Предел функции

1.

ПРЕДЕЛ
ФУНКЦИИ
1

2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Число a называется пределом функции f(x) в точке x = x0,
если для любого положительного числа ε существует
такое положительное число δ, что для всех x≠x0,
удовлетворяющих неравенству | x – x0 | < δ, выполняется
неравенство | f(x) – а | < ε.
a lim f x 0 0, что
x x0
x x0 и x x0 ,
f ( x) a .
Для всех значений x близких к x0 значения функции сколь
угодно мало отличаются от числа а.
2

3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Число a называется пределом функции f(x) на
бесконечности, если для любого положительного числа ε
существует такое положительное число δ, что для всех x,
удовлетворяющих неравенству | x | > δ, выполняется
неравенство | f(x) – а | < ε.
a lim f x 0 0, что
x
x, таких что x ,
f ( x) a .
Для достаточно больших по абсолютной величине
значениях x значения функции сколь угодно мало
отличаются от числа а.
3

4.

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Если при стремлении x к x0, х принимает значения меньше
чем x0 , то рассматривают предел слева.
a lim f x 0 0, что
x x0 0
x x0 и x x0 ; x0 ,
f ( x) a .
Если при стремлении x к x0, х принимает значения больше
чем x0 , то рассматривают предел справа.
a lim f x 0 0, что
x x0 0
x x0 и x x0 ; x0 ,
f ( x) a .
4

5.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ:
Пусть функции f1(x) и f2(x) определены в окрестности точки
x0 и имеют пределы при x→x0, тогда
lim f1 x f 2 x lim f1 x lim f 2 x ,
x x0
x x0
x x0
lim f1 x f 2 x lim f1 x lim f 2 x ,
x x0
x x0
lim f1 x
x x0
f1 x x x0
lim
, если
x x0 f x
lim f 2 x
2
x x0
lim f 2 x 0.
x x0
5

6.

ПРИМЕРЫ.
lim x 2 3 x 1 2 2 3 2 1 1.
x 2
lim 5 cos 2 x 5 cos 0 6.
x 0
lim x 2 x 1 5 2 1 5 .
x
6

7.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
Функция f(x) называется бесконечно малой при x→x0, если
lim f ( x) 0.
x x0
Сумма, произведение, разность бесконечно малых
функций при x→x0 , а также произведение константы или
ограниченной функции на бесконечно малую функцию при
x→x0 есть функция бесконечно малая при x→x0 .
7

8.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Функция f(x) называется бесконечно большой при x→x0,
если
lim f ( x) .
x x0
Сумма, произведение конечного числа бесконечно
больших функций при x→x0, а также произведение
константы или ограниченной функции на бесконечно
большую функцию при x→x0 есть функция бесконечно
большая при x→x0 .
8

9.

СВЯЗЬ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ И
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ФУНКЦИЯМИ
Если α(x) – бесконечно малая функция, то
1/α(x) – бесконечно большая функция.
Если F(x) – бесконечно большая функция, то
1/F(x) – бесконечно малая функция.
9

10.

ПРИМЕРЫ.
1
1
lim 3
0.
x x 3 x
1
1
lim 2
.
x 1 x 1
0
1
1
lim
.
x 2 sin 4 2 x
0
lim
x
x 3 7 x .
2
10

11.

Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций
удобно запоминать в следующем виде
(С- константа, ? – неопределенность):
0 0 0 С 0 0
0 0 0 С
0
?
0
С
0
С
0
?
?
0 ?
11

12.

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
1) Отношение бесконечно больших величин есть
неопределенность вида .
неопределенности
Для раскрытия
в рациональной дроби
следует числитель и знаменатель разделить на наивысшую
степень переменной, приводящей к неопределенности.
x3 2 x 3
2 3
3
1
3
3
3
3
2
x 2x 3
x
x
x lim
x
x 1 0,2
lim 3
lim
x 5 x 3 x 2 100 x
x 5 x x 2 100
1 100 5
5 3
3 3
3
x x
x
x
x
12

13.

2) Отношение бесконечно малых величин есть
неопределенность вида 0 .
0
0
0
Для раскрытия неопределенности
в рациональной дроби
следует числитель и знаменатель сократить на выражение
приводящее к неопределенности
x2 4
0
x 2 x 2 lim x 2
lim 2
lim
2.
x 2 2 x 6 x 4
0 x 2 2 x 2 6 x 4 x 2 2 x 2
-
2x2 6x 4 x 2
2x2 4x
2x 2
2x 4
2x 4
0
13

14.

0
неопределенности 0
Для раскрытия
в иррациональной дроби
следует числитель и знаменатель умножить на сопряженное
выражению, приводящему к неопределенности, и сократить на
множитель, приводящий к неопределенности.
lim
x 2
x 2 2 0
lim
2
x 4
0 x 2
x 2 2 x 2 2
2
x 4 x 2 2
x 2 4
x 2 22
lim 2
lim 2
x 2 x 4
x
2
x 4 x 2 2
x 2 2
2
1
1
x 2
1
lim
lim
.
x 2 x 2 x 2
x
2
x 2 x 2 2 2 2 2 2 2 16
x 2 2
14

15.

0
0
Для раскрытия неопределенности
в дробях с
тригонометрическими функциями целесообразно
использовать первый замечательный предел и
его следствия.
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
sin x
lim
1
x 0
x
Функции sinx и х являются эквивалентными при х→0.
15

16.

СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА
Очевидно
x
lim
1
x 0 sin x
sin ax t ax
sin t
sin ax
lim
lim
1 lim
1
x 0
t
0
x 0
x 0 t 0
ax
t
ax
16

17.

СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА
tg ax
sin ax
sin ax
1
lim
lim
lim
lim
1
x 0
x 0 ax cos ax
x 0
x 0 cos ax
ax
ax
tg ax
lim
1
x 0
ax
arctg ax
lim
1
x 0
ax
arcsin ax
lim
1
x 0
ax
17

18.

ПРИМЕРЫ.
sin 5 x 0
5x 5
lim
lim
.
x 0
3x
0 x 0 3 x 3
sin 2x sin 2 .
lim
x 1
7
7x
tg 3x 0
3x
lim
lim 2 9.
2
x 0
x
0 x 0 x
2
2
18

19.

3) Неопределенности вида 0 и сводят к
0
неопределенностям , .
0
ПРИМЕРЫ.
x cos 5 x
x cos 5 x 1
lim x ctg 5 x 0 lim
lim
.
x 0
x 0 sin 5 x
x 0
5x
5
19

20.

ПРИМЕРЫ.
2
x 1 2
x 1
1
lim
2 lim 2
lim 2
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
1
1
lim
.
x 1 x 1
2
20

21.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
x
1
lim 1 e
x
x
СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА
lim 1 x
1/ x
x 0
1
t
t
1
lim 1 e
x
t
t
x 0 t
lim 1 x
1/ x
x 0
e
21

22.

ln x 1
ln x 1
1/ x
1
lim
lim ln 1 x ln e 1 lim
x 0
x 0
x 0
x
x
x
t
e
1
x
е 1
t
еx 1
lim
x ln t 1
lim
1 lim
1
x 0
t 0 ln t 1
x 0
x
x
x 0 t 0
22

23.

ax
1
lim 1 e
x
ax
lim 1 ax
1/ ax
x 0
e
ln ax 1
lim
1
x 0
ax
е ax 1
lim
1
x 0
ax
23

24.

ПРИМЕРЫ.
е 1
7x
lim
lim
7.
x 0
x 0 x
x
7x
ln 2 x 1
2x 2
lim
lim
.
x 0
x 0 7 x
7x
7
lim 1 3x 1 0
x 0
1
5x
lim 1 3x
x 0
1
3x
3 x
1
5x
3
5
e .
24