Теоремы Чевы и Менелая

1. Теоремы Чевы и Менелая

2. Теорема Чевы для треугольника

Если прямые AA1, BB1, CC1 ,
проходящие через
вершины треугольника
ABC, параллельны или
проходят через одну
точку, пересекают его
стороны AB, BC, AC или их
продолжения в точках
A1, B1, C1 ,
соответственно, то
справедливо равенство
AB1 CA1 BC1
1
B1C A1 B C1 A

3. Обобщение теоремы Чевы

Пусть точка M внутри тетраэдра ABCD,
точки A1 , B1 , C1, D1 – точки пересечения
плоскостей CMD, AMD, AMB, CMB с ребрами AB,
AA CC BB DD
BC, CD, DA соответственно. Тогда A C C D B C D A 1
Справедливо и обратное : если для точек A1 ,
B1 , C1, D1 , лежащих на соответствующих
AA CC BB DD
ребра , выполнено соотношение, A C C D B C D A 1
то плоскости CA1D, CD1B, AC1B, AB1D проходят
через одну точку.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

4.

B1
А1
D1
C1

5. Обобщение теоремы Чевы

Справедливо и обратное:
если для точек A1 , B1 , C1, D1 , лежащих на
соответствующих ребра , выполнено
1
соотношение, AAAC CCCD BBBC DD
DA
то плоскости CA1D, CD1B, AC1B, AB1D проходят
через одну точку.
1
1
1
1
1
1
1
1

6. Теорема Менелая для треугольника

Если треугольник ABC
пересечен прямой, не
параллельной стороне
AB и пересекающей две
его стороны AC и BC
соответственно
в
точках B1 и A1, а прямую
AB - в точке C1 , то
AB1 CA1 BC1
1
B1C A1 B C1 A

7. Обратная теорема

Точки A1, B1, C1 принадлежат прямым BC, CA,
AB, соответственно, т.е. лежат на
сторонах треугольника ABC, или их
продолжениях ABC, при этом, тогда точки
A1, B1, C1 лежат на одной прямой.

8. Обобщение теоремы Менелая

Если плоскость α пересекает ребра AB, BC,
CD, DA тетраэдра ABCD в точках A1, B1 , C1 , D1 ,
AA BB CC DD
то A C B C C D D A 1
Обратно, если для четырех точек A1, B1 , C1 ,
D1 , лежащих соответственно на ребрах AB,
BC, CD, DA тетраэдра ABCD выполнено
AA BB CC DD
равенство , A C B C C D D A 1 то эти четыре
точки лежат в одной плоскости.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1