Динамика
Законы динамики.
4) Принцип суперпозиции.
Дифференциальные уравнения движения точки.
Дифференциальные уравнения движения точки в декартовой системе координат.
Дифференциальные уравнения движения точки в осях естественного трехгранника.
Задачи динамики
Динамика системы
Масса. Центр масс.
Дифференциальные уравнение движения системы
Теорема об изменении количества движения
Теорема о движении центра масс системы
Теорема об изменении момента количества движения
Момент количества движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Моменты инерции
Осевой момент инерции точки
Полярный момент инерции точки
Центробежные моменты инерции
Теорема об изменении момента количества движения точки
Дифференциальное уравнение движения твердого тела относительно неподвижной оси
Работа силы
Прямолинейное перемещение тела.
Перемещение тела по кривой.
Работа силы, постоянной по величине и направлению.
Работа силы тяжести.
Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
Пример
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия точки
Кинетическая энергия системы. (Теорема Кёнига)
Кинетическая энергия твёрдого тела
При поступательном движении:
При вращательном движении:
При плоскопараллельном движении:
Пример
Теорема об изменении кинетической энергии системы
Принцип Даламбера или Принцип кинетостатики
Главный момент и главный вектор сил инерции
Вращательное движение.
Динамические реакции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Аналитическая механика
Аналитическая механика
Виртуальные (возможные) перемещения
Классификация связей
Виртуальная работа
Идеальные связи
Использование принципа виртуальных перемещений для определения реакций связей
Общее уравнение динамики
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА II РОДА
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НЕОБХОДИМО:
3.81M
Категория: ФизикаФизика

Динамика. Законы динамики

1. Динамика

2.

Динамика - раздел теоретической
механики, в котором изучаются
движение тел под действием
приложенных сил

3. Законы динамики.

4.

1)
І-ый закон Ньютона
Если на тело не действуют силы,
то оно находится либо в
состоянии покоя либо сохраняет
состояние равномерного
прямолинейного движения.

5.

2)
ІІ-ой закон Ньютона
Ускорение движения тела
пропорционально действующей
на него силе
ma = F

6.

3)
ІІІ-ий закон Ньютона
Каждому действию
соответствует равное и
противоположно направленное
противодействие

7. 4) Принцип суперпозиции.

Если на тело действует
несколько сил, то ускорение
движения тела будет
пропорционально одной силе,
равной их геометрической сумме

8.

Fn
M
a
F2
F1
Главный вектор системы сил
F = F1 + F 2 + … + F n

9. Дифференциальные уравнения движения точки.

10. Дифференциальные уравнения движения точки в декартовой системе координат.

11.

z
M (x,y,z)
F1
F2
0
x
Fn
z
x
y
y

12.

ma = F1 + F2 + … + Fn
Проецируем векторное равенство на
оси декартовой системы координат
^
ox: ma cos( a, i ) = F1x +…+ Fnx
^
oy: ma cos( a, j ) = F1y +…+ Fny
^
oz: ma cos( a, k ) = F1z +…+ Fnz

13.

Проекции ускорений:
^
a ·cos( a, i ) = ax = x
^
a ·cos( a, j ) = ay = y
^
a ·cos( a, k ) = az = z

14.

дифференциальные уравнения
движения точки в декартовой с. к.
S Fkx
m y = S Fky
m z = S Fkz
mx=

15. Дифференциальные уравнения движения точки в осях естественного трехгранника.

16.

b
M
n
F1
t
Fn
F2

17.

t - единичный вектор касательной
n - единичный вектор главной
нормали
b - единичный вектор бинормали
Запишем ІІ-ой закон Ньютона:
ma = F1 + F2 + … + Fn

18.

Проецируем это равенство на оси
естественного трехгранника:
ma cos( a,
^
t ) = F1 cos(F1, t ) +
^
^
^
^
^
...
ma cos( a, n ) = F1 cos(F1, n ) +
...
ma cos( a, b ) = F1 cos(F1, b ) +
...

19.

Проекции ускорений будут равны:
d
S
a cos( a, t ) = 2
dt
2
V
^
a cos( a, n ) =
2
^
r
^
a cos( a, b ) = 0
- тангенсальная
составляющая
- нормальная
составляющая
- т.к. вектор ускорения
лежит в соприкасающейся
плоскости

20.

дифференциальные уравнения
движения точки в осях
естественного трехгранника
d
S
m 2 =
dt
2
V
m
=
2
r
S Fk cos( Fk , t )
^
S Fk cos( Fk , n )
^

21. Задачи динамики

22.

Прямая задача
По известной массе,
известному закону движения
требуется определить
результирующую силу,
действующую на тело.

23.

Дано:
m
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
Найти:
F-?

24.

Решение:
m x = Fx
m y = Fy
m z = Fz
F = Fx + Fy + Fz - модуль силы
2
2
2

25.

Направление задается
направляющими косинусами:
F
x
cos(F, x ) =
F
F
y
^
cos(F, y ) =
F
F
z
^
cos(F, z ) =
F
^

26.

Обратная задача
По известной массе, известным
силам, известным начальным
условиям требуется определить
закон движения.

27.

d
x
m 2 = Fx (t, x, y, z, x, y, z)
dt
2
d
y
m 2 = Fy (t, x, y, z, x, y, z)
dt
2
d
z
m 2 = Fz (t, x, y, z, x, y, z)
dt
2

28.

Для того, чтобы получить
закон движения,
необходимо дважды
проинтегрировать каждое
уравнение, используя
начальные условия (но не
всякий интеграл берется).

29.

mg
H
mg
y

30.

t = 0, y0 = 0, y0 = 0, y - ?
Запишем закон движения в проекции
на ось оу:
m y = S Fky
т.е.
Решим дифференциальное
уравнение:
Т.к.
y = Vy , то
m y = mg
y=g
dVy = g
dt

31.

t
Vy
dVy = g dt
0
0
Vy = g t
t
y
dy = g t
dt
=>
dy = g t dt
0
0
gt
y= 2
2

32. Динамика системы

33.

Внешние силы F
e
- силы, действующие на тела
данной системы со стороны тел,
не входящих в данную систему
Внутренние силы F
i
- силы взаимодействия между
телами данной системы.

34.

Главный вектор внутренних
сил системы равен нулю.
Главный момент внутренних
сил системы равен нулю.

35. Масса. Центр масс.

36.

n
Масса системы М = S mk
k=1
- сумма масс тел, входящих в
систему.
Центр масс системы
- геометрическая
точка, радиусвектор которой
определяется:
n
rc =
Smr
n
Sm
k=1
k=1
k k
k

37.

Для того, чтобы получить
координаты центра масс, надо
спроецировать векторное
равенство на оси.

38.

n
xc =
Smx
k
k=1
k
M
n
yc =
Smy
k
k=1
k
M
n
zc =
Smz
k
k=1
M
k

39. Дифференциальные уравнение движения системы

40.

41.

42. Теорема об изменении количества движения

43.

Запишем ІІ-ой закон Ньютона для точки:
ma = F
d ( mv ) = F
dt
Получим теорему об
изменении количества
движения точки в
дифференциальной
форме:
mv = Q
d( mv ) = F dt
- количество движения точки

44.

n
Q=
v
k
Smv
k
k=1
=
rk
k
- количество движения
системы - сумма
количеств движений
точек, входящих в систему
Распишем выражение и поменяем
суммирования и дифференцирования т.к.
они не зависят друг от друга:
n
dr
k = d
m
Q= S
k
k=1
dt
dt
n
Smv
k=1
k
k

45.

d
(Mrc)
Q=
dt
=>
dr c
Q=M
dt
Q = M vc
- количество движения системы произведение массы системы и скорости
ее центра масс

46.

Запишем ІІ-ой закон Ньютона для системы
точек:
e
i
d
v
k =
S mk
S Fk + S Fk
dt
Меняя порядок суммирования и
дифференцирования получим:
d S m v = Fe
k k
dt
Теорема об изменении
количества движения:
dQ = F e
dt

47.

Первая производная по времени от
вектора количества движения системы
равна главному вектору внешних сил

48.

Следствия :
1) Если главный вектор внешних сил
системы равен нулю, то тело покоится
или движется равномерно.
Если F = 0 , то Q = const
2) Внутренними силами нельзя изменить
e
количество движения системы.
3) Спроецируем Теорему на
координатные оси:

49.

dQ x = e
Fx
dt
dQ y = e
Fy
dt
dQ z = F e
z
dt
Если Fx = 0 , то Q x = const
e

50. Теорема о движении центра масс системы

51.

d ( M v ) = Fe
c
dt
M ac = F
e
dv c = e
M
F
dt
Эта формула гласит:
Центр масс системы движется как
материальная точка, к которой
приложены все силы, действующие на
систему.

52.

Следствия :
1) Внутренними силами нельзя изменить
движение центра масс системы.
2) Если главный вектор внешних сил
системы равен нулю, то скорость
движения центра масс системы
постоянна.
Если F = 0 , то v c = const
e

53.

3) m ac = F
e
e
m ac x = Fx
e
m ac y = Fy
m ac z = Fz
e
Если проекция главного вектора внешних
сил на какую-либо ось равна нулю, то
проекция скорости центра масс на эту ось величина постоянная.
Если Fx = 0 , то v c x = const
e

54. Теорема об изменении момента количества движения

55.

По ІІ закону ньютона
ma = F
Пусть r - радиус-вектор, определяющий
положение точки относительно какой
либо системы координат.
Домножим векторно уравнение на r.
r ma = r F
Распишем ускорение и внесем r под
знак дифференциала:

56.

d
v
d
(r m v ) r m
=
dt dt
dr
mv
Обозначим:
dt
K0 = r m v - момент количества
движения точки
относительно точки О
M0 = r F
- момент силы F
относительно точки О

57.

Момент количества движения
системы определяется как
векторная сумма моментов
количества движения точек,
входящих в систему.
n
K0 =
S K0
n
k=1
k
=
S r m v
k=1
k
k
k

58. Момент количества движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

(кинетический момент)

59.

z
hz
v
dm
w

60.

hz - кратчайшее расстояние от точки
массой dm до оси вращения
Линейная скорость точки определяется:
v = wz·hz
Количество движения точки массой dm :
v dm = wz hz dm
Тогда момент количества движения этой
точки:
2
v dm hz = wz hz dm

61.

Для всего тела кинетический момент
относительно оси вращения:
Kz =
I=
wz hz dm
Kz = wz hz2 dm
h2 dm - момент инерции тела
2
относительно оси
(осевой момент инерции)
Kz = Iz ·wz

62. Моменты инерции

63.

z
dm
r
z
0
x
x
y
y

64. Осевой момент инерции точки

- произведение массы точки на квадрат
расстояния до оси
Izk = dm·hz2 = dm(x2 + y2)
- для точки
Iz = hz2 · dm
- для тела

65. Полярный момент инерции точки

- произведение массы точки на квадрат
расстояния от точки до полюса
I0k = dm·r 2 = dm(x2 + y2 + z2)
- для точки
I0 = r 2 ·dm
- для тела

66. Центробежные моменты инерции

- произведение массы точки на
координаты, стоящие в индексе

67.

для точки -
Ixy = dm·x ·y
Ixz = dm·x z
Iyz = dm·y z
Ixy = x y ·dm
Ixz = x z ·dm
Iyz = y z ·dm
- для тела

68.

Задача:
Найти все моменты инерции
М - масса
z
l - длина
l
x
x
dx

69.

Масса кусочка dx :
l
Iz =
0
M
dm =
dx
l
l
M dx ·x 2 = M x = M l
l
l 3
3
3
2
0
- момент инерции относительно оси z
M
l
Ic =
12
2
- момент инерции относительно
оси, проведенной через середину
длины бруска параллельно оси z

70.

z
z
R
M
R
Iz =
2
R
2
Iz = M R
2

71. Теорема об изменении момента количества движения точки

d (r m v ) = M e
0
dt
dK = e
M0
dt

72.

Производная по времени от вектора
момента количества движения
точки равна моменту внешних сил
относительно той же точки.
Получим эту теорему для системы. Пусть
система состоит из n-материальных точек.
Разделим все силы, действующие на
систему, на внешние и внутренние и для
каждой точки запишем теорему об
изменении количества движения точки.

73.

dK =
e
i
M
(
F
)
+ M (F )
dt
01
0
1
0
1
...............
dK n =
e
i
M
(
F
n ) + M ( Fn )
dt
0
0
0

74.

Почленно сложим уравнения системы:
n
n
n
dK k =
e
i
S
S
M
(
F
k ) + S M ( Fk )
k=1 dt
k=1
k=1
0
0
0
n
d
e
S
K
k = M
dt k=1
0
0
dK = e
M
dt
0
0

75.

Следствия :
1)
2)
Внутренними силами нельзя изменить
момент количества движения системы.
Если главный момент внешних сил
системы равен нулю, то вектор
момента внешних сил системы величина постоянная.
Если M = 0 , то K = const
e
0
0

76.

3) dK
x
=
e
Mx
Если проекция
главного момента
внешних сил на какуюлибо ось равна нулю,
то кинетический
момент - величина
постоянная.
dt
dKy = e
My
dt
dKz = e
Mz
dt
e
Если Mx = 0 , то Kx = const

77. Дифференциальное уравнение движения твердого тела относительно неподвижной оси

78.

Kz = Iz ·wz
dKz =
e
Mz
dt
dw
e
= Mz
Iz
dt
Iz φ = Mz
e

79. Работа силы

80. Прямолинейное перемещение тела.

81.

F
a
V
A=F S cos(a)

82. Перемещение тела по кривой.

83.

Если точка перемещается по кривой и
сила изменяется, то для того чтобы найти
работу силы, произведенную на участке
М1М2, разобьем дугу М1М2 на n-частей.
Тогда если размер каждого участка D S мал, то можно считать, что дуга,
ограничивающая этот участок,
приближается к хорде, и сила не
успевает изменить ни величину ни
направление.

84.

M
V
DS
2
a
M
M
1
F

85.

Тогда работа , произведенная силой на
k-ом участке определится как:
A = F cos(a ) DS
k
k
k
k
Вся работа на участке М1М2 равна:
n
A
1,2
S F cos(a ) DS
k
k=1
k
k

86.

Работа определяется точно
криволинейным интегралом:
A = F cos(a) dS
1,2
M1M2
Элементарная работа:
dA = F cos(a) dS
Найдем другое выражение для
элементарной работы

87.

V
a
dr
F
M
r
O

88.

89. Работа силы, постоянной по величине и направлению.

90.

F=const
M2
a
M
r2
F
M1
r1
O

91.

r2
F dr = F dr = F (r - r )
A =
2
1,2
r1
M1M2
r -r = M M
2
1
1
2
Тогда работа равна:
A = F M M = F S cos(a)
1,2
1
где:
2
S = MM
1
2
1

92. Работа силы тяжести.

93.

M
1
M
a
H
S
P
M
2

94.

Изменение положения тела по высоте
определяется:
H = S cos(a)
Тогда работа на участке равна:
A = P H = P S cos(a)
1,2
Если тело опускают - работа положительная,
если поднимают - отрицательная.

95. Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

96.

z
F
F
e
n
h
e
b
M
F
e
t
w

97.

h - кратчайшее расстояние от точки до
оси вращения. Сила F разложена на
составляющие:
e
Fn - проекция силы на нормаль
e
Ft - проекция силы на касательную
e
Fb - проекция силы на бинормаль
e
Работа силы Fn равна нулю т.к. в
направлении этой силы нет перемещения
e
(или между векторами V и Fn угол 90°).

98.

e
Работа силы Fb также равна нулю.
e
Элементарная работа силы Ft :
e
t
e
t
dA = F dS = F h d
e
e
z
dA = M d
Полная работа:
e
e
z
A = M d
O

99.

Если: M = const
e
z
A = M D
e
z
- работа момента

100. Пример

Центр тяжести однородного колеса
поднимается на высоту h, под
действием момента М
Найти работу внешних сил.

101.

N
S
M
m,R
m,R
O
Fтр
P
a
mg
H

102.

M = const ;
SA - ?
e
Работы силы трения и силы
реакции опоры равны нулю.
AF = 0
тр
AN = 0
S A =- m g H + M D
e
т. P -
МЦС

103.

V
w=
R
0
Интегрируя, получим:
S
H
=
=
R
R sin(a)
H
SA = m g H + M
R sin(a)
e

104. Кинетическая энергия

105. Кинетическая энергия точки

106.

Для точки второй закон Ньютона
выглядит так:
ma = F
d
v
m
=F
dt
Домножаем ур-ние на приращение вектора r
d
v
m
·dr = F ·dr
dt
d
v
dr
m
·dr = m
·dv =
dt
dt

107.

Заменим отношение дифференциалов
скоростью и внесем ее под знак
дифференциала.
2
mv
= mv ·dv = d(
)
2
2
mv
d( 2 ) = d'A
m
v
T=
2
2
- Теорема об
изменении
кинетической
энергии точки в
дифференциальной
форме.

108.

Кинетическая энергия системы
определяется как сумма
кинетических энергий точек,
входящих в систему.
1
T= 2
n
S mkvk
k=1
2

109. Кинетическая энергия системы. (Теорема Кёнига)

110.

z2
z1
Mk
rk
rk
O1
x1
y2
O2
ro
x2
y1

111.

01x1y1z1 - неподвижная система координат
Система координат 02x2y2z2 перемещается
поступательно.

112.

rk = r0 + rk
Дифференцируем уравнение по времени.
vk = v0 + vk r
vk r - скорость точки относительно
подвижной системы координат
Tr
1
= 2
n
S mkv
k=1
2
kr
- кинетическая энергия системы
относительно подвижной системы координат

113.

1
T= 2
1
= 2S
1
+ 2S
+
n
S mk(v0 + vk r)
k=1
2
mkv0 +
2
kr
mkv
v0 S mkv
2
kr
2
=
S mkv0 vk r +
1
= 2
+
v0 S mk +
Tr
2

114.

rc - радиус-вектор, определяющий
положение центра масс системы
относительно подвижной системы
координат
S
m
k rk
rc =
M
Дифференцируем повремени:
S
mk vk r
vc r =
M

115.

S mk vk r = M vc r
vc r - скорость центра масс относительно
неподвижной системы координат
1
T= 2
2
v0 M + v0 vc r M + Tr
Совместим начало подвижной системы
координат с центром масс системы:
vc r = 0

116.

1
T= 2
2
M v0 + Tr
Кинетическая энергия системы равна
сумме кинетической энергии
поступательного движения центра масс
системы и кинетической энергии
движения системы относительно
центра масс.

117. Кинетическая энергия твёрдого тела

118. При поступательном движении:

Кинетическая энергия системы определяется
1
T= 2
S mkvk
1
T= 2
v S mk
1
T= 2
2
2
2
v M
vk = v
где:
1
= 2
2
v M
- полупроизведение массы
тела на его скорость

119. При вращательном движении:

1
2
z
T = mv
k
2
k
vk
w
Mk
hk
vk = w hk
k

120.

Tk
1
=2
mk hk w
2
2
Кинетическая энергия системы:
1
T= 2
S mkvk
2
S mk hk
2
1
T= 2
=
w Iz
2
1
= 2
Iz
w
2
S mk hk
2
- момент инерции
вращательного
движения точки

121. При плоскопараллельном движении:

кинетическая энергия определяется
по формуле Кёнига -
1
T= 2
1
T= 2
2
M v0 + Tr
2
m v0
1
+ 2
I0w
2

122. Пример

r
С
Дано: r, m-радиус и масса
однородного диска. VcVC скорость центра масс диска.
Диск катится без скольже –
ния. Определить кинетическую энергию диска.
1
1
2
2
T = mVc + I cω
2
2
Vc
ω=
r
1 2
I C = mr
2

123.

2
1 2 VC
mr • 2
1
1
2
T = mVc +
2
2 2
3
2
= mVC
4
r
=

124. Теорема об изменении кинетической энергии системы

125.

Пусть система состоит из
n-материальных точек.
Делим все силы, действующие на
систему, на внешние и внутренние
и для каждой точки запишем
теорему об изменении
кинетической энергии.

126.

2
m1v1
e
i
d( 2 ) = dA1 + dA1
...............
2
mnvn
e
i
d( 2 ) = dAn + dAn
2
mkvk
d
(
)
=
S
2
k=1
n
n
n
S dAk + S dAk
k=1
e
k=1
i

127.

2
mkvk
e
i
dS
(
)
= dA + dA
2
k=1
n
- сумма элементарных работ,
произведенных всеми внешними
и всеми внутренними силами
e
i
dT = dA + dA
- теорема об изменении кинетической
энергии системы в дифференциальной
форме.

128.

Если под действием внешних и
внутренних сил системы она
перемесилась из начального
положения в конечное, то в
интегральной форме теорема об
изменении кинетической энергии
будет иметь вид:
e
T - T0 = A + A
i

129.

Изменение кинетической энергии
системы при перемещении ее из
начального положения в конечное
равна сумме работ внешних и
внутренних сил.

130. Принцип Даламбера или Принцип кинетостатики

131.

Для каждой k-ой точки можно
записать ІІ-ой закон Ньютона:
Fk = mk ak
Система состоит из n-точек. Разделяем
силы на внешние и внутренние.
e
i
Fk + Fk = mk ak
Обозначим:
и
Fk = - mk ak
- сила инерции.

132.

e
Тогда:
и
i
Fk + Fk + Fk = 0
т.е. сумма внешних, внутренних сил
системы и силы инерции равна нулю.
n
S Fk
k=1
e
n
+
n
S Fk + S Fk
k=1
i
k=1
и
=
0 (*)
Сумма главных векторов внешних сил,
внутренних сил и сил инерции также
равна нулю:
e
i
и
F +F +F = 0

133.

К каждой точке системы проведем
соответствующий радиус- вектор.
Векторно домножим на радиус-вектор rk.
n
n
n
S rk Fk + S rk Fk + S rk Fk
e
k=1
i
k=1
k=1
Тогда:
e
i
и
M0 + M0 + M0 = 0
и
=0

134.

e
M0 - главный момент внешних сил
i
M0 - главный момент внутренних сил
и
M0 - главный момент сил инерции
Учитывая то, что главный момент и
главный вектор внутренних сил
системы равен нулю, принцип
Даламбера для системы примет вид:
и
e
F +F = 0
e
и
M0 + M0 = 0

135. Главный момент и главный вектор сил инерции

136.

n
Mac = kS= 1 Fk
e
e
- Теорема о движении
центра масс системы
и
F +F = 0
e
и
F = –F
и
F =
– Mac
Главный вектор сил инерции определяется
как произведение массы системы на
ускорение ее центра масс, взятое со знаком
«–».
и
и
m
F
ac
F
ac

137. Вращательное движение.

2
Вращательное
движение.
z
C
x
C
e
O
e
y
y
O
x
F
и

138.

В проекции на ось z:
dK0z
M =
dt
K0z = I0z· ω
и
0z
Подставим и получим:
и
0z
M
= – I0z·e

139.

3
z
C
Вращательное
движение вокруг оси,
проходящей через
центр масс тела.
w
e
M0z
ac = 0
и
и
0z
M
= – I0z·e

140.

3
Плоскопараллельное
движение.
и
F = – Mac
и
Mcz = – Icz·e
В этом случае присутствуют и
главный вектор и главный
момент сил инерции.

141.

y
b
r ,I
c
B
A
x
P

142.

y
M = Ie
и
g
e
g
yA
RB
B
A
x
g
xA
P
F = g a
и

143. Динамические реакции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

144.

B
z
yB
xB
hc
Fn
F1
C
e
F2
e
A
xA
x
zA
a
e
w = const
AB = b
F
и
yA
F
и
y

145.

hc - кратчайшее расстояние от
центра масс до оси вращения.
Используем принцип Даламбера.
Составляем условие равновесия
пространственной системы сил.
При этом:
e
e
e
Fx , Fy , Fz - алгебраические суммы
проекций внешних сил на оси x,y,z;
и
и
и
Fx , Fy , Fz - проекции
силы инерции на оси x,y,z.

146.

e
e
e
Мx , Мy , Мz - алгебраические
суммы проекций моментов
внешних сил на оси x,y,z;
и
и
Мx , Мy - проекции момента
силы инерции на оси.

147.

e
и
e
и
xA + xB + Fx + Fx = 0
yA + yB + Fy + Fy = 0
и
e
zA + Fz + Fz = 0
– yB
e
и
e
и
b + Mx + Mx = 0
xB b + My + My = 0

148.

Сила инерции Ускорение центра масс и
2
и
2
и
F = – Mac
2
ac = w hc
Fx = M w hc· cos(a) = M w xc
2
Fy = M w hc· sin(a) = M w yc
и
Fz = 0
2

149.

и
mx (Fk ) - момент относительно
оси x от k-ой силы инерции
i j k
M0 (F) = r F = x y z
Fx Fy Fz
Для одной точки
M0 = i Mx + j My + k Mz

150.

и
mx (Fk ) = y Fz – z Fy
и
my (Fk ) = z Fx – x Fz
и
mz (Fk ) = x Fy – y Fx
и
и
mx (Fk ) = – Fky z k = – mk w y k z k
и
и
2
my (Fk ) = Fkx z k = mk w x k z k
2

151.

Для того, чтобы найти моменты
силы относительно
соответствующих осей для всего
тела необходимо суммировать:
и
Mx = – ( S mk y k z k) w =
2
= – Iyz w
и
Mx = ( S mk x k z k) w =
2
=
Ixz w
2
2

152.

Найденные выражения подставим
xA + xB + Fx + M w xc = 0
e
2
yA + yB + Fy + M w yc = 0
e
e
2
zA + Fz = 0
e
2
– yB b + Mx – Iyz w = 0
e
2
xB b + My + Ixz w = 0

153.

Слагаемые, в которых присутствует
угловая скорость будут являться
динамическими реакциями.
Эти динамические реакции будут
равны нулю если
xc = 0 и yc = 0,
т.е. центр масс лежит на оси вращения,
и когда
Iyz = Ixz = 0,
т.е. когда ось вращения будет являться
главной центральной осью инерции.

154. Аналитическая механика

155. Аналитическая механика

• Методы аналитической
механики позволяют
рассматривать системы
без учета реакций
идеальных связей

156. Виртуальные (возможные) перемещения

157. Классификация связей

158.

1) Удерживающие связи
(стержень, сфера)
(x2–x1) + (y2–y1) + (z2–z1) = l
2
2
2
2
Неудерживающие связи
(веревка, трос, цепь)
(x2–x1) + (y2–y1) + (z2–z1)
2
2
2
2
l

159.

2) Стационарные связи
В уравнении нет зависимости от времени.
Нестационарные связи
В уравнении - временная зависимость.
3) Голономные связи
Неголономные связи
Уравнение голономной связи не
содержит производной от координат, а
уравнение голономной - содержит.

160.

Пример:
dx
f ( x, y, z,
,t) 0
dt
Неголономная
нестационарная
неудерживающая связь

161.

Уравнение связи имеет вид:
f ( x, y, z, t ) = 0
Пусть M0 (x0, y0, z0 ) , r0
Дадим точке приращение r в
фиксированный момент времени
r ' = r0 + r
Все координаты
получили приращения
x ' = x0 + x
y ' = y0 + y
z ' = z0 + z

162.

Тогда:
f (x0 + x, y0 + y, z0 + z, t ) =
Разложим уравнение в ряд
в окрестности точки М0
f
)
= f (x0, y0, z0, t ) + (
x
+
x 0
f
f
+ ( )0 y + (
)
0
z
+
.
.
.
=
y
z 0
Отбрасываем члены второго
и выше порядка малости.

163.

Учитываем, что первое слагаемое
по условию равно нулю.
Тогда уравнение справедливо когда сумма
2-го, 3-го, 4-го слагаемых равна нулю.
f
( x
f
+ (
f
)0 x + ( y
)
0
z
=
z 0
)0 y +

164.

f
(grad f ) 0 = ( x
f
+(
)
k
z 0
т. е.
f
)0 i + ( y
(grad f ) 0· r = 0
=> a = 90°
)0 j +

165.

grad f
dr v
r

166.

Виртуальное перемещение - мнимое,
происходящее в фиксированный момент
времени, малое, не нарушающее
уравнения связей с учетом членов
первого порядка малости перемещение.
Для стационарных связей хотя бы одно
мнимое перемещение совпадает с
действительным.
Для нестационарных связей ни одно
мнимое перемещение не совпадает с
действительным.

167. Виртуальная работа

Дадим системе виртуальное
перемещение и подсчитаем
элементарную работу, произведенную
силами на этих перемещениях.
n
А =kS= 1 Fk· rk

168. Идеальные связи

- связи, работа реакций которых на любом
виртуальном перемещении равна нулю.
∑ Rk • ∂rk = 0
Принцип виртуальных
перемещений
n
S F k· rk = 0
k=1

169.

Для того, чтобы система, подчиненная
идеальным стационарным
удерживающим связям, находилась в
равновесии, необходимо и достаточно,
чтобы сумма работ всех активных сил
на любом виртуальном перемещении
была равна нулю.
Этот принцип позволяет не
рассматривать реакций идеальных
связей и используется для тел,
находящихся в равновесии.

170.

Необходимость:
Fk + R k = 0 , v k = 0
S ( Fk + R k )· rk = 0
S Fk · rk + S R k · rk = 0
S R k · rk = 0 => S Fk · rk = 0

171.

Достаточность:
S Fk · rk = 0
S ( Fk + R k )· rk = 0
S Fk · rk + S R k · rk = 0
=> S Fk · rk = 0

172.

Задача.
Определить величину силы F,
необходимую для равновесия.
Решить, используя принцип
виртуальных перемещений.

173.

F–?
F F
h
M2g
x
M1g
a
Fтр2

174.

n
S F k· vk = 0
k=1
– F x – Fтр x + M2 g h = 0
h = x tga
– F = Fтр+ M2 g tga

175.

F = M2 g tga – f (M2 + M2) g
F x – Fтр x + M2 g tga x = 0
M2 g tga – f (M2 + M2) g F
M2 g tga + f (M2 + M2) g

176. Использование принципа виртуальных перемещений для определения реакций связей

177.

A
F2
F1
C
RA
r A r1
F1
a
F3 B
D

178. Общее уравнение динамики

179.

Пусть система, состоящая из n-точек и
подчиненная удерживающим голономным
идеальным связям, движется.
Освобождаемся от связей и для каждой
k-ой точки записываем ІІ-ой закон
Ньютона.
mk ak = Fk + R k
Fk = mk ak + R k = 0

180.

Даем системе виртуальное перемещение.
Каждая точка переместится на rk
Домножаем уравнение на rk и
складываем все n-уравнений.
S (Fk – mk ak) rk + S R k rk = 0
R- реакция связи
S R k rk = 0
- по определению
идеальных связей.

181.

При движении материальной системы,
подчиненной идеальным удерживающим
голономным связям, сумма работ
активных сил и сил инерции на любом
виртуальном перемещении равна нулю.
S (Fk – mk ak) rk = 0
- общее уравнение динамики.

182.

Пример:
P, Q, Q, a – дано
a3 – найти

183.

MO
и
2
3
M2
3 O a3
3
и
F1
a
F3
Q
и
и
1
Q
P
h

184. УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА II РОДА

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ:
∑ ( Fk
-
dVk
mk
)δrk = 0
dt
∂ rk
rk = ∑
q j =>
j =1 ∂ q j
s
s- число
степеней
свободы

185.

n ∂r
dV
k
k
r = ∑ (F - m
) ∑
q = 0
k
k k dt
j

q
j =1 j
dVk
∂ rk
= ∑∑ (mk
q j =
- Fk )
dt
∂ qj
j =1 k =1
s
n

186.

n
dVk ∂ rk
= ∑ ∑ mk
dt

q
j =1
k
=
1
j
s
∂ rk
∑ Fk ∂ q = Q j
j
-ОБОБЩЕННАЯ СИЛА
n
dVk ∂ rk
= ∑ ∑ mk
dt

q
j =1
k
=
1
j
s
**
∂ rk
- ∑ Fk
q j = 0
∂ q j
k =1
n
- Q j q j = 0

187.

*
dVk ∂ rk d
∂ rk
d ∂ rk
mk
= (mk Vk
) - mk Vk
dt ∂ q j dt
∂ qj
dt dq j
drk ∂ rk
∂ rk
∂ rk ∂ rk
Vk =
=
q1 ...
q j ...
qs
dt ∂ q1
∂ qj
∂ qs
∂t
dq
q=
Обобщенная скорость.
dt
Дифференци руем Уравнение
по обобщенной скорости q j

188.

∂ Vk
∂ rk
=

q
j
∂ qj
Изменим порядок дифференцирования
d ∂ rk
∂ drk
drk
=
, где
= Vk
dt ∂ q j ∂ q j dt
dt

189.

dVk ∂ rk d
∂ Vk
∂ Vk
mk
= (mk Vk ) - mk Vk
dt ∂ q j dt

q
j
∂qj
Вносим mkVk под знак частной производной
∂ Vk

1
2
mk Vk = ( mkVk )
2
∂ qj ∂ q j
∂ Vk
∂ 1
2
mk Vk
=
( mkVk )
∂ qj ∂ qj 2

190.

dVk drk d ∂ 1
∂ 1
2
2
mk
= [ ( mkVk )] ( mkVk )
dt dq j dt ∂ q 2
∂ qj 2
j
d ∂ 1
∂ 1
2
2
∑ (∑ [ dt ∂ q ( 2 mkVk ) ∂ q ( 2 mkVk )] Q j ) q j = 0
j =1 k =1
j
k
s
n
d
(
j =1 dt q j
S
mV
2
q j
k =1
n
2
k k
n
n
2
k k
mV
Q j ) q j = 0
2
k =1
2
k k
mV
=T
2
k =1

191.

d T T
(
Q
)
q
=
0
j
j
q j
j =1 dt q
S
j
d T T
=
Q
j
dt q q j
j

192. ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НЕОБХОДИМО:

• Изобразить на чертеже все активные
силы, действующие на систему.
Реакции идеальных связей можно не
изображать. Силы трения
присоединить к активным силам.
• Определить число степеней свободы
и ввести обобщенные координаты

193.

• Вычислить кинетическую энергию
системы, выразив ее через
обобщенные координаты и скорости
• Найти обобщенные силы системы
• Выполнить указанные в уравнениях
Лагранжа действия

194.

Y
Стержень длиной l
и массой m. A и B
ползуны
Составить
уравнения
движения
стержня, найти
его угловую
скорость.
A
С
mg
B
X

195.

1) Силы – mg
2) Степень свободы – 1
обобщенная координата
γ
•2
1
1
1 2
2
3) T = mVC + I C γ
I C = ml
2
2
12
1
1
YC = l cos γ
X C = l sin γ
2
2
1
X C = l cos
2
1
Y C = - l sin
2

196.

2
υС
•2
•2
•2
1 2
= xC + yC = l γ
4
2
2
2 2
2 2
1 l
1 1
1
T = m ml = ml
2 4
2 12
6
4) Обобщенные силы
Потенциальная энергия
1
П = mgl cos
2
∂П
1
Q= = mgl sin

2

197.

d T T
=
Q
dt
∂T
1 2
=
ml
3

d ∂T d 1 2
1 2 •
( ml γ ) = ml γ
• =
dt
dt 3
3
∂γ

198.

∂T
= 0 ( кинетическая энергия

не зависит от угла)
1 2 •• 1
ml γ = m lg sin γ
3
2

3g
γ=
sin γ
2l
До множим уравнение
d

199.


3g
γ dγ =
sin γdγ
2l
•2

γ
γ dγ =
dγ = γ d γ = d ( )
dt
2

2
3g
d ( ) = d cos
2
2l

200.

Интегрируем
2
3g
=
d cos C
2
2l

201.

Если в начальный момент времени
= 0 , = 0, то
g
C = 3 cos 0
l

202.

Получаем угловую скорость стержня
2
(
3g
=
cos 0 cos
2l
)
English     Русский Правила