Геометрические задачи С4, по материалам ЕГЭ. Подобие треугольников

1.

МОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа №1»
Геометрические
задачи типа «С4»
по материалам ЕГЭ – 2010
Чудаева Елена Владимировна, учитель математики,
г. Инсар, Республика Мордовия

2.

Задачи
Помните:
№1
№2
№3
№4

3.

№1 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на
прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в
каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в
точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Рассмотрим 1 случай.
А
А
E
E
F
F
С
В
D
8ч
3ч
С
В
8ч
3ч
D

4.

№1 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на
прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в
каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в
точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Рассмотрим 1 случай.
А
Найдем: BD
3
36
8
96
BC , DC BC .
11
11
11
11
AD DC AC AD DC 9
,
2
2
Из ADВ, DF AD BD AB AD BD 15 .
2
2
Значит,
6 DC BD 63
EF DE DF
.
2
11
Из ADC, DE
E
F
С
В
D
8ч
3ч

5.

№1 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на
прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в
каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в
точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
А
Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Рассмотрим 2 случай.
E
F
С
В
8ч
3ч
5
96
BC DC 8, DC ,
8
5
96
36
BD DC BC
12 .
5
5
Из ADC, DE AD DC AC AD DC 9 ,
2
2
AD BD AB AD BD 15
.
Из ADВ, DF
2
2
D Значит, EF DE DF
63
.
Ответ: 9 или
11
6 DC BD
9.
2

6.

№2
Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12,
14 , опущенной на сторону, равную 12. Через точку H
проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему
треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M .
Найдите HM .
Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14.
Решение.
AB 2 BC 2 AC 2 100 144 196 1
cos B
.
2 AB BC
2 10 12
5
А
АВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2.
10
14
По условию АВС НВМ, и имеют общий угол В,
значит возможны два случая.
М
1 случай. ВМН = ВАС;
С
12
Н
В
значит, HM
k
BH 2 1
,
BC 12 6
1
1
7
AC 14 .
6
6
3
BH 2 1 , значит, HM 1 AC 1 14 14 .
2 случай. ВМН = АСВ; k
5
5
5
AB 10 5
7
14
или .
Ответ:
3
5

7.

№3 Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в
точке O , отрезки, соединяющие середину P основания AD с
вершинами B и C , пересекаются с диагоналями трапеции в
точках M и N . Найдите площадь четырехугольника OMPN , если
одно из оснований трапеции втрое больше другого.
Решение.
S ABCD
Возможно два вида трапеции. В обоих случаях:
BC 1)
ADнижнее
a основание
3a
4 вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2a,
h
h ah 2ah 240, ah 120.
2)
верхнее
основание
2
2
2 вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2a.
Найдем площадь ОMPN: SMONP=S AOD – S AMP – S PND.
В
С
O
Рассмотрим первый случай.
N
M
А
P
D

8.

а
По условию BC = a, АD = 3a, аh = 120.
SMONP=S AOD – S AMP – S PND.
h
1) BOC AOD , по трем углам
k
3а
BC a 1
.
AD 3a 3
Значит высота AOD равна
3
h , тогда:
4
1
3
3
9
S AOD AD h 3ah 120 135.
2
4
8
8
2) BMC AMP , по трем углам, k
BC
a
2
.
AP 3a / 2 3
Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции.
1
3
1 3a 3
9
S AMP S PND AD h h 120 54.
2
5
2 2 5
20
3) Находим искомую площадь: S MONP S
AOD
2S
AMP
135 2 54 27.

9.

3а
В
С
По условию BC = 3a, АD = a, аh = 120.
SMONP=S AOD – S AMP – S PND.
h
1) BOC AOD , по трем углам
O
M
А
k
N
P а
D
Значит высота AOD равна
1
1
1
1
S AOD AD h ah 120 15.
2
4
8
8
2) BMC AMP , по трем углам,
BC 3a
3.
AD a
k
1
h , тогда:
4
BC 3a
6.
AP a / 2
Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции.
1
1
1 a 1
1
30
S AMP S PND AD h h 120 .
2
7
2 2 7
28
7
3) Находим искомую площадь: S MONP S AOD 2S
Ответ: 27 или 5.
AMP
15 2
30
5.
7

10.

№4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при
стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7.
Найдите ВС.
Решение.
Пусть О – точка пересечения биссектрис.
BM 1
1, значит М лежит между точками В и N.
По условию
MN 7
B
М
N
C
O
B
М
C
N
12
O
A
D
A
Возможны два случая.
1) точка О – лежит внутри параллелограмма;
2) точка О – лежит вне параллелограмма.
Рассмотрим первый случай.
D

11.

№4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при
стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7.
Найдите ВС.
Решение.
Пусть О – точка пересечения биссектрис.
BM 1
1, значит М лежит между точками В и N.
По условию
MN 7
М
B
1,5
N
10,5
C
1,5
ВNА= NAD- накрест лежащие;
АN – биссектриса А,
12
O
A
1) ABN – равнобедренный, т.к.
D
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12,
1
1
тогда BM BN 12 1,5.
8
8
Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5.
2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12.
Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5.
3) Значит,
ВС=ВМ+MN+NC=13,5.
Рассмотрим
первый случай.

12.

№4
В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при
стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7.
Найдите ВС.
Решение. Рассмотрим второй случай:
точка О – лежит вне параллелограмма.
O
B
12
М
N
12
C
1) ABМ– равнобедренный, т.к.
ВMА= MAD- накрест лежащие;
12
12
АМ – биссектриса А,
значит ВMА= ВAM.
D
A
По условию
Тогда АВ=ВМ=12.
BM 1
, значит BM 1 BN , BN 8 12 96.
MN 7
8
2) Аналогично DNC– равнобедренный, тогда NC=DC=12.
3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108.
Ответ: 13,5 или 108.

13.

Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
http://alexlarin.narod.ru/ege.html
Рисунок на слайде №2
http://office.microsoft.com/ruru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9
%D0%BB%D1%8B
Для создания шаблона презентации использовалась картинка
http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-04/1238954029_1.jpg
и шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru