Свойства функции y = sin xи ее график

1.

1
y
- 2π
-π
0
π
2π
x

2. Свойства функции

2
Свойства функции
1.D(y)
2.E(y)
3. Четность функции
4. Периодичность функции
5.Нули функции
6. Наибольшее значение
7. Наименьшее значение
8. Положительные значения
9. Отрицательные значения
10. Возрастание функции
11. Убывание функции

3. y = sin x

3
y
y = sin x
1
D (y)
x
0
xЄR
-1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
x

4. y = sin x

4
y
y = sin x
E (y)
1
0
[ -1; 1]
y
x
-1
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

5. y = sin x

5
y
y = sin x
1
Четность функции
Функция нечетна, т.к. sin(-x)=-sin x,
график симметричен относительно
(0;0)
0
x
-1
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

6. y = sin x

6
y
y = sin x
1
Периодичность функции
0
Период функции Т=2π,
sin(x+2π)=sin x
x
-1
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

7. y = sin x

7
y
y = sin x
1
Нули функции sin x = 0
при x = πk
0
y
x
-1
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

8. y = sin x

8
y
1
y = sin x
0
Наибольшее значение sin x = 1
при х= π/2+2πk
y
x
-1
х= π/2
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

9. y = sin x

9
y
y = sin x
1
Наименьшее значение sin x = -1
при х= -π/2+2πk
0
y
x
-1
х= 3π/2
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

10. y = sin на отрезке

10
Построение графика функции
y = sin на отрезке
y
0, 2
3
4
6
sin(π/6)=0,5
x
sin(π/4) 0,7
y
sin(π/3) 0,866
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
6 4 3
π/2
π
3π/2
2π
x

11.

График функции на отрезке
;
у = sin x
11
y
x
y
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
x
3π/2

12. y = sin x

12
y
y = sin x
x
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

13. y = sin x

13
y = sin x
График функции y=sin x называется синусоида
y
1
-2π
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
5π/2 x

14. y = sin x

14
Промежутки знакопостоянства
y
y = sin x
+
+
Положительные значения sin x>0
на отрезке (2πk; π+2πk), k
x
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

15. y = sin x

15
.
y
Промежутки знакопостоянства
y = sin x
Отрицательные значения sin x<0
–
на отрезке (π+2πk; 2π+2πk). k
x
–
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

16. y = sin x

16
Промежутки возрастания
y
y = sin x
Функция возрастает
на отрезке [-π/2+2πk; π/2+2πk]
x
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

17. y = sin x

17
Промежутки убывания
y
y = sin x
Функция убывает
на отрезке [π/2+2πk; 3π/2+2πk]
x
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
-1
π/2
π
3π/2
2π
x

18.

18
Задача
Сравнить числа
Так как
= 3,14,
< 2 < 3 <
sin 2
2
и
1,57
sin 3
, то
2
Из графика видно, что на отрезке ;
2
функция у=sinх убывает.
Ответ: sin 2 > sin 3.

19. Упражнения

Пользуясь свойствами функции у = sin x ,
сравните числа:
sin 1000 и sin 1300
sin 4
и sin 2
sin
9
и
7
sin
18

20. Расположить в порядке возрастания числа sin 1.9 ; sin 3; sin(-1); sin(-1.5).

Числа sin 1.9 и sin 3 положительны, так как
точки Р1,9 и Р3 находятся во 2 четверти.
Функция у=sinх во 2 четверти убывает. sin 3 <
sin 1.9
Числа sin(-1) и sin(-1.5) отрицательны, так
как точка Р(-1) и Р(-1,5) находятся в 4
четверти.
Функция у=sinх во 4 четверти возрастает..
sin(-1.5) < sin(-1.5)
Ответ:
Таким образом, в порядке возрастания эти чила
располагаются так:

21.

Используя свойство возрастания или убывания функции
y=sinx, сравните числа:
1 вариант
7
1. sin
10
13
2. sin
7
8
3. sin( )
7
4. sin 7
2 вариант
и
и
и
и
13
sin
10
11
sin
7
9
sin( )
8
sin 6

22.

22
;
2
на два так, чтобы на одном из
Разбить отрезок
2
них функция у=sin х убывала, а на другом возрастала.
Ответ; На отрезке
3
2 ; 2
3
;
2
а на отрезке
2
функция у=sin х убывает,
функция возрастает.

23.

№ 722 Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на
одном из них функция у=sinх возрастала, а на другом убывала.
1)
0
;
2
0;
;
2
2) ;2
2
3
2 ; 2
3
;
2
2
3)
;0
- Функция возрастает
- Функция убывает
- Функция убывает
- Функция возрастает
- Функция убывает
;
2
2 ;0
- Функция возрастает

24.

y = sinx
Сдвиг
Преобразование графика
4,5
Построить
график функции
у=sinх+3
3,5
3
3
2,5
2
1,5
y = sinx
1
+
вверх
вдоль оси ординат
y = sinx + 3
4
0,5
0
2
-0,5
-1
-1,5
1,5
Построить график
функции
у=sinх-3
1
0,5
0
-0,5
-1
-2
-2,5
-3
-
-3,5
вниз
y = sinx - 3
-1,5
-4
-4,5
-3
24

25.

25
Сдвиг вдоль оси абсцисс
Построить график функции
у=sin(х - 4 )
1,5
+
y = sin x
1
y = sin(x -
0,5
4
)
π/
0
Сдвиг влево
-0,5
-1
-1,5
Построить
график функции
у=sin(х+ )
-
4
y = sinx
1
0,5
0
-0,5
-1
Сдвиг вправо
1,5
-1,5
-
y = sin(x +
4
)

26.

Сжатие и растяжение к оси абсцисс
Построить график
функции у= 3 sinх
K >1
растяжени
е
У = 3 sin x
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
1,5
Построить график 1
функции у=1/ 3 sinх0,5
0< K <1
сжатие
0
-0,5
-1
-1,5
у = 1/3 sin x
26

27.

27
Сжатие и растяжение к оси ординат
Построить
график функции
у = sin2х
K >1
сжатие
Построить
график функции
у = sin х
2
0< K <1
растяжени
1,5
У =sin 2х
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
У = sin
y
1,5
х
2
1
0,5
0
x
0
-0,5
-1
-1,5
- π/2
π/2
π
3π/2
2
π

28.

У
28
y = sin x
х
При каких значениях х функция у=sinx принимает
значение, равное 0? 1? -1?
Может ли функция у=sinx принимать значение
больше 1, меньше -1?
При каких значениях х функция у=sinx принимает
наибольшее (наименьшее) значение?
Каково множество значений функции у=sinx?