Квантовая статистика

1.

Квантовая статистика
В классической механике частицы одинаковой природы
можно различать, пронумеровав (пометив) можно следить
при движении по траектории и в любой момент указать на
нужную частицу.
В квантовой механике, в силу принципа неопределенности,
нет понятия траектории,
следить и различать невозможно
потеря индивидуальности
глубокие физические следствия.

2.

Квантовая статистика
Рассмотрим систему из двух тождественных частиц.
Координаты одной 1, другой 2 Функция ψ( 1, 2),
не меняется при перестановке ,т.е. не меняются физические
свойства системы.
ψ( 1, 2) 2 = ψ( 2, 1) 2
Возможны два случая:
симметричная ψ – функция
ψ( 1, 2) = ψ( 2, 1),
и антисимметричная ψ – функция
ψ( 1, 2) = – ψ( 2, 1).

3.

Квантовая статистика
Частицы с целым и нулевым спином могут находиться в
пределах одной системы в неограниченном количестве.
Подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна, называются
бозонами, описываются симметричной функцией.
Частицы с полуцелым спином (электроны, нуклоны)
описываются антисимметричными ψ – функциями,
находятся в квантовых состояниях поодиночке (принцип
Паули). Подчиняются статистике Ферми – Дирака и
называются фермионами.

4.

Квантовая статистика
Фермионы и бозоны при размещении по ячейкам ведут себя
по-разному.
Фермионы согласно принципу Паули.
Для бозонов вероятность рождения в состоянии, где уже есть
n бозонов, пропорциональна n (бозоны любят накапливаться).
Идеальный ферми-газ и идеальный бозе-газ.
Количество частиц – N, количество фазовых ячеек Z, число
способов, которыми можно распределить N частиц по Z
ячейкам – Ω.
Ω – статистический вес системы.
Задача – его определить, найти Ω(N,Z).
Если N = Z, то фермионы распределяются только одним
способом: по одной частице в ячейку.

5.

Квантовая статистика
Бозоны: В потенциальной
яме все бозоны могут
занимать один нижний
энергетический уровень,
образуя конденсат БозеЭйнштейна
Фермионы согласно
принципу Паули на одном
уровне могут находиться не
более двух частиц с
разнонаправленными
спинами.

6.

Фазовое пространство
Одной из основных задач статистической физики является
нахождение закона распределения частиц по разным
квантовым состояниям.
Рассматривается система невзаимодействующих частиц
(идеальный газ, невырожденный). Каждая частица может
находиться в состояниях с энергиями: <ε1>,
<ε2>, …
Равновесному состоянию системы соответствует среднее
число заполнений состояний с соответствующими энергиями:
<n1>, < n2>, … (дробные).
Задача заключается в нахождении наиболее вероятного
распределения частиц по ячейкам.

7.

Фазовое пространство
Фазовое пространство – шестимерное пространство с
взаимно-перпендикулярными осями:
x, y, z, px, py, pz –,.
Состояние частицы с координатами xi, yi, zi, и импульсами
pxi, pyi, pzi –обозначается в этом пространстве точкой.
Но из принципа неопределенности:
x px∙ y py∙ z pz = ħ3
возможно только определить ячейку, объемом ħ3 в фазовом
пространстве, в которую попадает частица.

8.

Квантовая статистика

9.

Квантовая статистика
Бозоны
Фермионы

10.

Квантовая статистика
Для бозонов считаем все
возможные перестановки
частиц и перегородок
(N + Z – 1)!, ничего не
меняют перестановки между
собой частиц и между собой
перегородок
Z N 1 !
B
Z 1 ! N!
Для фермионов считаем
все возможные
перестановки ячеек
(пустых и занятых) Z!,
перестановки местами
частиц N! и пустых ячеек
(Z – N)! ничего не меняют.
Z!
F
Z N ! N!

11.

Квантовая статистика
Энергия частицы ε зависит от координат и импульса
ε = f(x, y, z, px, py, pz).
По аналогии с уравнением поверхности в трехмерном
пространстве: f(x, y, z) = const ,Гиперповерхность в
фазовом пространстве, все точки которой соответствуют
одной и той же энергии частицы.
Между двумя близкими поверхностями
f(x, y, z, px, py, pz) = εi и f(x, y, z, px, py, pz) = εi + εi
образуется тонкий энергетический слой. Все пространство
разбивается на такие слои. В пределы тонкого слоя попадает
Zi ячеек и Ni частиц.
Z i N i 1 !
Bi
Zi 1 ! Ni !
Zi!
Fi
Zi Ni ! Ni !

12.

Квантовая статистика
Статистический вес системы равен произведению
Zi Ni 1 !
B Bi
Zi 1 ! Ni !
Zi !
F
Z i Ni ! Ni !
Надо найти наиболее вероятное распределение частиц по
ячейкам, т.е. найти максимум этого выражения при условиях:
N i = N и εiN i =E.
То же самое: искать максимум энтропии: S = klnΩ.
S B k ln Ni Zi 1 ! ln Ni ! ln Zi 1 !
S F k ln Zi ! ln Ni ! ln Zi Ni !

13.

Квантовая статистика
После сложных математических преобразований (формула
Стирлинга, множители Лагранжа) получаются формулы:
Для фермионов:
Для бозонов:
Ni Z i 1
i
exp
Ni
k
1
T
Z i Ni
i
exp
Ni
k
T

14.

Квантовая статистика
Распределение
Ферми- Дирака
Распределение
Бозе – Эйнштейна.
ni
B
1
i
exp
1
kT
ni
F
1
i
exp
1
kT
Отличаются только знаком в знаменателе.

15.

Квантовая статистика
При малых по сравнению
с единицей числах
заполнения, единицей в
знаменателе можно
пренебречь, оба
распределения переходят в
распределение Больцмана.

16.

Квантовая статистика
Параметр распределения μ называется химическим
потенциалом. Является функцией температуры,
определяется, как и энергия частицы, с точностью до
аддитивной постоянной.
Для фермионов при абсолютном нуле μ может быть только
положительной величиной (иначе <ni> = 0).
Химический потенциал для бозонов, наоборот, не может
быть положительным (некоторые заполнения будут
отрицательными). Более того, если число частиц переменное
и Ni ≠ N μ = 0
для бозе-газа с переменным числом частиц
ni
B
1
i
exp 1
kT

17.

Квантовая статистика

18.

Фотонный газ и формула Планка
При обычных (не лазерных) интенсивностях световые волны
не возмущают друг друга. равновесное излучение в полости
можно представить как идеальный фотонный газ.
Энергия фотона
εi= ħ i
Число фотонов не является заданной константой, т.к. стенки
полости поглощают и испускают фотоны. распределение
их описывается формулой:
1
ni
i
exp
1
kT

19.

Фотонный газ и формула Планка
Энергия фотона не зависит от координат и от направления
движения, изоэнергетическая поверхность представляет
сферу в пространстве импульсов. объем тонкого
энергетического слоя:
Py
Vμ = V∙4πp2dp
Число ячеек Zi в этом слое
определяется как
Px
2∙ Vμ / h3,
P
т.к. в каждой ячейке два
состояния фотона
с разной поляризацией.
dP
Pz
8 p dp
p dp
Zi
V V
;
8
2
i
3 3
2
i
2 3

20.

Фотонный газ и формула Планка
Учитывая
i
pi
;
c
d
Zi V
;
c
2
i
2 3
и
d i
;
dpi
c
Ei = Zi·<ni>·ħ i
d
Ei V
c
3
i
2 3
Совпадает с формулой Планка.
d
u , T
c
3
i
2 3
e
1
e
1
kT
kT
1
;
1
;

21.

Фононный газ и формула Дебая
Аналогично, колебания
кристаллической решетки
можно представить как
фононный газ.

22.

Фононный газ и формула Дебая
Хотя фононы – квазичастицы, они подчиняются той же
статистике и к ним применяется распределение Бозе –
Эйнштейна
2
3 i d
Zi V
;
2 3
2 c
3 d
Ei V
2 c
3
i
2 3
1
e
kT
(Три вида поляризации)
;
1
3
E E0 V
2 2c 3
v 6 n;
3
m
3
2
m
0
i3d
e
Формула Дебая.
kT
;
1

23.

Фононный газ и формула Дебая
Плотность энергии
Для упругих волн в
кристалле:
u dN
9n 1
2
u 3
d
m 0 2
e kT 1
m
3
u0
2 2v 3
3 kT
u0 2 3
2 v
m
3
0
4 m
e
kT
3
d
1
x dx
4
0 e x 1 u0 BT

24.

Распределение Ферми-Дирака
ni
F
1
f
i
exp
1
kT
f(ε)
1
.5
0
T=0
T>0
εF
ε

25.

Электронный газ в металлах

26.

Электронный газ в металлах
Валентные электроны в металлах свободно перемещаются в
пределах образца и обуславливают его проводимость,
электроны проводимости. Они ведут себя подобно молекулам
идеального газа, электронный газ = идеальный ферми –
газ.

27.

Электронный газ в металлах
Металлический образец представляет собой для электронов
трехмерную потенциальную яму, квантование энергии.
Электроны распределяются по
энергетическим уровням в
соответствии с функцией
Ферми – Дирака. Электроны
0 A
обладают одной и той же
энергией в двух состояниях,
F
различающихся спином.
Среднее число на уровне с
энергией εi:
ε
ε
параметр μ обозначен εF
(энергия Ферми).
2
ni
i F
exp
kT
1

28.

Электронный газ в металлах
При абсолютном нуле электроны
располагаются попарно на самых
низких уровнях:
<ni> = 2 если εi εF
εF
<ni> = 0 если εi εF
при T
ε
T=0
f(ε)
0
1
= 0 εF = εmax,
f(ε)
1
T=0
0.5
0
εF
ε

29.

Теплоемкость электронного газа
ε
T>0
При температурах T ≠ 0
отличие наблюдается лишь в
области порядка kT.
f(ε)
εF
f(ε)
1
при
0
εi= εF ; <ni> = ½
1
½
0
T>0
εF
независимо от T.
Определение: Уровень Ферми – это энергия, при которой
функция распределения Ферми – Дирака
f = ½.
ε

30.

Электронный газ в металлах

31.

Электронный газ в металлах
2
2
Для свободных электронов U = 0
;
2m
r c exp ikr ;
P
y
2
2
2
p
k
p
k ;
;
2m 2m
В случае свободных электронов
изоэнергетическая поверхность εi= εF
в k – пространстве имеет форму сферы:
поверхность
Ферми
2
2
k
F;
2m
P=ћk
Pz
Px
При T = 0 отделяет состояния,
заполненные электронами, от
незаполненных.

32.

Электронный газ в металлах
Т.к. каждой ячейке соответствуют два состояния с разными
спинами, число состояний
V i
1
p dp
m 2m i 2 i
2
Zi 2 3 V
V
A
i i ;
2 3
h
2
i
2 3
3
где
V 2m 2
A
;
2
2
2
1

33.

Электронный газ в металлах
при T = 0 заполнены N нижних состояний N = nV,
где n – концентрация свободных электронов,
N = Zi
F
2 32
т.к. εi εi N A d A F ;
3
0
1
2
2
2
F 0
3 n 3 ;
2m
2
Для концентрации n = 5∙1028м–3
температура Ферми TF = 6∙104 К
TF
F 0
k
εF = 5 эВ.

34.

Электронный газ в металлах
Средняя энергия электронов при абсолютном нуле:
E Zi i A i 2 i ;
3
F
2 52
2
E A d A F ;
5
0
3
3
F 0
5
= 3 эВ, соответствует 2.5∙104 К
Уровень ферми слабо зависит от температуры, при kT εF
2 kT 2
F 0 ;
F F 0 1
12 F 0

35.

Электронный газ в металлах

36.

Электронный газ в металлах
Вырожденным
называется идеальный
газ, распределение
частиц которого по
энергиям сильно
отличается от
классического.
T TF вырожденный,
T TF не
вырожденный.

37.

Теплоемкость электронного газа
Т.к. средняя энергия теплового движения при обычных
температурах 1/40 эВ, то возбуждается только малая часть
электронов вблизи уровня Ферми. Основная часть,
размещенная в глубоких слоях, остается в прежних
состояниях и поглощать энергию при нагревании не будет.
Малая теплоемкость электронного газа в металлах.
T=0
ε
T≠0
εF
ε
εF
f(ε) 1
0
f(ε) 1
0

38.

Теплоемкость электронного газа
Относительная доля электронов, обуславливающих
теплоемкость, приблизительно равна kT/εF
теплоемкость электронного газа Cэл = CклT/TF 1%.
T=500К
f(ε)
1
T=5000К
0
εF
ε

39.

Теплоемкость электронного газа