Тройной интеграл Римана

1.

Выполнила студентка: Седых Надежда 22к1

2.

Риман родился в Брезеленце – деревеньке в
окрестностях Данненберга в Королевстве Гановер
(ныне – Федеративная республика
Германии). Фридрих Бернхард Риман, его
отец, был бедным лютеранским священником,
принимавшим участие в Наполеоновских войнах.
Его мать, Шарлотта Эбелль, умерла рано. Бернхард
был вторым из шестерых детей в семье. С ранних
лет мальчик демонстрировал потрясающие
математические способности и невероятные успехи
в счёте, однако ребёнком он был застенчивым и
пережил немало нервных срывов. Он был
патологически робким человеком и страдал от
боязни перед публичными выступлениями.

3.

В средней школе Риман старательно изучает Библию, однако его
неизменно влечёт к математике. Учителей поражала его способность
решать сложнейшие математические задачи, в чём, зачастую, он
превосходит своих преподавателей.
В 1846 г., в возрасте 19 лет, Риман начинает изучать теологию и
филологию, намереваясь стать священником, но его учитель Гаусс,
потрясённый способностями юноши к математике, настоятельно
советует ему оставить теологическую стезю и сосредоточить усилия на
точных науках.

4.

В 1854 г. состоялась его первая лекция, которая очертила область
геометрии Римана, лежащей в основе общей теории
относительности Эйнштейна. В 1857 г., в Гёттингенском
университете предпринимаются попытки присвоить учёному
особое профессорское звание. И, хотя попытки не оканчиваются
успехом, они открывают перед Риманом перспективу
стабильного заработка. В 1859 г., всё в том же Гёттингене, Римана
повышают в должности до главы отделения математики, и в том
же году его избирают членом-корреспондентом Берлинской
академии наук. Новоиспечённый член-корреспондент
представляет Академии свой доклад «Определение числа
простых чисел, меньших данной величины», который станет
ключевым в развитии теории чисел. Риман также является одним
их первых, применивших систему измерений выше трёх- и
четырёх мерных измерений для объяснения физической
реальности

5.

Инновационные труды Римана заложили основу современной
математики и различных исследовательских областей, включая
математический анализ и геометрию. Его работы нашли применение в
теориях алгебраической геометрии, геометрии Римана и теории
комплексного многообразия. Адольф Хурвиц и Феликс Кляйн доступно
изложили теорию римановых поверхностей. Этот аспект
математических знаний является основой топологии, и по сей день
широко применяется в современной математической физике. Риман
также совершил ряд поворотных открытий в теории «действительного
анализа».

6.

Он ввёл «интеграл Римана», найденный посредством «сумм Римана», и
вывел теорию тригонометрических рядов, отличную от рядов Фурье –
первого шага на пути к теории обобщённых функций, а также
определил «дифферинтеграл Римана-Лиувилля».
Много сделал Риман и для развития современной аналитической теории
чисел. Он ввёл «дзета-функцию Римана» и объяснил её значение для
понимания распределения простых чисел. Он также выдвинул ряд
предположений о свойствах дзета-функции, одними из которых являются
знаменитые «гипотезы Римана». Его труды вдохновляли работы Чарльза
Лютвиджа Доджсона, более известного под именем Льюис Кэррол, –
математика, написавшего популярные книги «Алиса в Стране чудес» и
«Алиса в Зазеркалье».

7.

8.

Определение тройного интеграла
Формально определение тройного интеграла можно ввести
аналогично двойному интегралу как предел суммы
Римана. Начнем с простейшего случая, когда область
интегрирования U имеет вид
параллелепипеда [a,b]×[c,d]×[p,q] (рисунок 1).

9.

Пусть множество чисел {x0,x1,…,xm} разбивает отрезок [a,b] на малые
интервалы, так что справедливо
соотношениеa=x0<x1<x2<…<xi<…<xm−1<xm=b.
Аналогично построим разбиение отрезка [c,d] вдоль оси Oy и [p,q] вдоль
оси Oz:c=y0<y1<y2<…<yj<…<yn−1<yn=d,p=z0<z1<z2<…<zk<…<zℓ−1<zℓ=q.Сум
ма Римана функции f(x,y,z) над разбиением [a,b]×[c,d]×[p,q] имеет
видm∑i=1n∑j=1ℓ∑k=1f(ui,vj,wk)ΔxiΔyjΔzk.Здесь (ui,vj,wk) − некоторая точка
в параллелепипеде (xi−1,xi)×(yj−1,yj)×(zk−1,zk), а приращения
равныΔxi=xi−xi−1,Δyj=yj−yj−1,Δzk=zk−zk−1.Тройной интеграл от
функции f(x,y,z) в параллелепипеде [a,b]×[c,d]×[p,q] определяется как
предел суммы Римана, при котором максимальное значение
приращений Δxi, Δyj и Δzk стремятся к
нулю:∭[a,b]×[c,d]×[p,q]f(x,y,z)dV=limmaxΔxi→0maxΔyj→0maxΔzk→0m∑i=1
n∑j=1ℓ∑k=1f(ui,vj,wk)ΔxiΔyjΔzk.Чтобы определить тройной интеграл в
произвольной области U, выберем
параллелепипед[a,b]×[c,d]×[p,q], включающий заданную область U. Введем
функцию g(x,y,z), такую,
что{g(x,y,z)=f(x,y,z),еслиf(x,y,z)∈Ug(x,y,z)=0,еслиf(x,y,z)∉U.Тогда тройной
интеграл от функции функции f(x,y,z) в произвольной
области U определяется в виде:∭Uf(x,y,z)dV=∭[a,b]×[c,d]×[p,q]g(x,y,z)dV.

10.

11.

Основные свойства тройного интеграла
Пусть функции f(x,y,z) и g(x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда
справедливы следующие свойства:
1)∭U[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dV=∭Uf(x,y,z)dV+∭Ug(x,y,z)dV;
2)∭U[f(x,y,z)−g(x,y,z)]dV=∭Uf(x,y,z)dV−∭Ug(x,y,z)dV;
3)∭Ukf(x,y,z)dV=k∭Uf(x,y,z)dV, где k - константа;
4)Если f(x,y,z)≤g(x,y,z) в любой точке
области U, то ∭Uf(x,y,z)dV≤∭Ug(x,y,z)dV;
5)Если область U является объединением двух непересекающихся
областей U1 и U2, то
6)∭Uf(x,y,z)dV=∭U1f(x,y,z)dV+∭U2f(x,y,z)dV;
7) Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной
функции f(x,y,z) в области U.Тогда для тройного интеграла справедлива
оценка:
m⋅V≤∭Uf(x,y,z)dV≤M⋅V,
где V - объем области интегрирования U.
Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f(x,y,z) непрерывна в области U, то существует
точка M0∈U, такая, что
∭Uf(x,y,z)dV=f(M0)⋅V,
где V - объем области U.

12.

Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f(x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0∈U, такая,
что
∭Uf(x,y,z)dV=f(M0)⋅V,
где V - объем области U.

13.

14.

Задача 2
Оценить максимальное значение тройного
интегралаI=∭Udxdydz√100−x2−y2−z2,где U предс
тавляет собой шар с центром в начале координат
и радиусом R=6.

15.

Решение.
Уравнение шара имеет
видx2+y2+z2≤36.Используя свойство 6, можно
записатьI≤M⋅V,где объем
шара V равенV=43πR3=43π⋅63=288π.Максима
льное значение M подынтегральной функции
равноM=1√100−36=18.

16.

Ответ:
Отсюда получаем верхнюю
оценку тройного интеграла:
I≤18⋅288π=36π
.

17.

Вычислить тройной интеграл
,
где V - параллелепипед, ограниченный
плоскостями x = − 1, x = + 1, y = 0, y = 1,z = 0, z = 2.
Решение. Пределы интегрирования для всех трёх
определённых интегралов однозначно заданы уравнениями
поверхностей, ограничивающих параллелепипед. Поэтому
сразу сводим данный тройной интеграл к последовательности
трёх определённых интегралов:
.

18.

.
Вычисляем самый внутренний интеграл - по переменной z, считая икс и игрек
константами. Получаем:
Вычисляем интеграл "в серединке" - по переменной y. Получаем;
.

19.

Теперь вычисляем самый внешний интеграл - по переменной x: