Устные упражнения. Определение производной. (10 класс)

1. Устные упражнения

Найдите тангенс угла наклона прямой к
положительному направлению оси абсцисс и угловой
коэффициент этой прямой
у
5
Ответ: tgα = 0,6; k = 0,6.
α
2
α
О
1
6
х

2. Устные упражнения

Найдите тангенс угла наклона прямой к
положительному направлению оси абсцисс и угловой
коэффициент этой прямой
у
5
Ответ: tgα = -0,6; k = -0,6.
2
α
О
1
6
х

3. Определение 2

∆х = х1 – х0 – приращение аргумента
∆y = f(x0 + ∆х) - приращение функции
у
у = f(x)
f(х0 + ∆x)
∆y
f(х0)
О
P
M
х0
∆x
х1
х

4. Задача 1

∆s
s = s(t)
х
М
P
О OM = s(t)
OP = s(t + ∆t)
MP = OP – OM = s(t + ∆t) – s(t) = ∆s
vср.
s
м / с
t
s
v Lim
м / с
t 0 t

5. Определения секущей и касательной к графику функции

у
у = f(x)
P
M
О
х

6. Задача 2 (о касательной к графику функции).

kсек.= tg β
у
у = f(x)
f(a + ∆x)
P
∆y
у
kсек .
х
k кас. Lim kсек .
х 0
M
f(a)
α
β
О
a
β
a+ ∆x
∆x
у
k кас. Lim
х 0 х
х
kкас.= tg α

7. Определение.

у
f x0 Lim
х 0 х
у
у = f(x)
f(х0 + ∆x)
∆y
f(х0)
О
P
M
х0
∆x
х1
х

8. Физический смысл производной

s = s(t)
О
М
v(t ) s (t )
х

9. Геометрический смысл производной

f a kкас. tg
у
у = f(x)
M
α
О
а
х

10.

Алгоритм нахождения производной
функции у = f(x)
1.
Зафиксировать значение х, найти f(x).
2.
Дать аргументу приращение Δх, перейти в новую
точку х + Δх, найти f(x + Δх).
3.
4.
5.
Найти приращение функции Δу = f(x + Δх) - f(x).
у
.
Составить отношение
х
у
.
Вычислить Lim
х 0 х
Этот предел и есть f’(x).

11. Примеры применения геометрического смысла производной.

12.

Ответ: 4.

13.

Ответ: 1

14.

Ответ: -1

15.

Формулы дифференцирования
С 0
х 1
kх m k
2
( х ) 2 х
1
1
2
х
х
1
х
2 х

16. Таблица производных функций

17. Правила вычисления производных

18. Решение задач

Найти производную функции
Пример №1
Общая формула производной степенной функции:
Производная от x равна 1, следовательно 7*1
и получаем просто 7

19. Пример №2

Найти производную функции
Общая формула производной степенной функции:
Общая формула дифференцирования произведения:

20. Пример №3

Найти производную функции
Общая формула производной степенной функции:
Общая формула дифференцирования частного:

21. Пример № 4

Найти производную функции
Cos (5x – 3)
Находим для начала производную от функции cos x,
она будет равна – sin x.
Так как у нас под знаком cos стоит функция
следовательно мы должны найти производную от
функции f (5x – 3). Она будет равна 5 по формуле
дифференцирования линейной функции. F’(5x – 3)
= 5 (формула f’(kx – b) = k) Следовательно f’(cos
(5x – 3) = - 5 sin (5x – 3)

22. Пример № 5

Найти производную функции
Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным
показателем:
2
f(x) = (x + 8x − 7)
0,5
2
Теперь делаем замену: пусть x + 8x − 7 = t. Находим производную
по формуле:
0,5
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t )’ · t ’ = 0,5 · t
−0,5
·t’
2
Делаем обратную замену: t = x + 8x − 7. Имеем:
2
−0,5
2
f ’(x) = 0,5 · (x + 8x − 7) · (x + 8x − 7)’ =
2
−0,5
0,5 · (2x + 8) · (x + 8x − 7)
Наконец, возвращаемся к корням: