Элементы теории поля. Векторное поле

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Лекция 3
3. Векторное поле

2. 3. Векторное поле (продолжение)

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Векторное поле определяется векторной
функцией точки
F F M F r P x, y , z i Q x, y , z j R x , y , z k ,
где
M x, y, z - точка пространства;
r x, y, z - ее радиус-вектор.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
2

3. 3. Векторное поле (продолжение) Векторная линия

• Векторная линия (силовая линия, линия
тока) поля F это кривая, у которой
0
касательный вектор в каждой точке
направлен вдоль заданного вектора поля
этой точке.
Уравнения векторной линии получаются
из решения системы
dy
dx
dz
.
P x, y , z Q x, y , z R x , y , z
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
3

4.

3. Векторное поле
Векторная линия (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
4

5. 3. Векторное поле (продолжение) Дивергенция

• Дивергенция (расходимость) векторного
поля
Q R
P
div F
F .
x y z
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
5

6. 3. Векторное поле Дивергенция (продолжение)

• Свойства дивергенции
div c 0, c const,
div r 3,
div F1 F2 div F1 div F2 ,
div cF c div F , c const,
div uF u div F F grad u ,
div uc c grad u , c const .
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
6

7. 3. Векторное поле (продолжение) Ротор

• Ротор (вихрь) векторного поля
R Q
Q P
P
R
rot F
i
j
k
z x
y z
x y
или в символическом виде
i
rot F , F
x
P
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
j
y
Q
k
.
z
R
7

8. 3. Векторное поле Ротор (продолжение)

• Свойства ротора
rot c 0, c const , rot r 0,
rot F1 F2 rot F1 rot F2 ,
rot uF u rot F grad u , F ,
div F1 , F2 F2 rot F1 F1 rot F2 .
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
8

9. 3. Векторное поле (продолжение) Поток векторного поля

• Поток векторного поля F M через
поверхность в сторону, определяемую
единичным вектором нормали n0 cos ;cos ;cos
П F n 0 ds Fn ds
P cos Q cos R cos ds
Pdydz Qdxdz Rdxdy,
где Fn - величина проекции вектора
0
направление вектора n .
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
F
на
9

10.

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
вектора F M a есть скалярная величина. Величина П равна
Поток П
объему жидкости, которая протекает через поверхность S за
единицу времени. В этом состоит физический смысл потока
(независимо от физического смысла поля).
Особый интерес представляет случай, когда поверхность S замкнута и
ограничивает некоторый объем Т. Тогда поток вектора записывается в виде
П
P cos Q cos R cos ds Pdydz Qdxdz Rdxdy,
В этом случае за направление вектора п
обычно берут направление внешней
нормали и говорят о потоке
изнутри поверхности S .
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
10

11.

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
Физически величину потока П через замкнутую поверхность можно
трактовать как разность между количеством жидкости, вытекающей
из области Т (объема Т) и втекающей в нее за единицу времени.
Eсли П > 0, то из области Т вытекает больше жидкости, чем в нее втекает.
Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.
Если П < 0, то внутри области Т имеются стоки, поглощающие избыток
жидкости.
Источники - точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки - точки,
где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле
источником является положительный заряд, стоком - отрицательный
заряд
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
11

12.

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
12

13.

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
13

14. 3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)

• Связь дивергенции с потоком векторного
поля F :
0
div F M 0 lim
F n
M 0
V 0
где
ds
V
V - объем области T ,
ds - дифференциал площади ( M 0
означает, что поверхность стягивается в точку).
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
14

15. 3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)

• Если поверхность задана уравнением
z f x, y ,
x, y D ,
поток через верхнюю сторону поверхности
можно вычислить по формуле
f x, y
П
P x, y , f x , y
x
D
f x, y
Q x, y, f x, y R x, y , f x, y dxdy.
y
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
15

16. 3. Векторное поле Поток векторного поля (продолжение)

• Если уравнение поверхности есть
r r u, v ,
u, v G,
то
П F x u , v , y u , v , z u , v r , r dudv.
u v
G
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
16

17. 3. Векторное поле (продолжение)

• Линейный интеграл от вектора F по
линии L
Fdr Fl dl Pdx Qdy Rdz,
L
L
L
где Fl - проекция вектора F на касательную к
линии, выражает работу векторного поля F
вдоль линии L.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
17

18. 3. Векторное поле (продолжение) Циркуляция

• Циркуляция векторного поля F вдоль
контура L - линейный интеграл вдоль
замкнутой линии L
Ц
F dr .
L
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
18

19.

3. Векторное поле
Циркуляция (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
19

20.

3. Векторное поле
Циркуляция (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
20

21. 3. Векторное поле (продолжение)

• Связь ротора векторного поля с
циркуляцией определяется формулой
Пр n rot F rot F
n
1
lim
L M o s
s o
F dr ,
L
L лежит в плоскости, перпендикулярной
вектору n ,
s - площадь области,
ограниченной контуром L.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
21

22. 3. Векторное поле (продолжение) Формула Гаусса-Остроградского

• Теорема. Если векторная функция
F F M F r P x, y , z i Q x, y , z j R x, y , z k
непрерывна в замкнутой правильной области
вместе со своими частными производными
T
P / x, Q / y, R / z ,
то имеет место формула
P Q R
x y z dxdydz
T
P cos Q cos R cos ds
Pdydz Qdxdz Rdxdy.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
22

23. 3. Векторное поле Формула Гаусса-Остроградского (продолжение)

или в векторной форме
div Fdv Fn ds,
T
где - внешняя сторона поверхности,
ограничивающей тело T ;
0
n - единичный вектор внешней нормали
к ней.
В последней записи формула не зависит от
выбора системы координат (базиса).
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
23

24. 3. Векторное поле (продолжение) Формула Стокса

• Теорема. Пусть T - поверхностно-односвязная
область, L - кусочно-гладкий контур в T и
- кусочно-гладкая поверхность, натянутая на контур L,
лежащая в области T . Пусть в T задано векторное поле
F F M такое, что F M и rot F M непрерывны в
области T .
Тогда циркуляция поля F по контуру L равна потоку rot F
через поверхность
0
F dr rot F n
L
причем направление обхода контура
поверхности согласованы.
L
ds,
и ориентация
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
24

25. 3. Векторное поле Формула Стокса (продолжение)

В декартовой системе координат
F P, Q, R ,
dr dx, dy, dz ,
i
j k
rot F
, n 0 d dydz , dxdz , dxdy ,
x y z
P Q R
R Q
Pdx
Qdy
Rdz
формула Стокса примет вид
y z dydz
L
Q P
P
R
dzdx
dxdy.
z x
x y
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
25

26. 3. Векторное поле Формула Стокса (продолжение)

• Для плоского поля
F P x, y , Q x, y
i
j k
Q P
rot F
k,
x y z x y
P Q 0
имеет место формула Грина
Q P
Pdx Qdy x y dxdy.
D
L
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016
26