Алгоритм решения квадратного уравнения

1. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

2.

Алгоритм решения уравнения ах2+bх+с=0
1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 - 4ас.
2. Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один
корень:
b
x
2a
.
4. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
b D
x1
,
2a
b D
x2
.
2a

3.

Пример 4: Решить уравнение: a) x 2 3x 5 0;
Решение:
a) x 2 3x 5 0;
a 1, b 3, c 5,
б ) 9 x 2 6 x 1 0;
в) 2 x 2 x 3,5 0;
D b 2 4ac 32 4 1 ( 5) 9 20 29;
D 0:
b D
3 29
b D
3 29
; x2
x1
.
2
2a
2a
2
б ) 9 x 2 6 x 1 0;
9 x 2 6 x 1 (3x 1)2 ;
9 x2 6 x 1 0;
(3x 1)2 0;
a 9, b 6, c 1,
3 x 1 0;
D b 2 4ac 36 36 0;
b
6
1
x
.
2a 2 9 3
1
x .
3

4.

Пример 4: Решить уравнение:
в) 2 x 2 x 3,5 0;
a 2, b 1, c 3,5,
D b 2 4ac 12 4 2 3,5 1 28 27;
D 0:
Уравнение корней не имеет

5.

b b2 4ac
x1,2
2a
D b 2 4ac 0
D b 4ac 0
2
D b 2 4ac 0
-
КОРНЕЙ НЕТ
b 0
b
x1,2
2a
2a
-
-
ОДИН КОРЕНЬ
ДВА КОРНЯ
b b2 4ac
x1
,
2a
b b2 4ac
x2
2a

6.

Пример 5: Решить уравнение:
Решение:
2 2 5
7
a ) x x 0;
3
6
12
2 2 5
7
a ) x x 0;
3
6
12
б ) 3x 2 0, 2 x 2,77 0;
2
5
7
a , b , c ,
3
6
12
7
2 2 5
12 x x 12 0;
6
12
3
8x 2 10 x 7 0;
10 100 224 10 324 10 18
;
x1,2
16
16
16
10 18 1
x1
;
16
2
10 18
7
x2
.
16
4

7.

Пример 5: Решить уравнение:
б ) 3x 2 0, 2 x 2,77 0;
a 3, b 0, 2, c 2, 77,
300 x 2 20 x 277 0;
20 202 4 300 277
x1,2
.
2 300
Уравнение корней не имеет

8.

Пример 6: Решить уравнение
5x2 2 15x 1 0.
Решение:
a 5, b 2 15, c 1,
D b 2 4ac ( 2 15) 2 4 5 1 60 20 40 0
b D 2 15 40 2 15 2 10 2 5 3 2
x1
10
2a
2 5
10
5
3 2
5
.
5
b D 2 15 40
x2
2a
2 5
3 2
5
.

9.

Пример 7: Решить уравнение x2 (2 p 1) x ( p 2 p 2) 0.
Решение:
Уравнение с параметром
D (2 p 1)2 4 1 ( p 2 p 2) (4 p 2 4 p 1) (4 p 2 4 p 8) 9;
2 p 1 3 2 p 2 p 2;
(2 p 1) 9
x1
2
2
2
(2 p 1) 9 2 p 1 3 2( p 1)
p 1;
x2
2
2
2

10.

Пример 8: Решить уравнение px 2 (1 p) x 1 0.
Решение:
p 0:
0 x 2 (1 0) x 1 0;
x 1 0;
x 1;
(1 p) (1 p)2 4 p ( 1)
p 0 : x1,2
2p
p 1 1 2 p p 2 4 p p 1 ( p 1)2 p 1 ( p 1)
;
2p
2p
2p
p 1: D 0 x1 x2 1;
p 1 ( p 1) 2 p
p 1 ( p 1) 2
1
1; x2
;
p 1: x1
2p
2p
2p
2p
p
если p 0 или p 1, то x 1;
1
если p 0 или p 1, то x1 1, x2 .
p