Базовые преобразования проекций, используемые при решении задач начертательной геометрии. (Лекция 6)

1. Раздел №4 Солодухин Е.А.

2. Базовые преобразования проекций, используемые при решении задач начертательной геометрии

2

3.

• Преобразование прямой общего положения в
прямую уровня (построение
дополнительной проекции прямой на
плоскости проекций ей параллельной).
• Преобразование прямой в проецирующую
прямую (построение дополнительной
проекции прямой в виде точки).
• Преобразование плоскости общего
положения в проецирующую плоскость
(построение дополнительной проекции
плоскости в виде линии).
• Преобразование плоскости общего
положения в плоскость уровня (построение
дополнительной проекции плоской фигуры
на плоскости проекций ей параллельной).
3

4.

Практически рассматриваются всего
два варианта преобразования.
• Вариант 1. Переход от общего положения
объекта в параллельное положение по
отношению к выбранной плоскости проекций
- выполняется только на основе прямоугольного
варианта метода проецирования.
• Вариант 2. Переход от заданного положения
объекта в проецирующее положение по
отношению к выбранной плоскости проекций
- может быть выполнено на основе любого из
рассмотренных вариантов метода проецирования.
4

5. Базовая задача № 1.

Построение дополнительной проекции
прямой линии на параллельной ей
плоскости проекций
(Преобразование прямой общего
положения в прямую уровня)
5

6.

Задача решается на основе прямоугольного варианта метода проецирования
несколькими способами:
• Переменой плоскостей проекций - подбором
дополнительной плоскости проекций параллельной заданной прямой.
• Плоскопараллельным перемещением – поворотом прямой до положения параллельного одной
из основных плоскостей проекций (предпочтительно вращением вокруг проецирующей прямой,
как с указанием оси вращения, так и без указания).
6

7. Решение задачи способом перемены плоскостей проекций

7

8.

(П2 П1)
l (AB) - прямая общего положения
8

9.

В качестве примера взята П4 П1 Следовательно, х14 || l 1
Подбирается дополнительная плоскость проекций П4
( П4 || l ) (( П4 П1) (П4 П2))
На эпюре (х14 || l 1) ( х24 || l 2)
9

10.

В2
А2
П
2
х1,2
П1
В1
А1
П1
х1,4
П 4 А4
В4
АВ
Строится дополнительная проекция l (AB) на поле
плоскости П4.
А1А4 х1,4 и В1В4 х1,4 ,
(А2х1,2) = (А4х1,4) и (В2х1,2) = (В4х1,4)
10

11.

Построение дополнительной
проекции прямой линии в виде
точки на основе
дополнительного
прямоугольного варианта
способа проецирования –
перемены (замены) плоскостей
проекций
11

12.

При прямоугольном проецировании прямая является проецирующей, если она перпендикулярна плоскости проекций.
Следовательно, дополнительная плоскость проекций должна быть перпендикулярна заданной прямой
П′ l ,
Но, если прямая l – прямая общего положения,
то и П′ – плоскость общего положения.
Т.е. П′ П1 и П′ П2
Следовательно, чтобы получить проекцию прямой
линии общего положения в виде точки способом
перемены плоскостей проекций, нельзя сразу
подобрать необходимую плоскость проекций.
Данное преобразование выполняется в два этапа.
12

13. 1-й этап Прямая преобразуется в прямую уровня ( П4 II l )  (( П4 П1)  (П4 П2))

1-й этап
Прямая преобразуется в прямую уровня
( П4 II l ) (( П4 П1) (П4 П2))
Это рассмотренная ранее базовая задача №1 на построение
проекции прямой общего положения на плоскости проекций
ей параллельной.
13

14. 2-й этап Из прямой уровня прямая преобразуется в проецирующую прямую ( П5  l )  ( П5 П4 )

2-й этап
Из прямой уровня прямая преобразуется в
проецирующую прямую
( П5 l ) ( П5 П4 )
x4,5 A4B4
(A1B1 , x1,4) = (A5B5 , x4,5)
14

15. Если прямая является прямой уровня, то преобразование в проецирующую прямую выполняется за один этап

Прямая уровня (h или f) параллельна плоскости проекций.
Следовательно, если П′ (h или f), то П′ (П1 или П2), что
удовлетворяет требования способа перемены плоскостей
проекций.
15

16. Базовая задача № 3.

Построение проекции плоскости
в виде линии
(Преобразование плоскости
общего положения в
проецирующую плоскость)
16

17. Построение дополнительной проекции плоскости общего положения в виде прямой линии способом перемены (замены) плоскостей

проекций
17

18.

Так как данный способ преобразования основан на
прямоугольном проецировании, то любая плоскость,
например Т, является проецирующей, если она перпендикулярна плоскости проекций. Следовательно (П4 Т).
Если (П4 Т), то ((П4 l) ; (l ⊂ Т)).
В то же время дополнительная плоскость проекций П4
должна быть проецирующей по отношению к основным
плоскостям проекций П1 или П2 ((П4 П1) (П4 П2))
Следовательно, если (l П4) и ((П4 П1) (П4 П2)),
II П1 l II П2) или (l ≡ h) (l ≡ f )
Следовательно,
если (П4 П1), то (П4 h, h Т) и (x1,4 h1)
если (П4 П2), то (П4 f, f Т) и (x2,4 f2)
то (l
18

19. В качестве примера П4  П1

В качестве примера П4 П1
19

20.

h2
В2
А2
В1
А1
h1
С1
Е1
С4
х1 П1
4
П4
х1 2
П2
П1
С2
Е2
П4 Т( АВС), П4 П1 П4 h
х1,4 h1
В4
А4 Е4 h4
20

21. Базовая задача № 4.

Построение проекции плоской
фигуры на плоскости проекций
ей параллельной
21

22. Решение задачи способом перемены (замены) плоскостей проекций

22

23.

П′ II Т
Так как плоскость Т – плоскость общего положения,
то любая плоскость ей параллельная, в том числе
и проекций П′, также будет плоскостью
общего положения, т.е. П′ П1 и П′ П2, что
противоречит способу перемены (замены)
плоскостей проекций.
Следовательно, задача должна быть решена в два
этапа.
1-й этап.
2-й этап.
П4 Т (базовая задача №3).
П5 II Т.
23

24. В качестве примера 1) П4Т(АВС), П4П1П4h 2) П5 II Т(АВС), П5  П4

В качестве примера
1) П4 Т( АВС), П4 П1 П4 h
2) П5 II Т( АВС), П5 П4
24

25.

А2
h2
С2
В2
В1
А1
h1
Т1
1) П4 Т( АВС), П4 П1 П4 h
х1,4 h1
2) П5 II Т( АВС), П5 П4 х4,5 II Т4
Е2
С1
Е1
х1 П
4 1
П4
П2
х12
П1
Т2
Т4
В4
А4 Е4 h4
С4
В5
П4
х4 ,5 П5
АВС
С5
Т5
А5
25

26. Решение задачи способом вращения вокруг прямой уровня

26

27.

В ходе решения задачи плоская фигура
должна быть повернута вокруг оси,
являющейся прямой уровня плоскости, в
которой расположена заданная фигура,
до положения параллельного плоскости
проекций, параллельно которой
расположена ось вращения.
Практически решение задачи сводится к
повороту какой-либо одной точки или
нескольких точек заданной фигуры (в
зависимости от формы фигуры) до
указанного положения.

28.

В представленном далее примере в
качестве оси вращения взята горизонталь.
Следовательно, заданная фигура должна
быть повернута вокруг выбранной оси до
положения параллельного горизонтальной
плоскости проекций.

29.

В плоскости треугольника АВС
проведена горизонталь h(АЕ),
которая принята как ось вращения i.
h АВС ; i ≡ h
Плоскость АВС должна быть
повернута вокруг оси i до совмещения с плоскостью уровня
Г, в которой располагается ось
вращения.
i Г, Г II П1 ; А′В′С′ Г
А′В′С′ II П1 А′В′С′ АВС
Для выполнения поворота
выбрана вершина В треугольника АВС, которая должна быть
повернута вокруг оси i до
совмещения с плоскостью
уровня Г.
29

30.

Вспомним рассмотренный ранее
метод поворота точки вокруг прямой
уровня

31.

На рисунке ось вращения i является горизонталью
31

32.

Пример:
i II П1
R2
D1
'
х1,2 i2
D2 O2
R1
D1
i1
O4 O1
90 R
,4
способ перемены плоскостей
проекций.
m4
'
D1
х1
D4
Т1
Алгоритм решения.
Задаем плоскость вращения T.
D Т; Т i ; i II П1 Т П1
Т1 i1; D1 Т1
Определяем центр вращения точки А.
Точку О.
О Т; О i О = Т ∩ i
Определяем радиус вращения RD
точки D (RD=ОD), используя
П4≡ Т ; О4D4 ОD
Строим новую горизонтальную
проекцию D1 точки D.
32

33.

1. Вводится плоскость δВ, в которой выполняется поворот точки В вокруг оси i.
2. Способом перемены плоскостей проекций определяется истинная величина
длины радиуса вращения точки В – IRBI.
3. Cтроиться новое положение точки В – В1 и всего треугольника АВС – А1В1С1.
33

34.

Решение задачи способом
совмещения плоскости
общего положения с какойлибо плоскостью проекций
(вращение вокруг следа плоскости)

35.

Вспомним рассмотренный ранее
метод совмещения плоскости
общего положения с плоскостью
проекций путем ее поворота вокруг
следа этой плоскости

36.

x1,2
f 2
12
11 f 1 h 2 i2
Рх
О1
T1
1 1
f 1
h 1 i1
Пример.
Совместить плоскость Р(h0, f0 ) с
горизонтальной плоскостью проекций П1
поворотом вокруг горизонтали h0.
Задаем на плоскости Р точку, например,
точку 1.
1 f0.
Отмечаем ось вращения i.
i h0 .
Задаем плоскость Т – плоскость
вращения точки 1.
1 Т; Т (i h0); (i h0) П1 Т П1
Т1 (i1 h01); 11 Т1
Так как 1 Т, то и после перемещения
точка 1 остается в плоскости Т, т.е. 11 Т
и 111 Т1.
Определяем положение точки 111.
Так Рх12=Рх1 - истинная величина
отрезка, то с помощью циркуля
переносим точку 1 на горизонтальную
проекцию плоскости Т.
Через точки Рх и 111 проводим прямую и
обозначаем f011 – новая проекция
фронтали f0
36

37.

Задана плоскость Р (h°, f°).
Заданы три точки А, В, С, принадлежащие плоскости Р ({А,В,С} P).
А – общее положение; В f°; С h°.
Строятся горизонтальная и фронтальная проекции точек А, В, С.
А Р А hA, hA Р.
Выполняется совмещение плоскости Р с плоскостью проекций П1. (i h°).
В f° В1 f°1, С (i h°) С1 С, А hA А1 hA1

38.

f 2
f 2
В2
В2
А2
x1,2 Px
С2
h2
12
f 1 h 2 i2
h 1 i1
x1,2
11
Px
11
c
А2
f 1 h 2 i2
С2
В1
h1
1
А1
С1 С1
1
h1
В1
h 1 i1
A1
1
f 1
A
А1
1

39. Метрические задачи

40.

Метрическими называются задачи, в ходе
решения которых определяется значение
измеряемой величины – расстояния между
двумя точками (длина отрезка), величины
линейного угла или истинной формы и
размеров плоской фигуры.
При решении метрических задач применяется только прямоугольный вариант метода
проецирования.

41.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Определение истинных величин
Расстояний
Углов
Форм плоских фигур
БЗ №4
Между двумя точками
(длина отрезка)
БЗ №1
Наклона прямой к плоскости
проекций.
БЗ №1
От точки до прямой;
Между параллельными
прямыми;
Между скрещивающимися
прямыми.
БЗ №2
Двугранных углов. БЗ №2
От точки до плоскости;
Между параллельными
плоскостями.
БЗ №3
Наклона плоскости к
плоскости проекций. БЗ №3
Между пересекающимися прямыми;
Между скрещивающимися прямыми;
Между прямой и плоскостью;
Между плоскостями.
БЗ №4
Примечание: БЗ – базовая задача

42.

Базовая
задача
Метрическая задача
№1
Определение истинной величины расстояния между двумя
точками (длины отрезка прямой).
Определение истинной величины угла наклона прямой к плоскости
проекций.
№2
№3
№4
Определение истинной величины расстояния от точки до прямой.
Определение истинной величины расстояния между
параллельными прямыми.
Определение истинной величины расстояния между
скрещивающимися прямыми.
Определение истинной величины двугранного угла.
Определение истинной величины расстояния от точки до
плоскости.
Определение истинной величины расстояния между
параллельными плоскостями.
Определение истинной величины угла наклона плоскости к
плоскости проекций.
Определение истинной величины угла между пересекающимися
прямыми (истинной величины плоской фигуры).
Определение истинной величины угла между скрещивающимися
прямыми.
Определение истинной величины угла между прямой и
плоскостью.
Определение истинной величины угла между двумя плоскостями.