Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Лeкция №6-7

1. ЛEКЦИЯ №6-7

Экстремум функции нескольких
переменных. Наибольшее и наименьшее
значения функции в замкнутой области

2. Основные понятия

Пусть функция z f ( x; y ) определена в некоторой области D и M 0 ( x0 , y0 ) D
Функция z f ( x; y ) имеет максимум в точке M 0 ( x0 , y0 ) , если
f ( x0 ; y0 ) f ( x; y)
для всех точек ( x; y ) достаточно близких к точке ( x0 ; y0 ) и отличных от неё.
Функция z f ( x; y ) имеет минимум в точке M 0 ( x0 , y0 ) , если
f ( x0 ; y0 ) f ( x; y)
для всех точек ( x; y ) достаточно близких к точке ( x0 ; y0 ) и отличных от неё.
z
f ( x0 ; y0 )
f ( x; y )
f ( x; y )
f ( x0 ; y0 )
x
M 0 ( x0 ; y0 )
y
M 0 ( x0 ; y0 )
M ( x; y )
M ( x; y )
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

3. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Необходимые условия экстремума. Если функция z f ( x; y ) достигает
экстремума в точке M 0 ( x0 , y0 ) , то её частные производные в этой точке равны
нулю или не существуют:
z x ( x0 ; y0 ) 0, z y ( x0 ; y0 ) 0
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не
существуют называются критическими точками функции.
Для нахождения экстремума функции в данной области необходимо
каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию.
Достаточные условия экстремума. Пусть функция z f ( x; y ) в некоторой
области D имеет непрерывные частные производные и точка M 0 ( x0 , y0 ) есть
критическая точка данной функции. Обозначим:
A B
A f xx ( x0 ; y0 ), B f xy ( x0 ; y0 ), C f yy ( x0 ; y0 ) и
.
B C
Тогда:
1) Если 0, A 0 , то функция в точке M 0 ( x0 , y0 ) имеет минимум;
2) Если 0, A 0 , то функция в точке M 0 ( x0 , y0 ) имеет максимум;
3) Если 0 , то в точке M 0 ( x0 , y0 ) функция экстремума не имеет.

4.

2
2
Пример 1. Найти экстремум функции z x xy y 3x 2 y 1 .
Решение. Находим частные производные первого порядка функции:
z x 2 x y 3, z y x 2 y 2
Приравняем их к нулю и найдем критические точки функции:
2x y 3 0
x 2 y 2 0
4
1
x , y
3
3
4 1
Т.е. точка M 0 ; - критическая точка функции.
3 3
Далее находим частные производные второго порядка исходной функции:
z xx 2, z xy 1, z yy 2
Вычисляем значения частных производных второго порядка в
критической точке:
A z xx ( M 0 ) 2, B z xy ( M 0 ) 1, C z yy ( M 0 ) 2
Находим определитель:
2 1
1
2
4 1 3 0
4 1
Так как 0, A 0 , то в точке M 0 ; функция имеет минимум:
2
3 3
2
1
4
4 1 4 4 1 1
4
z min ; 3 2 1
3
3
3 3 3 3 3 3
3

5.

Пример 2. Найти экстремум функции z x3 y 3 3xy .
Решение. Находим критические точки: z x 3x 2 3 y, z y 3 y 2 3x,
3x 2 3 y 0
2
3 y 3x 0
x1 1,
y1 1
x2 0, y2 0
Получили две критические точки: M1 (1;1), M 2 (0;0) .
Вычисляем частные производные второго порядка:
z xx 6 x,
z xy 3,
z yy 6 y
Далее исследуем на экстремум каждую точку отдельно:
1) Исследуем точку M1 (1;1) :
A z xx ( M 1 ) 6,
B z xy ( M 1 ) 3,
6
3
3
6
C z yy ( M 1 ) 6
36 9 27
Так как 0, A 0 , то в точке M1 (1;1) функция имеет минимум:
zmin (1;1) 13 13 3 1 1 1
2) Исследуем точку M 2 (0;0) : A z xx ( M 0 ) 0,
0
3
3
0
B z xy ( M 2 ) 3,
C z yy ( M 2 ) 0
0 9 9
Так как 0 ,то в точке M 2 (0;0) функция экстремума не имеет.

6. Наибольшее и наименьшее значение в заданной области

Пусть функция z f ( x; y ) определена и непрерывна в замкнутой
области D.
Тогда она достигает в некоторых точках этой области своего
наибольшего и наименьшего значения.
Эти значения достигаются функцией во внутренних точках области
или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:
1) Найти все критические точки функции, принадлежащие заданной
области, и вычислить значения функции в них.
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах
области.
3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них
наибольшее и наименьшее значения.

7.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z x 2 2 y 2 2 x 8 y 5 в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями
координат и прямой x y 4 0 .
Решение. Строим область и находим критические точки функции:
В
z x 2 x 2
z y 4 y 8
у
4
.
2 x 2 0
4 y 8 0
x 1
y 2
M 0 (1;2)
Эта точка лежит внутри области. Вычисляем
значение функции в этой точке:
z M 0 z (1;2) 1 8 2 16 5 4
M0
О
А
Исследуем границы области: OA : y 0, 0 x 4 , получим
z 2 x 2,
2 x 2 0,
x 1
Получили точку M1 (1;0) . Находим z M1 z 1;0 4 .
2
Граница OB : x 0, 0 y 4 , получим z 2 y 8 y 5 ,
z 4 y 8, 4 y 8 0,
y 2
4
Т.е. имеем точку M 2 (0;2) . Вычисляем
z M 2 z 0;2 3
z x2 2x 5

8.

Граница AB : y 4 x . Подставив это выражение в заданную функцию,
получим:
z x 2 2(4 x) 2 2 x 8(4 x) 5
или
z 3x 2 10 x 5
Находим
5
5 7
z 6 x 10,
6 x 10 0,
5 7
x ,
3
y 4
3
3
Получили точку M 3 ; .
3 3
Вычисляем значение функции в этой точке:
10
5 7
z M 3 z ;
3
3 3
Далее вычисляем значения функции в точках O(0;0), A(4;0), B(0;4) .
z O z 0;0 5,
z A z 4;0 13,
z B z 0;4 5
Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение
заданная функция достигает в точке А(4;0), а наименьшее – в точке M 0 (1;2) .
Таким образом:
zнаиб. z 4;0 13,
zнаим. z 1;2 4

9. Производная по направлению

Производной функции z f ( x, y ) по направлению вектора s MM 1
называется предел
z
f ( M1 ) f ( M )
z
где x y
lim
lim
0
s MM 0
MM1
2
2
1
Если функция z f ( x, y ) дифференцируема, то производная по
направлению вычисляется по формуле
(*)
z z
z
s
x
cos
y
sin
где - угол , образованный вектором s и осью ОХ.
В случае функции трех переменных u f ( x, y, z ) производная по
направлению определяется аналогично:
u u
u
u
(**)
cos cos cos
s x
y
z
где cos , cos , cos - направляющие косинусы вектора s .
Производная функции по направлению s характеризует скорость
изменения функции в данном направлении.

10.

Пример. Найти производную функции u x 2 y 2 4 yz в точке M (0;1;2)
в направлении вектора s MM 1 , если M1 (2;3;3) .
Решение. Находим координаты вектора MM 1 и его направляющие
косинусы:
MM 1 x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 2 0;3 1;3 2 2;2;1
cos
x
MM 1
2
2
y
2
z
1
, cos
, cos
MM 1 3
MM 1 3
22 22 12 3
Находим частные производные функции и их значения в точке М:
u x 2 x, u y 2 y 4 z, u z 4 y
u x ( M ) 2 0 0, u y ( M ) 2 1 4 2, 2 u z ( M ) 4 1 4
Следовательно, используя формулу (**), получим:
u
2
2
1
16
0 6 4
3
3
3
3
s

11. Градиент функции

Градиентом функции u f ( x, y, z ) в точке M ( x, y, z ) называется вектор
с началом в точке М, имеющий своими координатами частные производные
функции u f ( x, y, z ) :
grad u
u
u
u
i
j
k
x
y
z
Градиент функции и производная по направлению вектора связаны
формулой
u
nps ( grad u )
s
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в
данной точке.
Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение,
равное
2
u
u u u
grad u
s наиб
x y z
2
2

12.

Пример. Вычислить градиент функции z x3 y 3 3xy
в точке A(2;1) .
Решение. Находим частные производные заданной функции:
z
3x 2 3 y,
x
z
3 y 2 3x
y
Вычисляем значения частных производных в точке А:
z
x 9,
A
z
y 3
A
Подставляем найденные значения в формулу градиента:
grad u
u
u
i
j
x
y
Получим:
grad u A 9i 3 j