Геометрические характеристики плоских сечений

1. План

Геометрические характеристики плоских сечений
Момент инерции площади
Центробежный момент инерции
Полярный момент инерции
Моменты инерции практически важных сечений
Прямоугольное сечение
Круглое сечение
Трубчатое сечение
Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
Главные оси и главные моменты инерции

2. Геометрические характеристики плоских сечений

Различают следующие характеристики сечений: площадь А, статический
момент площади (SX, или SY ), момент инерции площади (IX, или IY),
центробежный момент инерции площади (IXY).
Под статическим моментом площади относительно некоторой оси
понимается сумма произведений площадей элементарных площадок на
расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси:
SX
YdA
SY
A
A
Y
X
Оси, проходящие через центр тяжести,
называются центральными осями.
dА
XdA
Моменты площади фигуры относительно
центральных осей равны нулю
А
Y
Координаты центра тяжести
XC
X
SY
;
A
SX
YC
A

3.

Геометрические характеристики плоских сечений
Моментом инерции площади относительно оси называется сумма
произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояний
от их центра тяжести до соответствующей оси.
I X Y 2 dA
I Y X 2 dA
A
A
Центробежным моментом инерции называется сумма произведений
площадей элементарных площадок на расстояния от центра тяжести до осей
I XY XYdA
A
Полярным моментом инерции называется сумма произведения площадей
элементарных площадок на квадрат расстояния от центра тяжести до начала
координат
I 2dA
A
A
X Y
2
2
I 2dA X 2 Y 2 dA X 2dA Y 2dA IY I X
2
A
A
A
Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов
инерции относительно взаимно перпендикулярных осей.

4. Моменты инерции практически важных сечений

Прямоугольное сечение
Y
Y
X
dX
dY
dA bdY
Y
h
h
X
X
dA hdX
b
b
I X Y 2 dA
A
h/2
h/2
bh3
2
2
I X bY dY b Y dY
12
h / 2
h / 2
I Y X 2 dA
A
b/2
b/2
hb3
IY hX dX h X dX
12
b / 2
b / 2
2
2

5. Моменты инерции практически важных сечений

Круглое сечение
Трубчатое сечение
d
d
d1
d
d
I 2dA
dA 2 d
dA 2 d
I 2dA
A
A
I P dA 2
2
A
d /2
0
2 d 4 d 4
d
64
32
3
I P d 4
I X IY
2
64
2 d 4 2 d14 d 4 d14 d 4
1 4
I P dA 2 d
1 4
64
62
32 d 32
A
d1 / 2
d /2
2
3
I P d 4
I X IY
1 4
2 64

6. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Координаты текущей точки в новой системе координат равны: XC+X и YC+Y
YС
Y
Осевые моменты инерции
I X YC Y dA Y 2dA 2YC YdA YC2 dA
X
XС
2
A
A
A
A
I X Y 2dAdА
; S X YdA 0; A dA
A
A
A
Y
А
XС
I X I Xc YC2 A
YС
I Y I Yc X C2 A
Центробежные моменты инерции
I XY X X C Y YC dA
A
X
I XY X X C Y YC dA I XcYc X CYC A
XYdA YC XdA X C YdA X CYC dA
A
A
A
A
A
I XcYc XYdA; SY XdA 0; S X YdA 0; A dA
A
A
A
A

7. Изменение моментов инерции при поворот осей

X1 X cos Y sin Y1 Y cos X sin
I X 1 Y cos X sin dA cos 2 Y 2 dA 2 cos sin XYdA sin 2 X 2 dA
2
A
A
A
A
I X 1 I X cos2 IY sin 2 I XY sin 2
cos 2 1 cos 2 2
Y
Y1
X
sin 2 1 cos 2 2
IY 1 X cos Y sin dA IY cos2 I X sin 2 I XY sin 2
2
A
X1
Y1 X1
dА
А
Y
I X1
I X IY I X IY
cos 2 I XY sin 2
2
2
IY 1
I X IY I X IY
cos 2 I XY sin 2
2
2
X
I X 1Y 1
I X IY
cos 2 I XY sin 2
2

8. Главные оси и главные моменты инерции

Главными осями называются оси, относительно которых центробежный
момент инерции равен нулю.
I X 1Y 1
I X IY
cos 2 I XY sin 2
2
I X 1Y 1
I X IY
cos 2 I XY sin 2 0
2
tg 2 0
2 I XY
I X IY
В результате решения трансцендентного уравнения получаем два
значения угла с разницей в /2 следовательно, главных осей две, и они
взаимно перпендикулярны.
I X1
I X IY I X IY
cos 2 I XY sin 2
2
2
dI X
2 I X cos sin 2 IY sin cos 2 I XY cos 2 0
d
Таким образом, главными осями можно считать оси, относительно которых
осевые моменты инерции достигают своих экстремальных (максимального и
минимального) значений.
Моменты инерции относительно главных осей называются главными
моментами инерции.
I м ак, м ин
I X IY 1
2
2
I X IY 2 4 I XY2

9. ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ЛИТЕРАТУРЫ 1.Конспект лекций по дисциплине по дисциплине «Сопротивление материалов» Абзалова Д.А. 2. М. Беляев

Сопротивление материалов.М,2003.-607 с.
3.Дарков А.В. Сопротивление материалов. МЛ: высшая
школа,2005.-354 с
4.Работнов Ю.Н. Механика твердого деформируемого тела М;
Наука,1979.-775 с
5.Писаренько Г.С, Агарев В.А. и др. Сопротивление материалов
1986.-775 с