Геометрические задачи по материалам ЕГЭ

1.

Геометрические
задачи
по материалам ЕГЭ

2.

Задачи
№1
№2
№3
Нахождение угла между
плоскостью основания правильной
пирамиды и прямой, соединяющей
вершину
основания
с
точкой
пересечения медиан боковой грани.
Нахождение тангенса угла
между плоскостями ACD1 и A1B1C1, в
прямоугольном
параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1.
Нахождение угла между
плоскостью основания правильной
пирамиды и прямой, соединяющей
середины бокового ребра и ребра
основания.

3.

№1
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием
АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол,
образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М
точка пересечения медиан грани SBC.
Решение.
Пусть К – середина ребра ВС.
S
Прямая SK – апофема.
Прямая SO – высота пирамиды.
М – точка пересечения медиан грани SBC,
поэтому SM: MK = 2:1.
13
M
А
O
12 3
В
Опустим из точки М перпендикуляр MN,
тогда отрезок AN - проекция отрезка АМ
на плоскость основания.
N K
Угол MAN - искомый.
С
Его можно найти из прямоугольного
треугольника MAN.

4.

№1
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием
АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол,
образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М
точка пересечения медиан грани SBC.
Решение.
Треугольник АВС - правильный, значит
S
AB 12 3
R
AO R
12, OK r 6.
2
3
3
Из SOA: SO
13
M
А
12
16
12 3
O6N K
С
В
AS 2 AO 2 169 144 5.
Тогда,
SOК MNК, k = 3.
1
5
1
MN SO , NK OK 2, ON 4.
3
3
3
Из прямоугольного MAN, находим
MN
53
5
tg MAN
.
AN 12 4 48
5
arctg
.
Значит, искомый угол равен
48
5
.
Ответ: arctg
48

5.

№2
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у
которого AB = 6, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла
между плоскостями ACD1 и A1B1C1.
1) Построим плоскость ACD1..
Решение.
D1
C1
А1
B1
4
C
D
6
O
А
B
6
Ответ:
2 2
.
3
2) Вместо плоскости A1B1C1 возьмем
параллельную ей плоскость ABC .
3) АВСD – квадрат, диагонали АС BD в
точке О, О – середина AC, DО⊥AC.
1
1
DO DB AD2 DC 2 3 2.
2
2
4) D1О⊥ AC, так как
AD1C- равнобедренный, AD1=D1C.
5) Значит, D1ОD —
линейный угол искомого угла.
6) D1DО – прямоугольный, тогда
DD1
4
2 2
tg DOD1
DO 3 2
3

6.

№3
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием
АВС известны ребра: АВ = 8 3, SC = 17. Найдите угол,
образованный плоскостью основания и прямой
проходящей через середины ребер АS и BC.
Решение.
Пусть точка К – середина ребра ВС,
S
Точка М – середина ребра AS.
MK – прямая, проходящая через точки М и К.
17
SO – высота пирамиды.
M
В
Опустим из точки М перпендикуляр MN,
тогда отрезок КN - проекция отрезка КМ
на плоскость основания.
А
N
8 3
K
O
С
Угол MКN - искомый.
Его можно найти из прямоугольного
треугольника MКN.

7.

№3
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием
АВС известны ребра: АВ = 8 3, SC = 17. Найдите угол,
образованный плоскостью основания и прямой
проходящей через середины ребер АS и BC.
Треугольник АВС - правильный, значит
R
AB 8 3
AO R
8, OK r 4.
2
3
3
2
2
Из SOA: SO AS AO 289 64 15.
Решение.
S
17
M
15
7,5
А
N
4 O4
8 3
С
SOA MNA, т.к. А – общий, N= O=90
AO
4,
k = 2, т.к. М середина AS, значит и AN=NO=
2
1
15
В MN SO 7,5.
2
2
Из прямоугольного MKN, находим
MN
7,5 15
tg
MKN
.
K
KN 4 4 16
15
arctg
.
Значит, искомый угол равен
15
.
Ответ: arctg
16
16

8.

№1
№2
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием
АВС известны ребра: АВ = 3 3, SC = 5. Найдите угол,
образованный плоскостью основания и прямой МК, где Ксередина ребра АС, а точка М делит ребро ВS так что
ВМ:MS=3:1.
Чертеж и подсказка
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, в
основании которого лежит квадрат со стороной 8, а
боковое ребро равно 6, найдите тангенс угла между
плоскостями ВC1D и A1B1C1.
Чертеж и подсказка