Свойства функции y = sin x и ее график

1.

y
- 2π
-π
0
π
2π
x
1

2. Свойства функции

1.D(y)
2.E(y)
3. Четность функции
4. Периодичность функции
5.Нули функции
6. Наибольшее значение
7. Наименьшее значение
8. Положительные значения
9. Отрицательные значения
10. Возрастание функции
11. Убывание функции
2

3. y = sin x

y
y = sin x
1
D (y)
x
0
xЄR
-1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
3
x

4. y = sin x

y
y = sin x
E (y)
1
0
[ -1; 1]
y
x
-1
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
4
x

5. y = sin x

y
y = sin x
1
Четность функции
Функция нечетна, т.к. sin(-x)=-sin x,
график симметричен относительно
(0;0)
0
x
-1
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
5
x

6. y = sin x

y
y = sin x
1
Периодичность функции
0
Период функции Т=2π,
sin(x+2π)=sin x
x
-1
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
6
x

7. y = sin x

y
y = sin x
1
Нули функции sin x = 0
при x = πk
0
y
x
-1
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
7
x

8. y = sin x

y
1
y = sin x
0
Наибольшее значение sin x = 1
при х= π/2+2πk
y
x
-1
х= π/2
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
8
x

9. y = sin x

y
y = sin x
1
Наименьшее значение sin x = -1
при х= -π/2+2πk
0
y
x
-1
х= 3π/2
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
x
2π
-1
9

10. y = sin на отрезке

Построение графика функции
y = sin на отрезке
y
0, 2
3
4
6
sin(π/6)=0,5
x
sin(π/4) 0,7
y
sin(π/3) 0,866
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
6 4 3
π/2
π
3π/2
2π
-1
10
x

11.

График функции на отрезке
;
y
у = sin x
x
y
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
x
3π/2
11

12. y = sin x

y
y = sin x
x
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
12
x

13. y = sin x

График функции y=sin x называется синусоида
y
1
-2π
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
5π/2 x
-1
13

14. y = sin x

Промежутки знакопостоянства
y
y = sin x
+
+
Положительные значения sin x>0
на отрезке (2πk; π+2πk), k
x
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
14
x

15. y = sin x

.
y
Промежутки знакопостоянства
y = sin x
Отрицательные значения sin x<0
–
на отрезке (π+2πk; 2π+2πk). k
x
–
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
15
x

16. y = sin x

Промежутки возрастания
y
y = sin x
Функция возрастает
на отрезке [-π/2+2πk; π/2+2πk]
x
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
x
2π
-1
16

17. y = sin x

Промежутки убывания
y
y = sin x
Функция убывает
на отрезке [π/2+2πk; 3π/2+2πk]
x
y
1
- 3π/2
-π
- π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
-1
17
x

18.

Задача
Сравнить числа
Так как
= 3,14,
< 2 < 3 <
sin 2
2
и
1,57
sin 3
, то
2
Из графика видно, что на отрезке ;
2
функция у=sinх убывает.
Ответ: sin 2 > sin 3.
18

19.

Преобразование графика
y = sinx
4,5
Построить график
функции
у=sinх+3
y = sinx + 3
4
3,5
3
3
2,5
2
1,5
y = sinx
1
+
Сдвиг вдоль оси ординат
0,5
вверх
0
2
-0,5
-1
-1,5
1,5
Построить график
функции
у=sinх-3
1
0,5
0
-0,5
-1
-2
-2,5
-3
-
y = sinx - 3
-1,5
-3
-3,5
вниз
-4
-4,5
19

20.

Сдвиг вдоль оси абсцисс
Построить график функции
у=sin(х - 4 )
1,5
+
y = sin x
1
y = sin(x -
0,5
4
)
π/
0
Сдвиг влево
-0,5
-1
-1,5
Построить
график функции
у=sin(х+ )
-
4
1,5
y = sinx
1
y = sin(x +
4
)
0,5
0
-0,5
-
-1
Сдвиг вправо
-1,5
20

21.

Сжатие и растяжение к оси абсцисс
Построить график
функции у= 3 sinх
K >1
растяжение
У = 3 sin x
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
1,5
Построить график 1
функции у=1/ 3 sinх0,5
у = 1/3 sin x
0
0< K <1
сжатие
-0,5
-1
-1,5
21

22.

Сжатие и растяжение к оси ординат
Построить график
функции
у = sin2х
1,5
У =sin 2х
1
0,5
0
K >1
-0,5
сжатие
Построить
график функции
у = sin х
2
-1
-1,5
У = sin
y
1,5
х
2
1
0,5
0
x
0
-0,5
0< K <1
растяжение
-1
-1,5
- π/2
π/2
π
3π/2
2
π
22