .Хотя
предел
ее
равен
0
x
Теорема.
Если для f(n), n=1,2,3... f(1/x), определенная при x 0+0, тогда из
1
1
lim f lim f (n) lim f .
x 0 0 x
n
x 0 0 x
Характеристика последовательностей.
Если для n N
а) xn xn+1,то последовательность не возрастает,
б) xn> xn+1 - последовательность убывает,
в) xn xn+1 - не убывает,
г) xn< xn+1 - возрастает.
Последовательности вида а), б), в), г)- называются монотонными.
Критерий сходимости числовых последовательностей
Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

7.

Понятие предела функций
Если функция y=f(x) определена хотя бы в проколотой окрестности
точки x0, то ее график в этой окрестности можно представить одним из
следующих способов:
y
y
f(x0)
y
A
A=f(x-0)
x0
x
A
x0
x
x0
x
Число А -
Число А -
Значение f(x0)
f(x0) A
Во всех трех случаях существует число А к которому стремятся
значения функции y=f(x) когда x x0, причем его существование не
определяется значением функции y=f(x) в т. x0. Существование числа А
определяется "поведением" функции y=f(x) при x x0 (x x0), т.е. в
окрестности точки x0.
Если такое число А существует, то его называют пределом функции
y=f(x) в т. x0 (при x x0).
f(x0)=A

8.

Определение.
Число А называют пределом функции y=f(x) в т. x0 и при этом пишут А=
lim f(x), если для (любого числа) 0 (сколь угодно малого) (найдется
x x0
число) 0 (зависящее от ) такое, что для x из неравенства: 0 xx0 f(x)-A .
Если же функция определена при любых достаточно больших x R, то ее
график может иметь следующий вид:
y
y
A
x
A
/2
B
- /2
y=arctg x
x
Значит и при достаточно больших х значения функции могут стремиться к
некоторым числам, которые называют пределами функции в бесконечности
(при х , х + , х - ).
Дадим определение и для этих случаев.

9.

Определение.
Число А (В,С) называют пределом функции f(x) при х (х + , х ), и при этом пишут A= lim f ( x) (B= lim f ( x) ,C= lim f ( x) )
x
x
x
если для 0 число N 0 такое, что при x N ( x N , x -N )
выполняется неравенство f(x)-A ( f(x)-B ,
f(x)-C ).
Примечание.
Число А- называют пределом y=f(x) в бесконечности, число В- в + ,
число С- в - .
Среди функций, имеющих предел, есть функции, предел которых равен 0.
Рассмотрим такие функции.