Скалярные и векторные поля. Градиент. Операторы теории поля

1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ГРАДИЕНТ. ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

2.

Если в каждой точке М
заданной области
пространства (чаще всего размерности 2 или 3)
поставлено в соответствии некоторое (обычно
действительное) число u , то говорят, что в этой
области задано скалярное поле
u u(М ) u(x, y, z)

3.

Примеры
скалярных
полей
на
трёхмерном
пространстве:
• поле температуры внутри тела
(подразумевается, что она, вообще говоря, разная в
разных точках тела);
• поле потенциала электрического заряда ;
• поле давления в жидкой среде.

4.

Примеры плоских (двумерных) скалярных полей:
глубина моря, отмеченная каким-либо образом на
плоской карте;
плотность заряда на плоской поверхности
проводника.

5.

Скалярное поле можно представить графически с
помощью поверхностей уровня (также называемой
изоповерхностями).
Поверхностью уровня скалярного поля называется
множество
точек
пространства,
в
которых
функция u принимает одно и то же значение С, то есть
поверхность уровня определяется уравнением .
u( x, y, z) С

6.

Важнейшей характеристикой скалярного поля
является градиент (grad):
Градиентом
дифференцируемого
скалярного
поля u(М ) u( x, y, z) называется вектор
u u
u
grad u i
j k
x y
z

7.

Физический смысл градиента
Вектор
grad u
указывает направление
наиболее быстрого роста функции
его величина
роста.
grad u
u М , а
дает скорость этого

8.

Если в каждой точке
области
V
M ( x, y , z )
некоторой
пространства (или плоскости)
определен вектор
a (M ) P( x, y, z ) i Q x, y, z j R( x, y, z )k
то говорят, что в области задано векторное
поле
a a M a x, y, z

9.

Примерами векторного поля являются
поля скорости и ускорения в текущей жидкости
или
газе,
поле
силы
гравитации,
поле
интенсивности электростатического поля и тому
подобные.
Вообще, примером векторного поля может служить
поле сил любой природы.

10.

Важнейшими характеристиками векторного
поля являются дивергенция (div) и
ротор (rot)

11.

Дивергенцией
(или
расходимостью)
дифференцируемого векторного поля
a M P, Q, R называется скаляр
P Q R
div a
x y z

12.

Если div a M 0 0 , то т. M 0 называется источником.
Если div a M 0 0 , то т. M 0 называется стоком.
Векторное
дивергенция
поле,
во
равна
всех
точках
нулю
которого
называется
соленоидальным (то есть не имеет ни источников,
ни стоков).

13.

Ротором (или вихрем) дифференцируемого
векторного поля a M P, Q, R
называется
вектор
R Q P R
Q P
rot a
i
k
j
y z z x
x y

14.

Если для всех точек поля ротор равен нулю, то такое
поле называется потенциальным (безвихревым).
Векторное поле называется гармоническим, если
во всех точках поля
и rot a M 0
div a M 0

15.

ПРОСТЕЙШИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
К простейшим векторным полям относятся :
• соленоидальное;
• потенциальное;
• гармоническое .

16.

Производная по направлению
Пусть функция u ( M ) u ( x, y, z )
определена в
некоторой области пространства V .
Из заданной точки М ( x, y, z ) проведем вектор s . На
луче, задаваемом вектором s и точкой М ( x, y, z )
,
отметим точку М ( x x, y y, z z )
. Расстояние
между точками обозначим через s . Поэтому
s MM
x y z
2
2
2
Тогда при переходе из М в М функция u ( x, y, z )
получит приращение
u u ( x x, y y, z z ) u ( x, y, z )

17.

Производная по направлению
u
Если существует предел отношения s , когда
s 0 , то он называется производной по направлению
функции u ( x, y, z ) в точке M по направлению вектора
u
s и обозначается .
s

18.

Теорема. Если функция u ( x, y, z ) дифференцируема в
области V , то ее производная по любому направлению
s существует в каждой точке области и равны
u u
u
u
cos cos cos
s x
y
z
где cos , cos , cos направляющие косинусы вектора
s , т.е. координаты единичного вектора s 0 направления
cos , cos , cos
s
s
s0

19. Спасибо за внимание!