ГИА 2013. Модуль «Геометрия» № 9

1. ГИА 2013 Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9

ГИА 2013
Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
№9
1

2. Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №9

Ответ: 70
2

3. Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
В треугольнике сумма углов равна 180°
3

4.

Ответ: 6.
4

5. Повторение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный
с углом треугольника
Сумма смежных углов углов равна 180°
В треугольнике сумма углов равна 180°
5

6.

Ответ: 111.
6

7. Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
7

8.

Найти наименьший из оставшихся
углов ∆ АВС.
Наименьшим из оставшихся углов ∆ АВС является ∠В, так
как третий угол равен 90°.
∠В= 90°-66°=24°
Ответ: 24.
8

9. Повторение

Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°
9

10.

Один из углов параллелограмма на 46°
больше другого. Найти больший из них.
∠А+∠D=180°
Пусть ∠А=х°, тогда∠D=х°+46°
х+х+46=180
2х=134
х=67
∠D =46+67=113
Ответ: 113.
10

11. Повторение

Параллелограмм – это четырехугольник, у
которого противоположные стороны
параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
11

12.

Найти больший угол
параллелограмма АВСD.
∠DCВ=∠АCD+∠АСВ=23°+49°=72°
∠С+∠В=180°
∠В=180°-∠В=180°-72°=108°
Ответ: 108.
12

13. Повторение

Если угол разделен на части, то его градусная
мера равна сумме градусных мер его частей.
В параллелограмме сумма соседних углов
равна 180°
13

14.

АВСD параллелограмм.
Отрезок АС явл. диагональю параллелограмма.
Углы при вершине А равны, зн. углы при вершине С тоже
равны.
⇒
АВСD - ромб. ⇒
АС ⊥ BD, зн. Угол, под
которым пересекаются
диагонали равен 90°
Ответ: 90.
14

15. Повторение

Если в параллелограмме диагональ делит углы
пополам, то этот параллелограмм является
ромбом
В ромбе диагонали пересекаются под прямым
углом
15

16.

АВCK параллелограмм.
75
°
∠А=∠ АDС=75°
∠ АDС=∠DСК=75°
∠DСК=∠ DКС=75°
∠СDК=180°-2⋅75°=30°
Ответ: 30.
16

17. Повторение

В равнобедренной трапеции углы при основании
равны
При пересечении двух параллельных прямых
третьей накрест лежащие углы равны
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
17

18.

Углы ромба относятся
как 3:7 .
Найти больший угол.
∠1+∠2=180°
Пусть х° - одна часть, тогда∠2=3х°, ∠1=7х°
3х+7х=180
10х=180
х=18
∠1=18°∙7=126°
Ответ: 126.
18

19. Повторение

В ромбе противоположные стороны
параллельны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
19

20.

Сумма двух углов
параллелограмма
равна 50°. Найти один
из оставшихся углов.
∠А+∠С=50°
∠С+∠D=180°
∠D=180°-25°=155
Ответ: 155
20

21. Повторение

В параллелограмме противоположные углы
равны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
21

22.

Разность
противолежащих
углов трапеции
равна 68°. Найти
больший угол.
∠А+∠В=180°
∠В+∠С
Если ∠А=х°, то ∠В=х°+68°
х+х+68=180
2х=180-68
х=56
∠В=56°+68°= 124°
Ответ: 124
22

23. Повторение

В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Сумма углов, прилежащих боковой стороне
трапеции равна 180°.
23

24.

Найдите угол между
С биссектрисами
D
О
углов
1
4
параллелограмма,
2
А 3
В прилежащих к одной
стороне.
∠DАВ+∠АВС=180°
Так как ∠1=∠2 и ∠3=∠4, то ∠3+∠2=90°
∠О=180°-(∠3+ ∠2)=90⁰
Ответ: 90.
24

25. Повторение

Сумма соседних углов параллелограмма равна
180⁰
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам.
В треугольнике сумма углов равна 180°
25

26.

В
С
Найдите угол между
гипотенузой и
47⁰
D медианой,
?
проведенной из
А
прямого угла.
∠А+∠В=90°
Так как ∠С=∠А+∠В, то ∠A= 43 CD=BD=DAрадиус описанной окружности, треугольник
CDA
∠А= ∠АCD
∠ВCD=47°
Ответ: 86.
∠ВDC=180°-2∙47⁰=86⁰
26

27. Повторение

В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90⁰
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Сумма углов треугольника равна 180⁰
27

28.

С
N
В
Найдите внешний
угол при вершине С.
?
О L
4
1
3 100⁰2
А
Так как ∠1=∠2, ∠3=∠4, то ∠2+∠3=1/2(∠А +∠В)
∠2+∠3=180°-100⁰=80⁰ ⇒
∠А+∠В=80⁰∙2=160⁰
Внешний угол при вершине С равен 160⁰
Ответ: 160.
28

29. Повторение

Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
Внешний угол треугольника – это угол, смежный
с углом треугольника и он равен сумме углов
треугольника, не смежных с ним.
29

30.

С
H
26⁰
А
L
?
В
В ∆HLF ∠H=90⁰, ⇒ ∠HАL+∠HLA=90° ⇒
∠HLA=90°-26⁰=64⁰
∠HLA внешний для ∆АLВ, ⇒ ∠HLA= ∠LАВ+∠В
∆АLВ - равнобедренный, ⇒ ∠LАВ=∠В
∠В=½ ∠HLA= ½ ∙ 64⁰=32⁰
Ответ: 32.
30

31. Повторение

В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90°
Внешний угол треугольника равен сумме углов
треугольника, не смежных с ним
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
31

32.

А
Y
В
?
O X
119⁰
С
∠ВОС=∠XOY как вертикальные
⇒
∠XOY =119⁰
∠YOX+∠OYA+ ∠A+∠AXO =360°, где ∠OYA=∠AXO=90⁰
⇒ ∠А=360⁰-2∙90⁰-⁰119⁰=61⁰
Ответ: 61.
32

33. Повторение

Вертикальными углами называются углы,
стороны которых являются продолжением друг
друга. Вертикальные углы равны.
Сумма углов четырехугольника равна 360°
33

34.

Е
В
23⁰
?
А
D
41⁰ С
∠ЕАD=∠DАС по условию, АЕ=АС по условию, АD - общая
⇒ ∆ЕАD=∆DАС ⇒ ∠АЕD=∠АСD=41⁰
∠ЕАD – внешний для ∆DВЕ
∠ВDЕ=41⁰-23⁰=18⁰
Ответ: 18.
34

35. Повторение

Если две стороны и угол между ними одного
треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны
Внешний угол треугольника равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
35

36.

D
Найдите
∠ВDЕ.
В
?
104⁰
Е
С
10⁰
А
∠СВD и ∠АВС ⇒ ∠СВD=180⁰-104⁰=76⁰
∠ЕСВ – внешний для ∆АВС ⇒ ∠ЕСВ=104⁰+10⁰=114⁰
∠DСВ =½∠ЕСВ=57⁰
По сумме углов тр-ка ∠СDВ =180⁰-76⁰-57⁰=47⁰
∆СDЕ=∆СDВ
⇒
∠ЕDВ =2∠СDВ=2∙47⁰=94⁰
Ответ: 94.
36

37. Повторение

Если в треугольниках две стороны и угол между
ними равны, то треугольники равны
В равных треугольниках соответственные углы
равны
Если угол разбит на части, то его градусная мера
равна сумме градусных мер его частей
37

38.

В
sin A=0,8. Найдите sin B.
С
А
sin À cos  0,8
sin cos 1
2
2
sin  1 cos B 1 0,8 0,6
2
2
Ответ: 0,6.
38

39. Повторение

В прямоугольном треугольнике синус одного
острого угла равен косинусу другого острого угла
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2 cos 2 1
39

40.

В
sin ÀÑÌ
М
3
2
Найдите sin
B.
С
А
∠А+∠В=90°
3
Так как ∠С=∠А+∠В, то ∠А= ∠АСМ ⇒ sin ÀÑÌ sin À
2
3
sin À cos Â
2
sin 2 cos 2 1
3 2 1
sin  1 cos B 1 ( ) 0,5
2
2
2
Ответ: 0,5.
40

41. Повторение

В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90⁰
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
В прямоугольном треугольнике синус одного
острого угла равен косинусу другого острого угла
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2 cos 2 1
41