ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
3. Векторное поле (продолжение)
3. Векторное поле (продолжение) Векторная линия
3. Векторное поле (продолжение) Дивергенция
3. Векторное поле Дивергенция (продолжение)
3. Векторное поле (продолжение) Ротор
3. Векторное поле Ротор (продолжение)
3. Векторное поле (продолжение) Поток векторного поля
3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)
3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)
3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)
3. Векторное поле (продолжение)
3. Векторное поле (продолжение) Циркуляция
3. Векторное поле (продолжение)
3. Векторное поле (продолжение) Формула Гаусса-Остроградского
3. Векторное поле Формула Гаусса-Остроградского (продолжение)
3. Векторное поле (продолжение) Формула Стокса
3. Векторное поле Формула Стокса (продолжение)
3. Векторное поле Формула Стокса (продолжение)
711.60K
Категория: ФизикаФизика

Элементы теории поля. Векторное поле

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Лекция 3
3. Векторное поле

2. 3. Векторное поле (продолжение)

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Векторное поле определяется векторной
функцией точки
F F M F r P x, y , z i Q x, y , z j R x , y , z k ,
где
M x, y, z - точка пространства;
r x, y, z - ее радиус-вектор.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
2

3. 3. Векторное поле (продолжение) Векторная линия

• Векторная линия (силовая линия, линия
тока) поля F это кривая, у которой
0
касательный вектор в каждой точке
направлен вдоль заданного вектора поля
этой точке.
Уравнения векторной линии получаются
из решения системы
dy
dx
dz
.
P x, y , z Q x, y , z R x , y , z
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
3

4.

3. Векторное поле
Векторная линия (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
4

5. 3. Векторное поле (продолжение) Дивергенция

• Дивергенция (расходимость) векторного
поля
Q R
P
div F
F .
x y z
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
5

6. 3. Векторное поле Дивергенция (продолжение)

• Свойства дивергенции
div c 0, c const,
div r 3,
div F1 F2 div F1 div F2 ,
div cF c div F , c const,
div uF u div F F grad u ,
div uc c grad u , c const .
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
6

7. 3. Векторное поле (продолжение) Ротор

• Ротор (вихрь) векторного поля
R Q
Q P
P
R
rot F
i
j
k
z x
y z
x y
или в символическом виде
i
rot F , F
x
P
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
j
y
Q
k
.
z
R
7

8. 3. Векторное поле Ротор (продолжение)

• Свойства ротора
rot c 0, c const , rot r 0,
rot F1 F2 rot F1 rot F2 ,
rot uF u rot F grad u , F ,
div F1 , F2 F2 rot F1 F1 rot F2 .
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
8

9. 3. Векторное поле (продолжение) Поток векторного поля

• Поток векторного поля F M через
поверхность в сторону, определяемую
единичным вектором нормали n0 cos ;cos ;cos
П F n 0 ds Fn ds
P cos Q cos R cos ds
Pdydz Qdxdz Rdxdy,
где Fn - величина проекции вектора
0
направление вектора n .
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
F
на
9

10.

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
вектора F M a есть скалярная величина. Величина П равна
Поток П
объему жидкости, которая протекает через поверхность S за
единицу времени. В этом состоит физический смысл потока
(независимо от физического смысла поля).
Особый интерес представляет случай, когда поверхность S замкнута и
ограничивает некоторый объем Т. Тогда поток вектора записывается в виде
П
P cos Q cos R cos ds Pdydz Qdxdz Rdxdy,
В этом случае за направление вектора п
обычно берут направление внешней
нормали и говорят о потоке
изнутри поверхности S .
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
10

11.

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
Физически величину потока П через замкнутую поверхность можно
трактовать как разность между количеством жидкости, вытекающей
из области Т (объема Т) и втекающей в нее за единицу времени.
Eсли П > 0, то из области Т вытекает больше жидкости, чем в нее втекает.
Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.
Если П < 0, то внутри области Т имеются стоки, поглощающие избыток
жидкости.
Источники - точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки - точки,
где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле
источником является положительный заряд, стоком - отрицательный
заряд
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
11

12.

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
12

13.

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
13

14. 3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)

• Связь дивергенции с потоком векторного
поля F :
0
div F M 0 lim
F n
M 0
V 0
где
ds
V
V - объем области T ,
ds - дифференциал площади ( M 0
означает, что поверхность стягивается в точку).
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
14

15. 3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)

• Если поверхность задана уравнением
z f x, y ,
x, y D ,
поток через верхнюю сторону поверхности
можно вычислить по формуле
f x, y
П
P x, y , f x , y
x
D
f x, y
Q x, y, f x, y R x, y , f x, y dxdy.
y
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
15

16. 3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)

• Если уравнение поверхности есть
r r u, v ,
u, v G,
то
П F x u , v , y u , v , z u , v r , r dudv.
u v
G
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
16

17. 3. Векторное поле (продолжение)

• Линейный интеграл от вектора F по
линии L
Fdr Fl dl Pdx Qdy Rdz,
L
L
L
где Fl - проекция вектора F на касательную к
линии, выражает работу векторного поля F
вдоль линии L.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
17

18. 3. Векторное поле (продолжение) Циркуляция

• Циркуляция векторного поля F вдоль
контура L - линейный интеграл вдоль
замкнутой линии L
Ц
F dr .
L
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
18

19.

3. Векторное поле
Циркуляция (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
19

20.

3. Векторное поле
Циркуляция (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
20

21. 3. Векторное поле (продолжение)

• Связь ротора векторного поля с
циркуляцией определяется формулой
Пр n rot F rot F
n
1
lim
L M o s
s o
F dr ,
L
L лежит в плоскости, перпендикулярной
вектору n ,
s - площадь области,
ограниченной контуром L.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
21

22. 3. Векторное поле (продолжение) Формула Гаусса-Остроградского

• Теорема. Если векторная функция
F F M F r P x, y , z i Q x, y , z j R x, y , z k
непрерывна в замкнутой правильной области
вместе со своими частными производными
T
P / x, Q / y, R / z ,
то имеет место формула
P Q R
x y z dxdydz
T
P cos Q cos R cos ds
Pdydz Qdxdz Rdxdy.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
22

23. 3. Векторное поле Формула Гаусса-Остроградского (продолжение)

или в векторной форме
div Fdv Fn ds,
T
где - внешняя сторона поверхности,
ограничивающей тело T ;
0
n - единичный вектор внешней нормали
к ней.
В последней записи формула не зависит от
выбора системы координат (базиса).
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
23

24. 3. Векторное поле (продолжение) Формула Стокса

• Теорема. Пусть T - поверхностно-односвязная
область, L - кусочно-гладкий контур в T и
- кусочно-гладкая поверхность, натянутая на контур L,
лежащая в области T . Пусть в T задано векторное поле
F F M такое, что F M и rot F M непрерывны в
области T .
Тогда циркуляция поля F по контуру L равна потоку rot F
через поверхность
0
F dr rot F n
L
причем направление обхода контура
поверхности согласованы.
L
ds,
и ориентация
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
24

25. 3. Векторное поле Формула Стокса (продолжение)


В декартовой системе координат
F P, Q, R ,
dr dx, dy, dz ,
i
j k
rot F
, n 0 d dydz , dxdz , dxdy ,
x y z
P Q R
R Q
Pdx
Qdy
Rdz
формула Стокса примет вид
y z dydz
L
Q P
P
R
dzdx
dxdy.
z x
x y
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
25

26. 3. Векторное поле Формула Стокса (продолжение)

• Для плоского поля
F P x, y , Q x, y
i
j k
Q P
rot F
k,
x y z x y
P Q 0
имеет место формула Грина
Q P
Pdx Qdy x y dxdy.
D
L
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
26
English     Русский Правила