Геометрические характеристики плоских сечений

1. Лекция

Геометрические характеристики
плоских сечений
1

2. 1. Геометрические характеристики поперечных сечений

А
Сопротивление бруса внешним силам зависит не только от его размеров и
материала, но и от формы поперечного сечения, геометрические свойства
которого выражаются численно посредством геометрических характеристик.
1.1. Площадь поперечного сечения - A
Y
∫∫ dxdy = ∫dA=А
dA = dx∙dy
A
A
dy
dx
Размерность А: [A] = [длина 2] = [ м2]
X
Y
2
dy
3
2
3
0
0
A = ∫∫dxdy = ∫dx ∫dy = x| y| = 6 (ед2 ).
dx
2
3
А
X
0
0
2

3. Геометрические характеристики

А
Геометрические характеристики
Простейшие виды поперечных сечений:
A = b·h
A = ½ b·h
A = πd2/4
A = π D2(1-α2)/4;
α = d/D
A = πd2/8
Сложное сечение
n
1
3
А = Σ Аi = (A1-A2+A3) > 0
i
2
3

4. Геометрические характеристики

А
1.2. Статические моменты поперечного сечения – Sx , Sy
Y
Y
dA
x
x
xc
.C
xc
dA y
y
yc
.c
A yc
X
SX = ∫ y∙dA,
SY = ∫ x∙dA.
>0
< 0 (1)
=0
SX = ∫ y∙dA = A∙ yC
SY = ∫ x∙dA = A∙ xC
dA ·y = dMx
dA ·x =
dMy
X
yC = SX / A
xC = Sy / A (2)
[S] = [длина3]
Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными.
Центральных осей – бесконечное множество.
4
Из (2)
S y, x = 0 для центральных осей

5. Геометрические характеристики

Во многих случаях положение центра тяжести можно определить
непосредственно.Например, если сечение имеет ≥ 2 осей
симметрии:
с·
с·
с·
с·
Если сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести располагается на этой оси, поэтому для нахождения т.С достаточно
найти только одну координату.
Сложное сечение
y
i
∑Sx
YC=
i
1
∑Ai
i
i
∑Sy
(2')
i
X C= ∑A
i
i
2
3
x
5

6. Геометрические характеристики

Сложное сечение разбивается на сечения, центры тяжести которых
известны. Запишем их положение для некоторых сечений.
h
C
C.
·
1/3 h
d
b
h
C
·
0.42 r
C
·
b
6
d

7. Геометрические характеристики

А
1.3. Моменты инерции поперечного сечения – I x , I y , I x y , I p .
y
y
x
x
ρ
dA
y
y
ρ2 = x2 + y2
(*)
dA
x
x
Полярный момент
Осевые моменты
Ix=∫
A
Центробежный момент
y2·dA ;
I y = ∫ x2·dA.
> 0 (3)
I x y = ∫ x y· dA (4)
A
A
[I] = [длина 4]
> 0, = 0, < 0
Iρ = ∫ ρ2 · dA (5)
A
(*)
Iρ = I x + I y
(6)

8. Геометрические характеристики

А
Геометрические характеристики
y
Еще раз о центробежном моменте.
I xy = ∫ xy·dA = ∫ xy·dA + ∫ (-x)y·dA = 0
A
A/2
A/2
Центробежный момент инерции относительно осей, из которых хотя бы одна
является осью симметрии, равен нулю.
Обратное также верно.
Сложное сечение
n
-x +x
y
y
x
y
i
I x, y = ∑ I x, y
i
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
1
Ix = Ix - Ix + Ix
2
Iy = Iy – Iy + Iy
z
3
8

9. Геометрические характеристики

Центральные моменты инерции – моменты относительно
центральных осей. Поскольку центральных осей –
бесконечное множество, центральных моментов также –
бесконечное множество
9

10. Геометрические характеристики

А
1.4. Моменты инерции простейших сечений
1.5. Изменение моментов инерции при преобразовании осей
Параллельный перенос
Y
YC
x
xc
dA
yc
b c.
y
Поворот осей
Yα
XC
a
X
x = xC + b ; (*) y= yC + a; (**)
Дано: Ixc , Iyc, Ixcyc. Ix, Iy, Ixy = ?
c.
dA
xc
Xα
α
yc
Xc
xα = x cos α + y sin α
yα = - x sin α + y cos α
Дано: Ixc , Iyc, Ixcyc.
Ix = ∫
Ixc
A
(7) Ixα = ? Iyα = ? Ixαyα=? (8)
Iy =A∫ x2∙dA = (*) = Iyc + b2∙A
10
Ixy =A∫xy∙dA =(*),(**)=Ixcyc + ab∙A
y2∙dA = (**) =
+ a2∙A
Yc

11. Геометрические характеристики

1.6. Главные оси. Главные моменты.
Главные оси – оси, относительно которых Ixy = 0
yc
Осевые моменты инерции относительно
главных осей называются главными.
xc
Один главный момент инерции – максимален ( Imax ), другой – минимален ( Imin )
С
среди других моментов инерции.
Существует множество
главных осей, но практический интерес
представляют
главные центральные оси – Xc, Yc
и главные центральные моменты I xc, I yc .
В общем случае гл. центр.оси - единственные из
бесконечного числа центральных осей.
Главные центральные моменты «входят» в большинство
расчетных формул

12. Геометрические характеристики

А
Оси симметрии всегда являются главными
центральными осями !
Поэтому, если тело имеет хотя бы одну ось симметрии, нахождение главных центральных осей не представляет трудностей.
В случае отсутствия осей симметрии, нужно провести любые
центральные оси, определить для них центральные моменты
(осевые и центробежный), и затем повернуть эти оси на угол:
у
v
u
С
α)
2Ixy
tg 2α =
Iy - Ix
,
х
и получим оси u,v – главные центральные оси.
12

13. СИЛОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

А
Геометрические характеристики
1.7. Главные центральные плоскости
yC
Плоскость
наименьшей жесткости
xC
С
Плоскость
наибольшей жесткости
z
Для прямоугольника:
Ixc = Imax; Iyc =Imin
Главная центральная плоскость (главная плоскость) –
плоскость, проходящая через продольную ось бруса и главную
центральную ось.
Расчет бруса зависит от ориентации силовой плоскости относительно главных
плоскостей.

14. Геометрические характеристики

А
Прокатные поперечные сечения
Прокатанный профиль – это прокатанный металл с определенной
формой поперечного сечения. Основные виды:
Неравнобокий Равнобокий
Двутавр
Швеллер
уголок
уголок
20 см
С
№20
20 см
С
№20
20 см
С
10 см
С
10
10 см
200 х 100 х11
100×100×80
Сортамент прокатной стали (ГОСТ №… )

15. Геометрические характеристики

Итог по теме «Геометрические характеристики»
Поперечное
сечение
Статический
момент сечения
Центр тяжести
сечения
Центральные оси
Главные
центральные оси
Геометрические характеристики
поперечных сечений
Площади
поперечных
сечений
Моменты инерции
Изменение при ║
переносе осей
Центральные
моменты
Изменение при
повороте осей
Главные
моменты
Главные
центральные моменты
В расчетах на прочность и жесткость
16