Целое уравнение и его корни

1. Целое уравнение и его корни

Подготовила:
учитель математики
МОУ сош №30 имени А.И.Колдунова
Кутоманова Е.М.
2010-2011 учебный год

2. Определение

Целым уравнением с одной переменной
называется уравнение, левая и правая части
которого – целые выражения.
Например:
х²+2х-6=0,
х⁴+х⁶ = х²-х³,
⅓(х+1)-⅕(х²-х+6)= 2х², т.п.

3. Определение

Если уравнение с одной переменной
записано в виде Р(х)=0, Р(х) – многочлен
стандартного вида, то степень этого
многочлена называют степенью уравнения.
Например:
х³+2х²-2х-1=0 – уравнение 3-ей степени;
х⁶-3х³-2=0 – уравнение 6-ой степени.

4. ах+в=0 – линейное уравнение; ах²+вх+с=0 – квадратное уравнение. Алгоритмы решения таких уравнений нам известны.

1)5х-10,5=0,
5х=10,5,
х=2,1.
Ответ: 2,1.
2) х²-6х+5=0,
D₁=9-5=4,
х=3±2,
х₁=5,х₂=1.
Ответ: 1 и 5.

5. Определение. Уравнение вида ах⁴+вх²+с=0, являющееся квадратным относительно х², называется биквадратным. Например.

1) х⁴-6х²+5=0,
пусть х²=у, тогда
у²-6у+5=0,
D₁=9-5=4,
у=3±2,
у₁=5,у₂=1,
х²=1, х=±1,
х²=5, х=±√5.
Ответ: ±1; ±√5.
2) х⁴+ 4х²-5=0;
пусть х²=у, тогда
у²+4у-5=0;
D₁=4+5=9;
у=-2±3;
у₁=1; у₂=-5;
х²=1; х=±1;
х²=-5; корней нет.
Ответ: ±1.

6. Уравнения, решаемые путём введения новой переменной. Например

(х²-5х+4)(х²-5х+6)=120;
пусть х²-5х+4=у, тогда
у(у+2)=120;
у²+2у-120=0;
D₁=1+120=121;
у=-1±11;
у₁=10; у₂=-12.
Если у=-10, то
х²-5х+4=10;
х²-5х-6=0;
D=25+24=49,
х=(5±7):2;
х₁=6; х₂=-1.
Если у=-12,то
х²-5х+4=-12;
х²-5х+16=0;
D=25-64<0, значит,
корней нет.
Ответ: -1 и 6.

7. Решение уравнений, применяя разложение на множители.

Например:
1. у³-4у²=0,
у²(у-4)=0.
у=0 или у-4=0,
у=4.
Ответ:0 и 4.
Вынесение
множителя за
скобки.
2.3х³+х²+18х+6=0,
х²(3х+1)+6(3х+1)=0,
(3х+1)(х²+6)=0,
3х+1=0 или х²+6=0,
х=-⅓
корней нет.
Ответ: -⅓.
Разложение на множители
способом группировки.