Теорема синусов

1. Теорема синусов

Геометрия 8 класс

2. Теорема синусов

Формулировка. Стороны треугольника
пропорциональны синусам
противолежащих углов.
A
a
= b
= c
sin A
sin B
sin C
b
С
c
a
B

3. Задачи

Нахождение стороны
Дано:
ВС = 80,
С = 58°
А = 75°
Найти: АВ
A
75°
58°
80
?
B
С
Решение.
ВС
АВ
=
sin A
sin C
ВС ∙ sin С
АВ =
sin А
80 ∙ sin 58°
80 ∙ 0,85
≈
АВ =
sin 75°
0,97
АВ ≈ 70
Нахождение угла
A
Дано:
ВС = 80,
75° 70
АВ = 70
А = 75°
?
Найти: С С
B
80
Решение.
ВС
АВ
=
sin A
sin C
sin C = АВ ∙ sin A
ВС
70 ∙ sin 75°
70 ∙ 0,97
sin C =
≈ 80
80
sin C ≈ 0.85,
С ≈ 58°

4.

Отношение стороны треугольника к
синусу противолежащего угла равно
диаметру описанной окружности
A
b
a
2R
= b
= c
=
sin A
sin B
sin C
R О
С
a
c
B

5. Пример

Дано: треугольник АВС
ВС = 16 см
А = 60°
R-?
A
ВС
2R
sin A
BC
16
R
2 sin A 2 sin 600
16
16 3
R
3
3
2
2
b
R
С
c
O
a
B

6. Задача №2

Вершина горы видна из
точки А под углом
38°42’, а при
приближении к горе на
200 м вершина стала
видна под углом 42°.
Найти высоту горы.
Дано: АВ = 200 м, <САВ = α =
38°42’; <СВD = β= 42°; СD DA
Найти: СD.
Решение. 1. Из СВА по теореме
синусов имеем равенство CD\ sin
α = AB\ sinγ , откуда
CB = AB sin α\ sinγ.
2. Угол β — внешний угол АВС,
поэтому
β = α +γ, откуда
γ = β – α.
3. СВ = 200 sinα\sin(β-α) .
4. Из СВD находим
СD = СВsinβ = 200 sinα sinβ\
sin(β-α) = 14325 м.
Ответ: СD = 14 325 м.

7. Задача №1

Для определения
ширины непроходимого
болота с вертолета,
находящегося на высоте
h, измерили углы α и β.
Найдите ширину болота
• Дано: СD DВ;
№1
• Задача
<САВ = α;
<СВD = β,
СD = h
• Найти: АВ.
• Решение: 1. Из
прямоугольного тр-ка
АDC находим:
АС = h\sin α
• 2. Из АВС по теореме
синусов имеем:
АВ\sin(α-β) =AC\sinβ
AB= AC sin(α-β)\ sinβ =
= h sin(α-β) \ sinβ sinβ
• Ответ: h sin(α-β) \ sinβ
sinβ

8.

Задача 3
A
45
B
0
C
AC 4 2
R ?
Ответ: R 4

9.

Задача 4
C
30
A
0
B
d 14
AB ?
Ответ: AB 7

10.

Задача 5
B
600
A
75
0
4
C
0
BAC
75
AC 4,
ABC 600
AB ?
4 6
Ответ: AB
3

11.

Задача 6
C
135
2
0
2 2
B
A
AB 2 2,AC 2,
ACB 1350
A ?
Ответ: A 15
0

12.

Задача 7
B
2
A
600
3
C
AB 2,BC 3
BAC 600
B ?
Ответ: B 75
0

13.

Задача 8
C
600
12
A
75
AC 12,
0
BAC 75
0
BCA 60
0
B
AB ?
Ответ: AB 6 6

14.

Задача
B
À
5
4
60
0
C
AB 5,AC 4
ACB 600
AB ?
Ответ: AB 21

15.

Задача
B
4
C
2
2 3
A
AB 2,BC 4,
AC 2 3
B ?
Ответ: B 60
0