Теорема об изменении кинетической энергии

1. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

ЛЕКЦИЯ 3:
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

2. 1. Кинетическая энергия МС. Теорема Кенига

Кинетической энергией материальной системы называется сумма
кинетических энергий входящих в нее точек
1 n
T mk vk2
2 k 1
При вычислении кинетической энергии системы полезна теорема Кенига
Теорема Кинетическая энергия материальной системы в ее абсолютном
движении (T) складывается из кинетической энергии TO центра масс, в
предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и
кинетической энергии Tотн системы в ее движении относительно
поступательно перемещающихся в инерциальном пространстве вместе с
центром масс осей.
T TO Tотн

3. 2. Доказательство теоремы Кенига

Подвижные координаты (2) перемещаются
поступательно относительно инерциальных
осей (1) вместе с центром О масс системы.
1 n
T mk vO u k vO u k
2 k 1
n
1 2 n
1 n
v0 mk v 0 mk u k mk uk2
2 k 1
2 k 1
k 1
1
Mv02
2
Tотн
T TO Tотн
rk rO ρk
v k vO u k
n
m ρ
k 1
n
k
k
m u
k 1
k
k
0
0

4. 3. Кинетическая энергия ТТ, движущегося поступательно

1 2
1 2
1
T v dm v dm Mv 2
2
2
2
T
1
Mv 2
2
кинетическая энергия ТТ, движущегося поступательно, равна половине
произведения массы тела на квадрат его скорости

5. 4. Кинетическая энергия ТТ, вращающегося относительно оси

1
1 2 2
1 2
2 2
T hz dm hz dm I
2
2
2
1 2
T I
2
v hz
кинетическая энергия ТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна
половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения
на квадрат угловой скорости тела

6. 5. Кинетическая энергия ТТ, движущегося произвольно

1
MvO2 Tотн
2
Кинематика: движение тела относительно
поступательно перемещающихся осей (2)
представляет собой вращение с угловой
скоростью
1
Tотн I O 2
2
Теорема Кенига
T
1
1
MvO2 I O 2
2
2
T
О
В общем случае I O переменная величина т.к. ось
вращения изменяет свое положение
кинетическая энергия ТТ складывается из кинетической энергии
поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии в
его вращении относительно центра масс

7. 6. Кинетическая энергия ТТ при плоском движении

ω Oz2
y2
y1
x2
T
1
1
MvO2 I Oz2 2
2
2
O
O1
Ось Oz2 не меняет своего положения относительно тела, поэтому
момент инерции I Oz2 не меняется с течением времени
x1

8. 7. Пример вычисления кинетической энергии

Каток К массы m1 лежит на горизонтальной плоскости. Каток обмотан тросом, перекинутым через
блок Б радиуса r. К свободному концу троса прикреплен груз Г массы m3. При опускании груза со
скоростью v трос, разматываясь, приводит в качение
без скольжения каток. Определить кинетическую
энергию системы, если момент инерции блока Б
относительно оси вращения равен I2
2
1
1
1
v
2
Скорость точки касания блока с
TГ m3v
TБ I 2 Б2 I 2 2
2
2
2 r
тросом равна скорости v груза Г.
2
1
1
v
2
2
v
v
/
2
v
m
R
1
TK m1vC I Cz C
vC
C
I
Cz
2
2
2
R
2R
2
3
TK m1v 2
1
I
3m
16
T М v2 M m 2 1
2
пр
пр
3
r2
8

9. 8. Теорема об изменении кинетической энергии

m1v12
e
i
d
F1 dr1 F1 dr1
2
mn vn2
e
i
d
Fn drn Fn drn
2
n
n
dT F drk F drk
k 1
e
k
k 1
i
k
Дифференциальная форма
теоремы об изменении
кинетической энергии :
дифференциал кинетической
энергии системы равен сумме
элементарных работ всех
действующих на систему
внешних и внутренних сил.
m1v12 m1v12
e
i
A1 1 A1
2
2 0
mn vn2 mn vn2
e
i
An An
2
2 0
n
n
T T0 A Aki
k 1
e
k
k 1
Интегральная форма теоремы:
изменение кинетической энергии
системы при перемещении ее из
какой-то начальной конфигурации в
данную равно сумме работ на этом
перемещении всех приложенных к
системе внешних и внутренних сил

10. 9. Работа сил тяжести

e
d
A
k mk g drk mk g dzk
k
k
k
gd mk zk gd MzC gMdzC
k
zC
A( e ) Mg dzC Mg zC z0C
z0 C
Полная работа сил тяжести системы равна весу всей системы,
умноженному на вертикальное перемещение ее центра тяжести
z

11. 10. Работа внутренних сил твердого тела

N AB FAB v A FBA v B FAB v A v B
FAB
FBA
A
B
v A v B ω BA
Кинематика
N AB
FAB ω BA 0
F
AB
N i N AB 0
A, B
Ai AAB 0
A, B
Сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом
его перемещении равна нулю

12. 11. Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу

d Ae F eds F ehd M zed
Элементарная работа силы, приложенной к
твердому телу, вращающемуся вокруг
неподвижной оси, равна моменту этой силы
относительно оси вращения, умноженному на
дифференциал угла поворота тела
Мощность:
N e M ze z

13. 12. Работа внутренних сил скольжения сочлененных тел

v AB Скорость A относительно B
v A vB v AB
i
N тр
FтрvA FтрvB FтрvAB
Fтр
A
B
v AB
Fтр
vB
Полная мощность внутренних сил трения скольжения двух
сочлененных тел равна взятому со знаком минус произведению модуля
силы трения на модуль относительной скорости.

14. 13. Работа потенциальных внутренних сил

FAB drA FBA drB FAB drA drB
FAB d BA f AB d AB du AB
2
2 AB d AB d AB
d BA BA
FAB d BA
2 BA d BA 2 AB
FAB
n
1
i
F
d
r
f
d
d
u
dU
k
kl
kl
kl
2
k 1
k ,l
k ,l
FAB
FBA
A
B
FAB FBA f AB
u( ) f d
U i u kl
k ,l
i
k
n
F dr
k 1
i
k
k
dU i
Ui-потенциальная энергия внутренних
сил (внутренняя энергия)

15. 14. Работа потенциальных внешних сил

На точку #2 действуют потенциальные внешние силы
F1e U1e r1
F2e U2e r2
На точку #n действуют потенциальные внешние силы
Fne Une rn
На точку #1 действуют потенциальные внешние силы
…
n
n
…
n
d A F drk U rk drk dU ke rk dU e
e
k 1
U r1 , r2 ,
e
n
e
k
k 1
k 1
n
rn U ke rk
k 1
e
e
F
d
r
dU
k k
k 1
e
k
Ue-потенциальная энергия внешних сил

16. 15. Закон сохранения полной механической энергии

Допустим, что внутренние и внешние силы, работа которых отлична от
нуля, потенциальны (нулю может равняться работа идеальных связей).
n
F dr
k 1
i
k
k
dU i
n
F
k 1
e
k
drk dU e
d T U e U i 0
E T U e U i Const
интеграл энергии
Ue-потенциальная
энергия внешних сил
Ui-внутренняя
энергия
E-полная механическая
энергия системы
Систему, для которой имеет место интеграл энергии, называют
консервативной.

17. 16. Пример # 1

Цилиндр катится без скольжения по наклонной
плоскости. Начальная скорость равна нулю.
Найти скорость центра масс цилиндра в момент
времени когда он опустился на величину h.
T U e T U e
h
0
1
1 2 1
1 MR 2 V 2 3
2
2
2
T MV I MV
MV
2
2
2
2 2 R2 4
4
3
V
gh
MV 2 Mgh
3
4
1
Если это тело спускается не вращаясь, имеем
MV 2 Mgh V 2 gh
2
Следовательно, вращение уменьшает скорость V

18. 17. Пример # 2

Груз Г под действием силы тяжести опускается
из состояния покоя вниз. Определить скорость
v груза Г при опускании его на высоту h.
Трением качения катка и трением на оси блока
пренебречь.
Связи идеальны. Внутренняя энергия равна нулю
T U e T U e
1
М пр v 2
2
m3 gh
m3
v 2
gh
M пр
0
0
0
M пр
I 2 3m1
m3 2
r
8

19. 18. Пример использования 2

К брусу D массы m1 лежащему на гладкой горизонтальной
плоскости, прикреплен шарнирно в точке А однородный
стержень АВ, имеющий массу m2 и длину l. Система начинает
движение из состояния покоя в момент, когда стержень
отклонен до горизонтального положения АВ0. Пренебрегая
трением в оси А, найти скорость v бруса в тот момент, когда
стержень проходит через вертикаль.
Сохранение энергии T U e T U e
T TD TAB
I Cx
m
2
l
TD
l/2
1
m1v 2
2
1
2
x
dx
m
l
2
12
l / 2
2
0
0
TAB
vC v v
U e m2 g
l
2
1
1
m2vC2 I Cx 2
2
2
v скорость С относительно А
1
v l
2
m2l 2 2 1
1
2
T m1 m2 v
m2lv
2
6
2
2(m1 m2 )
l
v
Сохранение импульса
Qy Qy 0 0
m1v m2vC 0
m2
(4m1 m2 )(m1 m2 ) 2
gl
m2 3gl
T
v m2
v
6m2
2
(4m1 m2 )(m1 m2 )
1
vC l v
2

20. 19. Основные теоремы и законы сохранения

Характеристика
движения
Основная
теорема
Закон
сохранения
Количество
движения
(импульс)
dQ
Fe
dt
Q Const
Замкнутые системы и
произвольные системы с
K O Const
Замкнутые системы и
e
произвольные системы с M O 0
Момент количеств
движения
Кинетическая
энергия
Полная энергия
dK O
M Oe
dt
Системы, для которых верен закон
сохранения
Fe 0
dT d A
T Const
Консервативные системы при
движении по поверхности уровня
и произвольные системы с d A 0
dE d A**
E Const
Консервативные системы