Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Градиент скалярного поля. Лекция 30

1. Лекция 30. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Градиент скалярного поля, Производная по направлению. Векторное поле.

Векторные линии. Поток векторного поля через
поверхности, его физический смысл.
Вычисление потока. Формула Остроградского.
Дивергенция векторного поля.
1

2.

§ 1. Скалярные и векторные поля.
Определение. (скалярного поля). Если в
трехмерном пространстве определена функция
u(x,y,z), то говорят, что задано скалярное поле
u(x,y,z).
Замечание. Другими словами говоря, задание
скалярного поля означает, что каждой точке
M(x,y,z) поставлено в соответствие число,
которое является значением функции u в точке
M.
2

3.

Пример. (скалярного поля). Если в начало
координат поместить заряд Q, то в каждой точке
пространства определена функция
Q ,
x, y, z
4 0 r
где: r x y z - расстояние от точки
до начала координат; - потенциал,
0 – диэлектрическая постоянная вакуума.
Задание функции задает скалярное поле
потенциала.
2
2
2
3

4.

Определение. (векторного поля). Говорят,
что в трехмерном пространстве задано
векторное
поле
V P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x, y , z ) k
Замечание. В этом случае каждой точке
пространства
M(x,y,z) ставится в соответствие
вектор V в точке M(x,y,z).
Для скалярных и векторных полей вводится
понятие поверхностей уровня.
Определение. (поверхностей уровня). Пусть
задано скалярное поле u(x,y,z). Поверхностью
уровня данного скалярного поля, называется
поверхность, задаваемая уравнением
u(x,y,z) = сonst.
4

5.

Пример. (поверхности уровня). Если в
начало координат поместить заряд Q, то имеем
скалярное поле потенциала
Q
,
x, y, z
4 0 x 2 y 2 z 2
Поверхностью уровня является поверхность:
Q
4 0 x 2 y 2 z 2
c,
где: с = const.
2
Q
- сфера
x y z
4 0 c
2
2
2
Такие поверхности называются
эквипотенциальными.
5

6.

Определение. (векторной линии). Пусть в
трехмерном пространстве задано векторное
поле V P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
Векторной линией заданного векторного поля
называется линия, в каждой точке которой
вектор касательной
совпадает по направлению с
вектором V .
Замечание. Уравнение векторных линий
можно находить по формуле:
dx
dy
dz
P x, y, z Q x, y, z R x, y, z
dx dy
dy dz
;
P Q
Q R
6

7.

E
Пример.
Напряженность
поля можно
определить путем
внесения пробного
электрического
заряда в любую
точку поля.
Векторные и
скалярные поля
связаны между
собой.
Q
Q
x
y
z
r
i
j
k
3
3
3
3
3
4 0 r
4 0 r 2
2
2
x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 2 72
x y z 2

8.

§ 2. Производная по направлению.
Ее вычисление.
Пусть задано скалярное поле u, где u –
дифференцируемая функция. Возьмем в
трехмерном
пространстве
вектор
l,
расположенный в этом скалярном поле. Пусть
начало вектора l характеризует
l
точку М0. Возьмем на векторе l
соседнюю точку М . Точка М как
и М0
находится в скалярном
поле u . Поэтому имеет смысл приращение
скалярного поля u в точке М0, выраженное
формулой: u ( M 0 ) u ( M ) u ( M 0 )
8

9.

Df. (производной по направлению): если
существует конечный предел отношения
приращения скалярного поля
u ( M 0 ) u ( M ) u ( M 0 )
к длине вектора, M 0 M
т.е. к M 0 M , то этот
предел называется производной скалярного
поля u по направлению l и обозначается:
u
u(M ) u(M 0 )
u ( M 0 )
( M 0 ) lim
lim
M 0 M 0
M 0 M 0
e
M M
M M
0
0
9

10.

Чтобы
вычислить
производную
по
направлению, пользуются теоремой:
Th.: (о вычислении производной по
направлению).
Если скалярное поле u(x,y,z) дифференцируемо
в каждой точке некоторой области V, то
производная по направлению в каждой точке V
существует и она выражается формулой:
u
u
u
u
( M 0 ) ( M 0 ) cos ( M 0 ) cos ( M 0 ) cos
l
x
y
z
10

11.

где , , углы определенные в любой точке
области V , которые составляет вектор l с
координатными осями.
Док-во:
т.к.
скалярное
поле
u
дифференцируется в области V, значит, в любой
окрестности точки М0 V существует
приращение скалярного поля, находимого по
формуле:
u
u
u ( M 0 )
( M 0 ) x ( M 0 ) y
x
y
u
( M 0 ) z 1 x 2 y 3 z
z
11

12.

здесь 1, 2, 3 бесконечно малые функции в
точке М0 , которые стремятся к 0, когда
x 2 y 2 z 2 0
Δx,Δy,Δz - это проекции вектора M 0 M ,
совпадающего по направлению с вектором l на
координатные оси.
u u u
, ,
x y z
- частные производные.
Разделим левую и правую части на длину
вектора
2
2
2
M 0 M x y z
После чего получаем:
12

13.

u M 0
u
x
u
y
M 0
M 0
2
2
2
2
2
2
x
y
x y z
x y z
M 0M
u
z
x
M 0
1
2
2
2
2
2
2
z
x y z
x y z
2
y
x 2 y 2 z 2
3
z
x 2 y 2 z 2
2
Перейдем к пределу в выражении (2) при M 0 M 0
x
cos
Заметим, что Mlim
2
2
2
0 M 0
x y z
Если заменить x на y и x на z, то в пределе
получим cos и cos .
13

14.

Значит, в пределе, учитывая, что
1, 2, 3 0 при M 0 M 0 , имеем:
lim
M 0 M 0
u M 0
u
u
u
M 0 cos M 0 cos M 0 cos
x
y
z
M 0M
0 cos 0 cos 0 cos
3
Так как предел правой части (2) существует и
выражается правой частью формулы (3), то и
предел левой части формулы (3) существует. Он
равен производной скалярного поля по
направлению. Значит, производная скалярного
поля u по направлению l выражается формулой:
14

15.

u
u
u
u
M 0 M 0 cos M 0 cos M 0 cos
l
x
y
z
4
Что и требовалось доказать.
Замечание: Производная скалярного поля по
направлению вектора l выражает скорость
возрастания или убывания скалярного поля по
направлению вектора l , если:
u
M 0 0 - поле возрастает
l
u
M 0 0 - поле убывает.
l
Вычисление скалярного поля производится по
формуле (4).
Пример: на практике.
15

16.

§ 3. Градиент скалярного поля. Связь
скалярных и векторных полей. Свойства
градиента.
Определение. (градиента). Градиентом
дифференцируемого скалярного поля
называется вектор
u u u
grad u
i
j k
x
y
z.
Замечание. На практике встречаются
равносильные обозначения градиента:
gradu u,
где: - оператор «Набла».
i
j k
x
y
z
16

17.

Определение градиента привязано к
декартовой системе координат. Покажем связь
скалярных и векторных полей.
Пусть задано скалярное поле u(x,y,z),
дифференцируемое в некотором V.
-l -произвольный вектор V. По определению:
u u u
grad u
i
j k
x
y
z
Но эта запись означает, что скалярному полю
u c помощью grad поставлено в соответствие
векторное поле grad. Что и говорит о том, что
скалярное и векторное поле связаны между
собой.
17

18.

Вспомним, что скалярное произведение 2-х
векторов вычисляется по формуле:
(a b) a x bx a y by a z bz
Найдем скалярное
произведение градиента
поля u и вектора l0, получим:
u
u
u
(grad u l0 )
cos cos cos
x
y
z
l0 - произвольный единичный вектор V.
В правой части производная по направлению:
u
(grad u l0 )
l
18

19.

По этой формуле можно вычислять
производную по направлению, зная градиент.
Учитывая, что:
(grad u l0 ) grad u l0 cos grad u l0
grad u cos grad u l0 = проекцияlgradu =
u
ïð l grad u
l
Df. (инвариантное определение градиента, не
зависящего от системы координат).
Градиентом скалярного поля u называется
вектор, обозначенный gradu, проекция которого
19

20.

на произвольное направление вектора l
равна производной скалярного поля по
направлению этого вектора l .
Свойства градиента:
1. Градиент дифференцируемого скалярного
поля u(x,y,z) перпендикулярен к поверхности
уровня этого скалярного поля (совпадает с
нормалью) и направлен в сторону возрастания
скалярного поля.
2. grad(c1u1 + c2u2) = c1gradu1 + c2gradu2,
c1, c2 = const;
u1, u2 – скалярные поля.
3. grad(u1 u2) = u2gradu1 + u1gradu2.
20

21.

u1 u2 gradu1 u1 gradu2
4. grad
2
u2
u2
5. Если задано скалярное поле F(u(x,y,z)), то
градиент:
gradF(u(x,y,z)) = F u gradu.
§ 4. Применение градиента для
вычисления нормали к поверхности.
Для поля u(x,y,z) введем понятие градиента:
u u
u
grad u
i
j k
x
y
z
21

22.

Если имеется уравнение поверхности
u(x,y,z) = 0, это означает, что задана поверхность
уровня скалярного поля u(x,y,z).
Так как градиент скалярного поля направлен
по нормали к поверхности уровня, то
единичный вектор нормали к поверхности
можно найти по формуле:
grad u
n
grad u
Пример. На практике
22

23. Поток.

§ 5. Задача, приводящая к понятию потока
векторного поля.
Пусть в трехмерном пространстве имеется
ориентируемая поверхность S и векторное поле,
задаваемое формулой:
V P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k
Считаем, что векторное поле V в каждой точке
векторного пространства задает поле скоростей
жидкости. Попробуем найти количество
жидкости, которое протекает через поверхность
S в направлении нормали.
23

24.

Для этого возьмем в трехмерном пространстве
поверхность S и разобьем ее на маленькие
кусочки S1, S2, …, Sn с площадями
S1, S2, …, Sn. В каждом из кусочков выберем
точки P1, P2, …, Pn, в которых найдем значение
скорости жидкости:
V P1 ,V P2 , ,V Pn
и нормали к
поверхности S:
n1, n2 , nn
24

25.

Найдем количество жидкости, которое
протекает через участок Si в единицу
времени в направлении нормали.
(V ( Pi ) ni ) Si
Численно это значение равно объему
параллелепипеда, построенного на Si как на
основании с высотой
Vi cos Vi , ni
25

26.

Если сложить объемы всех маленьких
параллелепипедов, то количество жидкости,
протекающее через поверхность S,
обозначаемое Q равно:
Q (V ( Pi ) ni ) Si
n
i 1
При таком приближенном вычислении
количество жидкости зависит от способа
разбиения и выбора точек Pi.
В физике величина не зависит. Считаем,
если существует конечный предел
lim (V ( Pi ) ni ) Si
n
max di 0 i 1
26

27.

то он и будет выражать значение количества
жидкости, протекающей через поверхность
S. Вспоминая, если предел существует, то
он называется поверхностным интегралом
1-го рода.
Q (V n)dS
S
Количество жидкости, протекающей через
поверхность S равно поверхностному
интегралу 1-го рода от скалярного
произведения скорости на единичный
вектор нормали к поверхности.
27

28.

Для того, чтобы количественно описать
векторы, электростатического,
электромагнитного поля вводится понятие
потока.
Определение (потока).
Потоком векторного поля a Pi Qj Rk
называется число, обозначаемое буквой П и
вычисляемое как:
П (a n )dS
S
28

29.

Примечание: в случае жидкости поток
равен количеству жидкости, протекающей
через поверхность.
§ 6. Вычисление потока.
Если задано
векторное
поле a ,
a Pi Qj Rk и задана поверхность S,
нормаль к которой может быть вычислена:
gradU
n
gradU
29

30.

то поток через эту поверхность S может
быть вычислен по определению
П (a n )dS
S
При этом поверхность S должна быть
однозначно проектируемой на одну из
координатных плоскостей. В этом случае
поверхностный интеграл по поверхности S
сводится к интегралу по области
проектирования поверхности S
30

31.

Второй способ вычисления потока
называется методом проектирования на
координатной плоскости. Чтобы получить
формулы, заметим, что нормаль к
поверхности может быть представлена:
n cos i cos j cos k
где , , - углы которые составляет
нормаль с координатными осями.
Тогда, в силу определения скалярного
произведения, имеем:
(a n) P cos Q cos R cos
31

32.

Поток через поверхность S равен
П P cos Q cos R cos dS
S
Пользуясь аддитивностью интеграла
П P cos dS Q cos dS R cos dS
S
S
S
32

33.

Предполагая, что поверхность S однозначно
проектируется на координатные оси имеем:
П Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
S
S
Поверхностные интегралы 2 рода
вычисляются с учетом области проектирования на координатную плоскость. Для
вычисления потока методом проектирования
на координатные плоскости имеем
П P( x( y, z ), y, z )dydz
D1
Q( x, y ( x, z ), z )dxdz R( x, y, z ( x, y ))dxdy
D2
D3
33

34.

Знаки берутся с учетом того, какой угол
составляет нормаль к поверхности для 1-го
интеграла с осью x, для 2-го с осью y, для
3-го с осью z.
Замечание: В том случае если поток через
замкнутую поверхность > 0, то внутри
замкнутой поверхности есть источник.
Если поток < 0 ,то внутри поверхности
находится сток.
Если поток = 0, то говорят, что количество
вещества втекающего в поверхность = колву вещества вытекающего из нее.
34

35.

Пример: пусть дано векторное поле
найти поток через внешнюю
поверхность конуса
z x y
S:
z 2
n2 || z
2
2
n1 составляет тупой угол с осью z.
35

36.

Поток через всю поверхность S: Ï
a xi yj
П S (a n2 )dS
2
n2 1k
S2
{
}
S
Ï
S1
Ï
S2
0
36

37.

§ 7. Формула Остроградского.
Пусть в трехмерном пространстве задана
область V, такая что:
1) Ориентированная внешней нормалью.
2) Имеющая кусочно-гладкую поверхность S.
3) В области V и на её границе S функции
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе
со своими частными производными
P Q R
,
, .
x y z
37

38.

Тогда справедлива формула Остроградского:
P Q R
dxdydz
x y z
V
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
Поверхность S замкнутая.
Доказательство. Самостоятельно.
Формула Остроградского применима только в
случае замкнутых поверхностей.
Если поверхность S ориентирована внешней
нормалью, в формуле берется знак «+», если
внутренней «-» перед поверхностным
интегралом.
38

39. § 8. Векторная запись теоремы Остроградского.

Пусть в 3-х мерном пространстве задано
векторное поле
a P ( x , y , z ) i Q ( x, y , z ) j R ( x, y , z ) k
где P, Q, R интегрируемы вместе со своими
производными.
Пусть в пространстве задана замкнутая
гладкая поверхность, ориентируемая
внешней нормалью n .
39

40. Так как S - замкнутая, гладкая, ориентированная, а функции P, Q, R удовлетворяют условиям теоремы Остроградского, имеем:

Поток через поверхность
S можно вычислить по
формуле:
П ( a n ) ds
s
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(1)
S
Так как S - замкнутая, гладкая, ориентированная,
а функции P, Q, R удовлетворяют условиям
теоремы Остроградского, имеем:
40

41.

P Q R
(
)dV Pdydz Qdzdx Rdxdy 2
X y z
V
S
Сравнивая правые части формул (1) и (2) и
P Q R
diva
вспоминая что
x y z
имеем: (a n )ds divadV
S
S
- векторная запись теоремы Остроградского.
Поток векторного поля через замкнутую
поверхность = по объему от этой
поверхности, от дивергенции векторного поля.
41

42. Пример:

a xi yj
Поток векторного поля через поверхность
неизвестен.
2
2
z x y
S:
z 2
нормаль внешняя
S - замкнутая поверхность – это боковые
поверхности конуса и плоскость z = 2.
Найдем заранее: diva 1 1 0 2
1
16
П S (a s )ds divadV 2 dV 2 4 2
3
3
S
V
V
42

43.

Замечание: из материала, приведенного
выше ясно, что скалярным полям можно
поставить в соответствие векторные поля, а
векторным- скалярные. Если дано скалярное
поле U(x,y,z) то с помощью операций gradU
скалярному полю можно ставить в
соответствие векторное поле. Если есть
векторное поле a , то с помощью div a
можно поставить в соответствие векторному
полю скалярное поле.
43

44.

§ 9. Дивергенция векторного поля, ее
вычисление.
В векторном поле a возьмем замкнутую
поверхность S с внешней нормалью n . Можем
получить характеристику поля, называемую
потоком, воспользовавшись формулой:
П ( a n )dS
S
Если взять поверхность S1, то поток будет
другим, чем через поверхность S, и понятие
потока отражает количественную характеристику
векторного поля при наличии некоторой
поверхности, и зависит не только от векторного
поля но и от поверхности.
44

45.

В некоторых задачах необходимо знать
характеристики векторного поля в каждой
точке, независимо от выбора поверхности S.
Если разделить поток на объем поверхности:
(a n )dS
ПS s
VS
VS
средняя плотность потока через поверхность S.
45

46.

Если поверхность S стягивать в точку и
предполагать что существует предел такого
отношения, то получим плотность потока в
точке.
Эту характеристику по определению
называют дивергенцией векторного поля.
Определение. (дивергенции)
Если существует конечный предел
отношения потока векторного поля через
замкнутую поверхность S к V,
46

47.

содержащемся внутри этой поверхности,
при стягивании поверхности S в точку, этот
предел называется дивергенцией
векторного поля в точке и обозначается:
diva ( M ) lim
(a n )dS
S
Vs
Физический смысл дивергенции плотность потока векторного поля.
Если div > 0, то в точке - источник,
если < 0, то сток,
если = 0, то ничего не находится
S M
47

48.

Теорема. (о вычислении дивергенции)
Если в 3-х мерном пространстве задано
векторное поле
a P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z k
где P, Q, R непрерывны вместе со своими
производными
P Q R
,
,
x y z
в некоторой области V, то в каждой точке
этой области дивергенция может быть
вычислена по формуле
P Q R
diva
x y z
48

49.

Доказательство:
(a n )dS
По определению: diva lim S
S M
VS
(a n)dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
S
Так как поверхность S замкнутая, то
применяя формулу Остроградского имеем:
P Q P
Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
S
V
49

50.

Значит, дивергенция поля может быть
записана
P Q R
diva lim
S M
x
V
y
Vs
dV
z
Частные производные непрерывны, значит
к тройному интегралу применима теорема о
среднем.
P Q P
VS
x y z M *
diva lim
S M
VS
50

51.

Частные производные непрерывны,
необходимо учитывать, что поверхность S
стягивается в точку M, можно записать, что
M * M и перейти к пределу под знаком
непрерывной функции, после чего получим:
Q
R
P
diva
(M )
(M )
(M )
x
y
z
51