Тема. Интерполирование и численное дифференцирование функций
Приближение функций
Приближение функций
Приближение функций
Приближение функций
Приближение функций
Интерполирование функций
Интерполирование функций
Интерполирование функций
Интерполирование функций
Полином Ньютона
Полином Ньютона
Полином Лагранжа
Полином Лагранжа
Численное дифференцирование функций
Полином Ньютона
Полином Ньютона
Полином Ньютона
Полином Ньютона
Полином Лагранжа
Полином Лагранжа
Полином Лагранжа
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
618.50K
Категория: МатематикаМатематика

Интерполирование и численное дифференцирование функций

1. Тема. Интерполирование и численное дифференцирование функций

Приближение функций – замена на
интервале [а, b] исходной функции f (x)
некоторой другой функцией P(x):
n
P x ci i x
i 0
Например: φi(x) = sini(x), φi(x) = xi, и т.д.
Исходные данные: xi [a, b], yi = f (xi), i = 0,
1, …, p, x0 = a, xp = b.

2. Приближение функций

Тогда
f (x) = P(x) + R(x),
где R(x) – остаточный член.
Применение: возможность вычислить f (x)
≈ P(x) при x ≠ xi, если:
1. аналитический вид f (x) неизвестен;
2. функция f (x) имеет сложный вид.

3. Приближение функций

Классификация:
• Интерполяция. Критерий для
определения ci выглядит как P(xi) = yi (p
≥ n, обычно p = n);
• Аппроксимация (p < n). Критерий для
определения ci выглядит как
1
n
n
y P x
i 0
i
i
2
min
ci

4. Приближение функций

Классификация:
• Экстраполяция – возможность
вычислить f (x) ≈ P(x) при x [a, b].

5. Приближение функций

Интерполяция:
y
P(x)
yi
xi
x

6. Приближение функций

Аппроксимация:
y
P(x)
yi
xi
x

7. Интерполирование функций

Постановка задачи:
p=n
Сетка (табличные значения функции):
{xi}: xi [a, b], i = 0, 1, …, n
x0 = a, xn = b
{yi}: yi = f (xi)
Количество узлов – n + 1.

8. Интерполирование функций

Постановка задачи:
Равномерная сетка:
{xi}: xi = x0 + i h, i = 0, 1, …, n
x0 = a, xn = b
xn x0 b a
h
.
n
n
Система линейно-независимых функций:
φi(x)

9. Интерполирование функций

Постановка задачи:
Требуется определить коэффициенты
сi, i = 0, 1, …, n
таким образом, чтобы
Pn(xi) = yi
Для решения будем использовать
степенные полиномы:
n
i x xi , Pn x ci x i .
i 0

10. Интерполирование функций

Постановка задачи:
Для равномерной сетки
x x0
q
,
h
поэтому
n
i q q i , Pn q ci q i .
i 0

11. Полином Ньютона

c x ,..., x , x x x ,
i 1
i
0
i
i
j 0
j
i 1
Pn x x0 ,..., xi x x j
i 0
j 0
n
xi 1 ,..., x j xi ,..., x j 1
Здесь xi ,..., x j

x j xi
разделенные разности j-i-го порядка,
[xi] = yi

12. Полином Ньютона

Для равномерной сетки
i 1
i y0
ci
, i q q j ,
i!
j 0
i y0 i 1
Pn q
q j
i 0 i !
j 0
n
Здесь i y j i 1 y j 1 i 1 y j , 0 y j y j –
конечные разности j-i-го порядка.

13. Полином Лагранжа

ci
yi
xi x j
n
, i x x x j ,
n
j 0
j i
j 0
j i
n
n
n
n
x xj
yi
Ln x n
x x j yi x x
i 0
i 0
j 0
j 0 i
j
x
x
j
i
j
i
j
j 0 i
j i

14. Полином Лагранжа

Для равномерной сетки
ci 1
n i
n
yi
, i q q j ,
i ! n i !
j 0
j i
n
yi
n i
Ln q 1
q
j
i ! n i ! j 0
i 0
j i
n

15. Численное дифференцирование функций

Постановка задачи:
f (x) = P(x) + R(x)
n
P x ci i x
i 0
Определить:
f (k)(x) = (P(x) + R(x))(k) = P(k)(x) + R(k)(x)
P x ci i x
i 0
k
n
k
n
ci i
i 0
k
x

16. Полином Ньютона

Первая производная для неравномерной
сетки:
i 1
Pn x x0 ,..., xi x x j
i 0
j 0
n
i 1 i 1
x0 ,..., xi x xk
i 1
j 0 k 0
k j
n

17. Полином Ньютона

Первая производная для равномерной
сетки:
i
i
1
y0
Pn q
q j
i 0 i !
j 0
n
i
i 1 i 1
1 y0
q k
h i 0 i ! j 0 k 0
k
j
n

18. Полином Ньютона

Вторая производная для неравномерной
сетки:
i 1
Pn x x0 ,..., xi x x j
i 0
j 0
n
i 1 i 1 i 1
x0 ,..., xi x xl
i 2
j 0 k 0 l 0
k j l k
l
j
n

19. Полином Ньютона

Вторая производная для равномерной
сетки:
i
1
i
y0
q j
Pn q
i 0 i !
j 0
1 n i y0 i 1 i 1 i 1
q l
2
h i 2 i ! j 0 k 0 l 0
k j l k
j
l
n

20. Полином Лагранжа

Первая производная для неравномерной
сетки:
n
n
yi
Ln x n
x xj
i 0
jj 0i
x
x
i
j
j 0
j i
n
n
n
yi
n
x xk
i 0
j 0 k 0
x
x
j i k i
i
j
j 0
k j
j i

21. Полином Лагранжа

Первая производная для равномерной
сетки:
n
n
yi
n i
q j
Ln q 1
i ! n i ! j 0
i 0
j
i
n
n
yi
1 n
n i
1
q k
h i 0
i ! n i ! j 0 k 0
j i k i
k j

22. Полином Лагранжа

Вторая производная для неравномерной
сетки:
n
n
yi
Ln x n
x xj
j 0
i 0
x
x
i
j j i
j 0
j i
n
n
n
n
yi
n
x xl
i 0
j 0 k 0 l 0
x
x
j
i
k
i
l
i
j
j 0 i
k j l j
l k
j i

23. Примеры

Полином Ньютона.
f x x
i
x
y
0
0
0
1
1
1
2
4
2
3
9
3
Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4}
Далее строим полином P3(x).

24. Примеры

Полином Ньютона.
Разделенные разности:
i
0
1
2
3
X
0
1
4
9
y
0
1
2
3
[xi,xi+1]
1
1/3
1/5
[xi,..,xi+2]
–1/6
–1/60
xi 1 ,..., x j xi ,..., x j 1
xi ,..., x j
x j xi
[xi,..,xi+3]
1/60

25. Примеры

Полином Ньютона.
i
0
1
2
3
x
0
1
4
9
y
0
1
2
3
[xi,xi+1]
1
1/3
1/5
[xi,..,xi+2]
–1/6
–1/60
[xi,..,xi+3]
1/60
Результат:
1
1
P3 x 0 1 x 0 x 0 x 1 x 0 x 1 x 4
6
60
1
1
x x x 1 x x 1 x 4
6
60

26. Примеры

Полином Ньютона.
1
1
P3 x x x x 1 x x 1 x 4
6
60
Проверка:
1
P3 0 0; P3 1 1; P3 4 4 4 3 4 2 2;
6
1
1
P3 9 9 9 8 9 8 5 9 12 6 3
6
60

27. Примеры

Полином Ньютона.
1
1
P3 x x x x 1 x x 1 x 4
6
60
Значения в узлах результирующей сетки:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P3 1 1 4
4 4 6 4 4 60 4 4 4
9 9 1 9 9 1 9 9 9
P3 1 1 4
4 4 6 4 4 60 4 4 4
75
0.293
256
435
1.699
256
25 25 1 25 25 1 25 25 25
515
P3
1 1 4
2.012
4 4 6 4 4
60 4 4
4
256

28. Примеры

Полином Лагранжа.
f x x
i
x
y
0
0
0
1
1
1
2
4
2
3
9
3
Результирующая сетка: {1/4, 9/4, 25/4}
Далее строим полином L3(x).

29. Примеры

Полином Лагранжа.
i
x
y
0
0
0
ci
1
1
1
2
4
2
3
9
3
yi
x x
n
j 0
j i
i
j
0
1
1
c0
0; c1
;
0 1 0 4 0 9
1 0 1 4 1 9 24
2
1
3
1
c2
; c3
4 0 4 1 4 9 30
9 0 9 1 9 4 120

30. Примеры

Полином Лагранжа.
1
1
1
c0 0; c1 ; c2 ; c3
24
30
120
Результат:
1
L3 x 0 x 1 x 4 x 9 x 0 x 4 x 9
24
1
1
x 0 x 1 x 9
x 0 x 1 x 4
30
120
1
1
1
x x 4 x 9 x x 1 x 9
x x 1 x 4
24
30
120

31. Примеры

Полином Лагранжа.
1
1
1
L3 x
x x 4 x 9 x x 1 x 9
x x 1 x 4
24
30
120
Проверка:
1
L3 0
0 0 4 0 9
1
1
0 0 1 0 9
0 0 1 0 4 0
24
30
120
1
1
1
L3 1 1 1 4 1 9 1 1 1 1 9
1 1 1 1 4 1
24
30
120
1
1
1
L3 4
4 4 4 4 9 4 4 1 4 9
4 4 1 4 4 2
24
30
120
1
1
1
L3 9 9 9 4 9 9 9 9 1 9 9
9 9 1 9 4 3
24
30
120

32. Примеры

Полином Лагранжа.
1
1
1
L3 x
x x 4 x 9 x x 1 x 9
x x 1 x 4
24
30
120
Значения в узлах результирующей сетки:
1 1 1 1
1
1 1 1 1
L3 4 9 1 9
4 24 4 4
4
30 4 4 4
1 1 1 1
75
9 1 9 9
9
1 4
; L3 4 9
120 4 4 4
256
4 24 4 4
4
1 9 9 9
1 9 9 9
435
1 9
1 4
30 4 4 4
120 4 4 4
256

33. Примеры

Полином Лагранжа.
1
1
1
L3 x
x x 4 x 9 x x 1 x 9
x x 1 x 4
24
30
120
Значения в узлах результирующей сетки:
25 1 25 25
25
1 25 25 25
L3 4 9 1 9
4 24 4 4
4
30 4 4
4
1 25 25 25
515
1 4
120 4 4
4
256

34. Примеры

Точность интерполяции:
x
P(x)
L(x)
f (x)
δ
1/4
9/4
25/4
0.293
1.699
2.012
0.293
1.699
2.012
0.5
1.5
2.5
41.4%
13.3%
19.5%
English     Русский Правила