Элементы квантовой статистики

1.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
СТАТИСТИКИ

2.

Квантовая статистика –раздел
физики, исследующий поведение
многих частиц, подчиняющихся
квантовым законам.

3.

ПРИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ
ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Будем рассматривать
многоэлектронные системы
Если частицы имеют одинаковые
физические характеристики ( масса,
заряд, спин, квантовые числа) , то
они наз. ТОЖДЕСТВЕННЫМИ

4.

В классической механике можно
всегда отследить поведение частицы
– ее траектория известна

5.

В квантовой механике понятия
траектории нет
Можно говорить только о
вероятности обнаружения частицы в
данной точке пространства

6.

Если волновые функции двух частиц
перекрываются, то решить вопрос,
какая из двух частиц находится в
данной области – невозможно.
В квантовой механике частицы
теряют свою индивидуальность и
становятся неразличимыми.

7.

ПРИНЦИП неразличимости
тождественных частиц
Невозможно экспериментально
различить тождественные частицы

8.

xi
Если обозначить
волновую функцию
системы 2
электронов
( x1 , x2 )
Совокупность пространственных и спиновых
координат i частицы
( x2 , x1 )
Частицы поменялись местами

9.

Из принципа неразличимости
( x1 , x2 ) ( x2 , x1 )
2
2
( x1, x2 ) ( x2 , x1 )
Симметричная волновая функция
( x1, x2 ) ( x2 , x1 )
Антисимметричная волновая функция

10.

Симметрия или антисимметрия
определяется спином частиц
Частицы с полуцелым спином
(электроны, протоны, нейтроны)
описываются антисимметричными
волновыми функциями и наз.
ФЕРМИОНАМИ
Частицы с нулевым или целым
спином( мезоны, фотоны)
описываются симметричными
волновыми функциями и наз.
БОЗОНАМИ

11.

Поведение фермионов описывается
статистикой Ферми-Дирака
Поведение бозонов - статистикой
Бозе -Эйнштейна

12.

Обобщенный принцип Паули
Системы фермионов встречаются в
природе только в состояниях,
описываемых антисимметричными
волновыми функциями.
Количество бозонов, находящихся в
одинаковом состоянии не
ограничивается

13.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ФЕРМИ-ДИРАКА
Вероятность
обнаружения
электрона с
энергией Е при
температуре Т
EF
-
f (E)
1
1 e
E EF
kT
Уровень Ферми (химический потенциал)
-Уровень Ферми – максимальная энергия,
которую может иметь электрон при Т=0
k -постоянная Больцмана

14.

При Т=0
E EF
e
E EF
kT
e
E EF
0
e
1
0
f (E)
1 0

15.

При Т=0
E EF
e
E EF
0
e
1
1
f (E)
1 0
1 0
e

16.

f(Е)
kT
1
Т=0
0.5
Т >0
ЕF
Е
kT

17.

f ( E EF )
1
1 e
EF EF
kT
1
1
1
0
1 e
1 1
2

18.

1) Электроны заполняют нижние
уровни в соответствие с принципом
Паули
2) При Т=0 максимально возможная
энергия электрона – это энергия
Ферми
E E
3) при E E F , e
f (E) e
E
kT
F
kT
1
Распределение
Больцмана

19.

kT EF
Электронный газ называется вырожденным
и подчиняется статистике Ферми-Дирака
kT EF
Электронный газ называется невырожденным
и подчиняется статистике Больцмана

20.

Статистика Бозе-Эйнштейна
1
f B (E)
e
E EB
kT
1
EB – химический потенциал
системы бозонов

21.

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

22.

Металлы,диэлектрики,
полупроводники
В твердом теле при сближении
атомов отдельные уровни
расщепляются и объединяются в
зоны

23.

24.

Изолированный атом
E
Li
2s
1s

25.

2 атома лития
2s
E2
E1
1s

26.

Е
3s
2p
2s
1s
r

27.

Образуются разрешенные области
энергии
В разрешенной зоне столько
дискретных уровней ,сколько их
содержится во всех изолированных
атомах
Разрешенные зоны разделены
промежутками энергии –
запрещенными зонами

28.

Металлы,диэлектрики,
полуроводники
1) Существуют либо полностью
заполненные, либо полностью
свободные зоны
∆E
∆E-ширина запрещенной зоны
между последней полностью
заполненной и следующей
свободной зоной

29.

Если ∆E < 3 эВ , то такие вещества
называются полупроводниками
Электрону может хватить тепловой
энергии, чтобы перейти из одной зоны в
другую
Если ∆E >5 эВ то такие вещества
называются диэлектриками

30.

2) Верхняя зона заполнена частично
3)Полностью заполненная зона
перекрывается со следующей свободной

31.

Такие вещества называются
металлами

32.

Собственные и примесные
полупроводники
Собственный полупровдник, когда в
нем отсутствуют примеси
Eс
зона проводимости
∆Е – запрещенная зона
Ev Валентная зона

33.

Примесный полупроводники – в
кристаллической решетки
встречаются атомы посторонней
примеси

34.

Донорные полупроводники
Si
Si
Si
Si
Si
Si – 4 валентный
P
Si
Si
Si
P– 5 валентный, один
валентный электрон
остается свободным и
может переходить от
одного атома к другому

35.

Eс
∆Е
Ed
Ev
В запрещенной зоне вблизи дна
зоны проводимости появляется
примесный донорный уровень

36.

Акцепторные
полупроводники
Si
Si
Si
Si
Si
Si – 4 валентный
в
Si
Si
Si
В– 3 валентный, одна
валентная связь остается
незаполненной, Si может
отдать один электрон В,
а на его место придет
электрон от другого атома
Пустое место (дырка) может перемещаться по решетке

37.

Ec
∆Е
Eа
Ev
В запрещенной зоне вблизи потолка
валентной зоны появляется
примесный акцепторный уровень

38.

Движение электрона в
кристалле
В кристалле на электрон действует
поле кристаллической решетки
Поведение электронов в кристалле
похоже на поведение свободных
электронов
Их называют квазисвободными

39.

Эффективная масса
электрона
Эффективная масса учитывает
взаимодействие электрона с
кристаллической решеткой и позволяет
описывать его движение теми же
уравнениями, что и свободный электрон
2
m 2
2
E ki
*
i
P k
k - Волновой вектор

40.

Для свободного электрона
m0- масса электрона
p2
E
2m0
dE 2 2 k
dk 2m0
p k
2k 2
E
2m0
d 2E 2
2
dk
m0
2
mi* 2
E ki2
Для свободного электрона
эффективная масса равна
массе электрона
2
m0 2
d E
dk 2
m0 mi*