Криволинейный интеграл по координатам 2-го рода. (Лекция 2.5)

1. Лекция 2-5 11.2.Криволинейный интеграл по координатам (2 – го рода).

Задача о работе силового поля.
Предположим, что в области D задано плоское
силовое поле. Т.urе. на материальную точку в D
,rопределенная
действует сила Fu
для всякой
ur
точки ( x, y ) Î D, F = F ( x, y ) . Считаем, что поле
t
стационарное
(не
зависит
от
времени
)
ur
r
r
F = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j.
Пусть материальная точка движется по
линии L.

2.

y
Bk -1
B0
Bk
Bn
x
Разобьем линию на nчастей точками B0 , B1,..., Bn .
uuuuuur
r
r
Работа на отрезке
равна
Bk -1Bk = Dxk i + Dyk j
uur uuuuuur
uur uuuuuur
DAk = Fk × Bk -1Bk cos a k или
DAk = Fk × Bk -1Bk .
DAk = P ( xk , yk ) Dxk + Q ( xk , yk ) Dyk .
Тогда
Просуммируем по всем отрезкам
n
An = å P ( xk , yk ) Dxk + Q ( xk , yk ) Dyk .
k =1
Выражение в правой части называется
интегральной суммой по линии L. Пусть Dsk
длина частичного участка разбиения кривой L.

3. Переходя к пределу получим истинную величину работы

Переходя к пределу max Dsk ® 0 ( n ® ¥ ) , получим
истинную величину работы
A=
n
P ( xk , yk ) Dxk + Q ( xk , yk ) Dyk .
å
max DSk ®0
lim
n ®¥
k =1
Определение. Криволинейным интегралом 2-го рода
по линии L называется предел интегральной суммы
при стремлении к нулю длины наибольшего частичного
участка разбиения кривой L
n
P ( xk , yk ) Dxk + Q ( xk , yk ) Dyk = ò P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy.
å
max DSk ®0
lim
n®¥
k =1
L

4. В частности, если то интеграл примет вид и называется криволинейным интегралом по координате

Q ( x, y ) º 0,
В частности, если
то интеграл примет вид
P
x
,
y
dx
(
)
ò
L
и называется криволинейным интегралом по координате
Если
P ( x, y ) º 0, то интеграл примет вид
ò Q ( x, y ) dy
L
и называется криволинейным интегралом по
координате y.
Работа силового поля
urпо кривой
F
есть
L
ò P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy,
L
где
- проекции силового поля на оси
P ( x, y ) , Q ( x, y )
координат.
x.

5. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Оно сводится к вычислению определенных интегралов.

Например, вычислим криволинейный интеграл 2-го
рода ò P ( x, y ) dx от точки B до точки C по линии L,
L
заданной параметрически x = x ( t ) , y = y ( t ) , где
функции x ( t ) , y ( t )
непрерывны со своими
производными. Рассмотрим интегральную сумму
n
å P ( xk , hk ) Dxk ,
k =1
Dxk = xk - xk -1 = x ( tk ) - x ( tk -1 ) .
Из формулы Лагранжа
qk Î [ tk -1 , tk ] ,
Dxk = x¢ ( qk ) Dtk ,
Dtk = tk - tk -1.

6. В качестве промежуточной точки выберем

( xk , hk ) выберем
xk = x ( qk ) , hk = y ( qk ) .
n
Преобразованная сумма
å P ( x ( qk ) , y ( qk ) ) x¢ ( qk ) Dtk
В качестве промежуточной точки
k =1
будет обыкновенной интегральной суммой для
функции одной переменной
P x ( t ) , y ( t ) x¢ ( t ) ,
а ее предел – определенным интегралом
(
)
tC
Т. е.
ò P ( x ( t ) , y ( t ) ) x¢ ( t ) dt.
tB
tC
ò P ( x, y ) dx = ò P ( x ( t ) , y ( t ) ) x¢ ( t ) dt.
L
Аналогично
tB
tC
ò Q ( x, y ) dy = ò Q ( x ( t ) , y ( t ) ) y¢ ( t ) dt.
L
tB

7. Правило. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода от точки до точки по линии производится по формуле

Правило. Вычисление криволинейного интеграла 2-го
C
B
x = x( t ) , y = y( t )
L
:
рода от точки до точки по линии
ò P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy =
производится
tC по формуле
L
= ò P ( x ( t ) , y ( t ) ) x¢ ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) ) y ¢ ( t ) dt.
(
)
tB
Следовательно, криволинейный интеграл 2-го рода
всегда существует, если непрерывны
P ( x, y ) ,
а
непрерывны со своими производными.
x ( t ) уравнение
, y( t)
Если
линии задано в явном виде
то, полагая
имеем
x = t,
XC
(
Q ( x, y ) ,
y = y ( x) ,
)
P ( x, y ( x ) ) + Q ( x, y ( x ) ) y ¢ ( x ) dx.
P
x
,
y
dx
+
Q
x
,
y
dy
=
(
)
(
)
ò
ò линия задана уравнениями
• Если
разных видов,
X
L
B
то линию нужно разбить на отдельные участки
интегрирования.

8. Примеры. 1)

y
B
x1
y = y0
C
x2
X2
x
dy = 0
ò P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = ò P ( x, y0 ) dx.
L
X1

9. 2)

y
y2
C
x = x0
y1
B
dx = 0
x
y2
ò P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = ò Q ( x0 , y ) dy.
L
y1

10. 3) Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода от точки до точки по линии

3) Вычислить
криволинейный
интеграл
I = ò xydx
+ ( x + y ) dy
O ( 0,0 ) 2го рода
от точки
до
L
L : y = x.
A ( 1,1)
точки
по линии
y
1
dy = dx
A ( 1,1)
O
1
I =ò
0
(
1
x
1
æx
4
2ö
x + 2 x dx = ç + x ÷ = .
è 3
ø0 3
2
)
3

11. 4) Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода от точки до точки по линии

4) Вычислить криволинейный интеграл 2O ( 0,0 ) до
го рода I = ò xydx + ( x + y ) dy от точки
2
L
A
1,1
y
=
x
.
L
:
(
)
точки
по линии
y
1
A ( 1,1)
O
1
(
0
x
1
(
I = ò x + 2x x + x
3
dy = 2 xdx
2
))
17
dx = .
12

12. 5) Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода от точки до точки

5) Вычислить криволинейный интеграл 2I = ò xydx + ( x + y ) dy от точки O ( 0,0 )
го рода
до точкиA ( 1,1) , OBA
где линия OB задана уравнением y = 0 ( dy = 0 ) ,
а линия BA задана уравнением x = 1 ( dx = 0 ) .
y
A ( 1,1)
1
O
1
I = ò(1+ y)
0
B ( 1,0 )
x
1+ y)
(
dy =
2
21
0
3
= .
2

13. 6) Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода от точки до точки по линии

6) Вычислить криволинейный интеграл 2го рода I = ò xydx от точки A ( 1, -1) до2точки B ( 1,1)
L
по линии L : x = y .
y
1
B ( 1,1)
O
1
A ( 1, -1)
-1
x
Рассмотрим два случая:
А) Проинтегрируем по dy. Дифференциал dx = 2 ydy.
1
2y
I = ò y y × 2 ydy =
5
-1
2
5
1
4
= .
5
-1

14. Б) Проинтегрируем по

y
Б) 1
O
-1
B ( 1,1)
1
Проинтегрируем по dx.
x
A ( 1, -1)
На участке AO уравнение линии будет y = - x .
На участке OB уравнение линии будет y = x .
Интеграл I можно представить в виде суммы
интегралов
0
1
1
4
I = ò xydx + ò xydx = - ò x xdx + ò x xdx = 2ò x xdx = .
5
AO
OB
1
0
0

15. 7) Вычислить криволинейный интеграл 2- го рода от точки до точки

7) Вычислить криволинейный интеграл 2го рода I = ò ydx - xdy
L
от точки O ( 0,0 ) до точки A ( 4p,0 ) ,
ì x = 2 ( t - sin t ) ,
í y = 2 ( 1 - cos t ) .
î
Параметр t изменяется от 0 до 2p.
где одна L арка циклоиды
2p
I=
ò
0
2p
é 4 ( 1 - cos t ) 2 - 4 ( t - sin t ) sin t ùdt =
ë
û
2p ù
2p
2p
é
= 4 ò ( 2 - 2cos t - t sin t ) dt = 4 2t 0 - 2sin t 0 - ( -t cos t + sin t ) 0 = 24p.
êë
úû
0