Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

1. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Сумма (разность) синусов
Сумма (разность) косинусов

2. Рассмотрим выражение

sin s t sin s t
sin s cos t cos s sin t sin s cos t cos s sin t
2 sin s cos t
sin s t sin s t 2 sin s cos t

3. Введем обозначения:

x s t,
y s t
x y
x y 2s s
2
x y
x y 2t t
2

4. Тогда

Заменим
s
на
s t на x , s t на
x y
x
y
, t на
2
2
y
ТОГДА
x y
x y
sin x sin y 2 sin
cos
2
2

5. Учитывая, что находим

Учитывая, что sin y sin y
находим
sin x sin y sin x sin y
x y
x y
2 sin
cos
2
2
x y
x y
2 sin
cos
2
2

6. Получили формулу:

x y
x y
sin x sin y 2 sin
cos
2
2

7.

Рассмотрим выражение
cos s t cos s t
cos s cos t sin s sin t cos s cos t sin s sin t
2 cos s cos t
cos s t cos s t 2 cos s cos t

8. Введем обозначения:

x s t, y s t
Получим:
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2

9.

Аналогично получаем
x y
x y
cos x cos y 2 sin
sin
2
2