Приложения тройных интегралов. (Лекция 2.4)

1. Лекция 2-4 10.3. Приложения тройных интегралов.

Пусть дано тело V переменной плотности g ( x, y, z ) .
Массу тела M можно вычислить по формуле
M = òòò g ( x, y , z ) dv.
V
1) Статические моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz , Oyz :
M
M xz = òòò y g ( x, y , z ) dv,
xy = òòò z g ( x, y , z ) dv ,
V
V
M yz = òòò xg ( x, y, z ) dv.
V

2. 2) Координаты центра тяжести:

xцт =
M yz
M
=
òòò xg ( x, y, z ) dv
V
òòò g ( x, y, z ) dv
V
zцт =
M xy
M
=
, yцт
V
òòò g ( x, y, z ) dv
Если тело однородно, т. е.
xцт =
M yz
M
=
V
V
, yцт
V
òòò g ( x, y, z ) dv
M xz
=
=
M
,
V
òòò z g ( x, y, z ) dv
V
òòò xdv
M xz
=
=
M
òòò yg ( x, y, z ) dv
.
g ( x, y, z ) = const , то
òòò ydv
V
V
,
zцт =
M xy
M
=
òòò zdv
V
V
.

3. 3) Моменты инерции тела относительно координатных осей:

J =
2
2
g
x
,
y
,
z
y
+
z
dv,
)
x
òòò (
(
)
V
(
)
(
J y = òòò g ( x, y , z ) x 2 + z 2 dv,
V
V
4) Центробежные моменты инерции тела:
J xy = òòò xy g ( x, y , z ) dv,
V
J xz = òòò xz g ( x, y , z ) dv,
V
J yz = òòò yz g ( x, y , z ) dv.
V
5) Полярный момент инерции тела:
(
)
J 0 = òòò x 2 + y 2 + z 2 g ( x, y, z ) dv.
V
)
J z = òòò g ( x, y , z ) x 2 + y 2 dv.

4. 11. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 11.1. Криволинейный интеграл по длине дуги (1 – го рода).

Дифференциал длины дуги в плоском случае
для линии, заданной уравнением y = y ( x ) равен
ds = 1 + ( y ¢ ( x ) ) dx.
2
Дифференциал длины дуги в пространственном
случае для линии, заданной уравнениями
y = y ( x ) , z = z ( x ) равен ds = 1 + y¢ ( x ) 2 + z ¢ ( x ) 2 dx.
(
) (
)

5. При параметрическом задании линии

x = x( t) , y = y( t) ,
z = z( t)
дифференциал длины дуги в плоском случае
равен
ds = ( x¢ ( t ) ) + ( y¢ ( t ) ) dt ,
2
2
а в пространственном случае ds = ( x¢ ( t ) ) + ( y¢ ( t ) ) + ( z ¢ ( t ) ) dt.
2
2
2

6. Определение.

Криволинейным интегралом 1-го рода
ò f ( x, y ) ds
K
f = f ( x, y )
от функции двух переменных
(заданной в некоторой связной области),
взятым по отрезку K = »AB плоской кривой
(этот отрезок находится в той же области и
называется путем интегрирования), заданной
своим уравнением , называется число,
получаемое следующим образом:

7.

y
M1
M2
Mn
A1 A2An-1 B = An
A = A0
x
1) Отрезок AB разбивается на n элементарных отрезков
произвольно выбранными точками A1 ,..., An -1 , идущими от
начала отрезка A = A0 до его конца B = An .
2) Внутри (или на границе) каждого элементарного отрезка Ai -1 Ai
выбирается одна произвольная точка M i с координатами xi , yi .
f ( xi , yi ) в этих выбранных точках
умножаются на длины отрезков Ai -1 Ai = Dsi (эти длины
3) Значения функции
считаются положительными).
4) Все полученные
n произведений
складываются.
5) Вычисляется предел суммы
f ( xi , yi ) Dsi
n
f ( xi , yi ) Dsi .
å
max Dsi ®0
lim
i =1

8. Если этот предел существует и не зависит от выбора точек то он называется криволинейным интегралом 1-го рода

Если этот предел существует и не зависит от
выбора точек Ai , M i , то он называется
криволинейным интегралом 1-го рода
n
f ( xi , yi ) Dsi .
å
ò f ( x, y ) ds = maxlim
Dsi ®0
i =1
K
(А)
n®¥
Аналогично определяется криволинейный
интеграл 1-го рода для функции трех переменных
u = f ( x, y , z ) , взятый по отрезку K пространственной
кривой
n
f ( xi , yi , zi ) Dsi .
å
ò f ( x, y, z ) ds = maxlim
Dsi ®0
i =1
K
n®¥
(Б)

9. Теорема существования.

Если функция f ( x, y ) или f ( x, y, z )
непрерывна, а кривая на отрезке K
непрерывна и имеет непрерывно
вращающуюся касательную, то
криволинейный интеграл 1-го рода типа
(А) или (Б) существует. Т. е. пределы
существуют и не зависят от выбора
Ai , M i .
точек

10. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Оно сводится к вычислению определенного интеграла:

1) Если уравнения пути интегрирования заданы в
параметрической форме
x = x t , y = ,yтоt
t1
2
2 (А)
( )
ò f ( x, y ) ds = ò f ( x ( t ) , y ( t ) ) ( x¢ ( t ) )
( )
+ ( y ¢ ( t ) ) dt.
K пространственной
t0
Для
кривой
x = x( t) , y = y( t) , z = z( t)
t1
(Б)
2
2
2
¢
¢
¢
ò f ( x, y, z ) ds = ò f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ( x ( t ) ) + ( y ( t ) ) + ( z ( t ) ) dt.
K
t0
Здесь значение
параметра берется для точки
,
значение параметра
беретсяt0для точки
.
t1 так, чтобы выполнялось
B
Точки
и
выбираются
неравенство
A B
t0 < t1.
A

11. 2) Если уравнения пути интегрирования заданы в явном виде для плоской кривой (для пространственной кривой ), то

2) Если уравнения пути интегрирования заданы в
явном виде y = y ( x )
для плоской кривой (для
y = y ( x) , z = z ( x)
пространственной
кривой
), то
b
ò f ( x, y ) ds = ò f ( x, y ( x ) )
K
a
b
ò f ( x, y, z ) ds =ò f ( x, y ( x ) , z ( x ) )
K
(А)
1 + ( y ¢ ( x ) ) dx,
2
a
1 + ( y ¢ ( x ) ) + ( z ¢ ( x ) ) dx.
2
2
(Б)
Здесь значение x = a берется для точки A ,
значение x = b берется для точки B . Точки A и B
выбираются так, чтобы выполнялось неравенство
a < b.

12. Замечание. Пусть кривая такова, что для заданного координата принимает несколько значений, например:

Замечание. Пусть кривая такова, что для заданного x
координата y принимает несколько значений,
y
например:
B
D
C
A
x
Тогда кривую нужно разбить промежуточными
точками на отрезки таким образом, чтобы для
каждого отрезка выполнялось взаимно
однозначное соответствие между x и y , и
интегрировать в сторону увеличения координаты x.
Для данного примера криволинейный интеграл 1-го
рода примет вид
ò f ( x, y ) ds = ò f ( x, y ) ds + ò f ( x, y ) ds + ò f ( x, y ) ds.
AB
AC
DC
DB

13. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

1) Длина криволинейного отрезка K :
L = ò ds.
K
2) Масса неоднородного криволинейного
отрезка K переменной плотности g = g ( x, y, z ) :
M = ò g ( x, y , z ) ds.
K

14. Пример.

Вычислить криволинейный интеграл I =
K
K
2
y
= 2x
- дуга параболы
до точки B 4, 8 .
(
ò yds, где
от точки
)
A ( 0,0 )
y2
Удобно задать уравнение параболы в виде x =
и
2
вычислять интеграл по координате y.
x¢ = y.
Производная равна
8
I=
ò yds = ò y
K
0
1 + ( x¢ ) dy =
2
Интеграл примет вид
8
òy
0
1+ y
2
8
3
y2 2
1+ )
(
dy =
26
= .
3
3
0