Статистика квантовых систем

1.

2.

Статистика квантовых систем.
Вероятность перехода фермиона из одного
состояния в другое зависит от того, занято ли
конечное состояние частицей или нет. Если
состояние занято, то вероятность перехода равна
нулю, так как согласно принципу Паули лишь один
фермион может занимать данное состояние.
Вероятность перехода бозона из одного состояния в
другое тем больше, чем большее число бозонов уже
находится
в
этом
состоянии
(бозоны
коллективистские частицы в отличие от фермионов,
которые являются индивидуалистами).

3.

Распределение Ферми-Дирака.
Рассмотрим
совокупность
невзаимодействующих
электронов, которые подчиняются принципу Паули,
(Одномерный случай).
Такая совокупность называется электронным газом Ферми.
2 2
E 0
2m
n
En
2m l
2
2
n
n
sin
x
l
l
2
Согласно принципу Паули на каждом энергетическом
уровне, заданном числом n, могут находиться два электрона
с противоположно направленными спинами.
N=2nf
Где nf - уровень Ферми, т.е. наивысший заполненный
электронами уровень при Т=0К. Действительно, при Т=0К
электроны
будут
стараться
заполнить
наинизшие
электронные уровни, а так как на каждом уровне только два
электрона, то заполнятся все уровни до nf.

4.

Если изобразить распределение электронов при Т=0K, т.е.
задать функцию распределения электронов по энергиям, то
ясно, что вероятность заполнения всех уровней до уровня
Ферми равна 1, выше уровня Ферми - равна 0.
f (E )
kT
nF
1
1
2
Ef
E
Ef - энергия Ферми, которую можно записать,
электрона в одномерной яме.
Ef
N
2
2 n F
2 2
2m l
2m l
зная энергию
2
Распределение Ферми-Дирака можно получить, рассматривая
неупругое соударение электронов с атомами примеси, которые
при небольшом их числе подчиняются классической
статистике Больцмана.

5.

Допустим атом примеси может находиться в двух состояниях с
Eпр=0, Eпр=ε. В результате соударения с атомом примеси
электрон из состояния с волновым числом k и энергией E
переходит в состояние с волновым числом k’ и энергией E+ε.
Вероятность перехода из состояния k→k’
равна
Pkk ' f ( E ) 1 f ( E ) P( )
f(E) - вероятность того, что состояние с энергией E - занято,
1-f(E+ε) - вероятность того, что состояние E+ ε свободно,
P(ε) - вероятность того, что атом примеси находится в состоянии
.
Вероятность обратного перехода
Pk 'k f ( E ) 1 f ( E ) P(0)
f(E+ε) - вероятность того, что состояние с энергией E+ε занято,
1-f(E) - вероятность того, что состояние E свободно.
P(0) - вероятность того, что атом примеси находится в состоянии
0.
Согласно принципу детального равновесия вероятности этих
переходов равны.

6.

Pkk ' Pk 'k
f ( E )[1 f ( E )]P( ) f ( E )[1 f ( E )]P(0)
P( )
f (E ) 1 f (E)
P(0) 1 f ( E )
f (E)
Атомы примеси подчиняются статистике Больцмана
P( )
e kT
P ( 0)
E
n n 0 e kT
Данное соотношение должно быть справедливым для любого значения
температуры. Это требование будет выполнено, если положить
1 f (E)
e ( E ) / kT
f (E)
f (E )
e ( E ) / kT
1 f (E )
Решение системы дает результат
f (E)
1
e ( E ) / kT 1
При T=0K, E F
μ -химический потенциал.

7.

При T>0 и E F
f (E)
1
2
По своему смыслу функция распределения есть не что иное, как
среднее число электронов, находящихся в состоянии с Ei .
ni
1
e
( Ei ) / kT
1
В случае высоких энергий, когда Ei kT
Ei
exp
1
kT
=>
ni e
Ei
kT
, т.е. переходим к статистике Больцмана.

8.

Статистика Бозе-Эйнштейна
Поведение бозонов принципиально отличается от поведения
фермионов. Если P(ε)
вероятность того, что бозон находится в
ε, в котором нет других бозонов, то вероятность
-
с
о
с
п
е
н
а
т
о
р
я
е
х
х
о
н
о
д
и
д
и
и
с
а
э
б
т
с
я
н
о
з
n
е
о
б
р
н
о
г
и
е
а
з
й
в
о
н
с
о
в
о
р
с
а
т
в
о
н
я
н
и
е
с
э
т
о
й
о
г
э
н
е
р
г
и
е
й
,
е
с
л
и
в
н
е
м
у
ж
е
а
(n 1) P( )
Р
э
а
т
о
с
о
н
с
с
а
т
п
о
с
п
о
й
х
о
м
д
т
е
д
с
н
е
с
м
т
и
я
и
л
м
о
т
я
и
л
и
о
р
о
р
я
,
е
т
ч
т
а
о
т
с
д
н
а
и
о
е
х
л
о
м
а
д
,
о
ь
и
с
и
т
п
о
б
с
о
с
л
ю
n
о
а
о
я
с
т
с
б
л
ф
н
ь
т
о
ы
н
н
о
т
о
й
ы
ч
н
и
е
.
о
с
Т
е
н
в
п
о
р
в
у
г
о
с
д
т
а
о
д
и
и
т
в
е
т
н
а
ь
р
е
я
а
к
е
о
л
о
щ
т
в
о
е
н
п
-
м
о
о
с
о
с
д
т
л
о
и
ь
о
с
с
т
н
п
т
о
о
п
о
е
Д
н
о
ц
.
я
ф
р
ь
т
с
и
о
с
о
и
п
.
у
с
И
н
т
в
а
и
с
т
у
м
а
т
п
и
м
о
с
в
м
к
а
н
ж
е
ж
е
и
я
я
Pисп (n 1) P( )
В
е
р
о
я
т
н
о
с
т
ь
п
о
г
л
о
щ
е
н
и
я
р
н
о
а
т
о
м
о
м
ф
о
т
о
н
а
р
а
в
н
а
Pпогл nP( )
М
о
в
К
д
э
в
е
т
а
л
о
н
ь
а
м
т
б
с
о
м
с
л
т
о
у
е
л
ю
ч
п
т
а
л
н
е
о
о
и
в
о
ч
м
г
е
е
о
е
и
м
з
г
д
л
у
о
е
ч
т
л
е
е
л
о
н
а
с
и
я
я
р
а
р
а
в
л
с
в
с
м
н
я
а
о
е
т
в
с
т
е
я
р
с
и
н
ф
в
ы
о
а
е
м
т
о
т
с
т
н
я
е
(
б
п
о
л
з
т
о
о
в
н
о
ы
)
й
м
.
п
р
и
и
з
ч
л
и
у
н
ч
е
е
н
,
ч
и
т
е
о
м
.

9.

Пусть полость содержит не один, а N атомов, способных
испускать и поглощать фотоны с энергией ε=ћω. Атом,
поглотивший фотон, переходит в возбужденное состояние с
энергией E+ћω,
атом, испустивший фотон, переходит в
основное состояние E.
Пусть Nвозб - число атомов в возбужденном состоянии, Nосн число атомов в основном состоянии. Распределение атомов по
состояниям подчиняется статистике Больцмана
N в озб
e kT
N осн
Вероятность испускания атомом фотонов зависит от среднего
числа фотонов, уже имеющихся в полости . Тогда
Pисп ( ni 1) P( ) N возб
Вероятность поглощения фотонов равна
Pпогл ni P( ) Nосн

10.

Согласно принципу детального равновесия
( ni 1) P( ) N возб ni P( ) N осн
N возб
n
i
e kT
e kT
N осн
ni 1
Решением будет функция
ni
1
e / kT 1
- распределение Бозе-Эйнштейна для
систем
с
переменным
числом бозонов.
Функция распределения для систем с постоянным числом бозонов
ni
1
e ( ) / kT 1
μ- химический потенциал, который в случае бозонов всегда < 0. Это
связано с тем, что если бы μ<0 , то в знаменателе получалось бы
отрицательное число. Числа заполнения состояний были бы
отрицательны, что не имеет смысла.

11.

Распределение Ферми-Дирака
Статистика Бозе-Эйнштейна
Вероятность перехода из
состояния k→k’ равна
Вероятность процесса
испускания определяется
Вероятность обратного перехода
Вероятность поглощения атомом
фотона равна
Pkk ' f ( E ) 1 f ( E ) P( )
Pk 'k f ( E ) 1 f ( E ) P(0)
f (E)
1
e ( E ) / kT 1
Pисп (n 1) P( )
Pпогл nP( )
Распределение Бозе-Эйнштейна
для систем с переменным
числом бозонов
1
ni
/ kT
e
1
Функция распределения для
систем с постоянным числом
бозонов
ni
1
e
( ) / kT
1