Определение производной

1.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х.
Выберем точку x X
Дадим аргументу x приращение Δx, тогда функция
получит приращение
Δy=f(x+Δx)- f(x).

2.

Производной функции y=f(x)
называется предел отношения
приращения функции к приращению
независимого аргумента, когда
приращение аргумента стремится
к нулю:
y
f ( x x) f ( x)
y lim
lim
x 0 x
x 0
x

3.

Обозначения производной:
y ;
f ( x);
dy
;
dx
df ( x)
dx
Нахождение производной функции называется
дифференцированием.
Если функция имеет конечную производную в
некоторой точке, то она называется
дифференцируемой в этой точке.

4. Примеры

• Для линейной функции y=kx+m мы доказали
справедливость равенства lim∆y/∆x=k
при∆x→0. Это означает, что
• (kx+m)′=k, в частности (x)′=1
• Для y=x² справедливо равенство lim∆y/∆x=2x
при∆x→0. Это означает, что
• (x²)′=2x

5.

Вернемся к рассматриваемым задачам.
Из задачи о касательной вытекает
Производная f ′ (x0) есть угловой коэффициент
(тангенс
угла
наклона)
касательной,
проведенной к кривой y=f(x) в точке x0 :
k = f ′ (x0)

6.

Из задачи о скорости движения вытекает
Производная пути по времени s′(t0)
скорость точки в момент времени t0 :
v(tₒ) = s′(t0)
есть

7. Определение производной с точки зрения приближённых равенств

Пусть функция y=f(x) имеет производную в
некоторой точке x:
lim∆y/∆x=f′(x) при∆x→0.
Это означает, что в достаточно малой
окрестности точки x выполняется
приближённое равенство
∆y/∆x≈f′(x), т.е. ∆y≈f′(x)∆x.
Приращение функции почти
пропорционально приращению аргумента.

8. Алгоритм нахождения производной (для функции y = f(x))

9.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x.
Тогда к графику функции в точке М(x;f(x))
можно
провести
касательную,
угловой
коэффициент касательной равен f′(x). Такой
график не может разрываться в точке M, т.е.
функция обязана быть непрерывной в точке M.
Это рассуждения «на пальцах». Более строгое
рассуждение. Если функция дифференцируема в
точке x, то выполняется приближённое равенство
∆y≈f′(x)∆x. Если в этом равенстве ∆x→0, то ∆y→0, а
это и есть условия непрерывности функции в
точке.

10.

Если функция y=f(x)
дифференцируема в точке x0,
то она непрерывна в этой
точке.

11.

12.

Ответ:
Если в некоторой точке к графику функции можно
провести касательную, не перпендикулярную оси
абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.
Если в некоторой точке касательная к графику
функции не существует или она перпендикулярна
оси абсцисс, то в этой точке функция
недифференцируема.

13.

График функции y=f(x) есть полуокружность.
Найти f ′(x) в точках A,B,C,D,E, делящих
полуокружность на четыре равные части.

14.

y
B
A
C
D
E
x

15.

Из
геометрического
смысла
производной
вытекает, что производная f ′ (x0) есть тангенс
угла наклона касательной, проведенной к
кривой y=f(x) в точке x0 .
В точке В угол наклона касательной составляет
450. Следовательно:
y B tg 45 1
0
В точке D угол наклона касательной составляет
1350. Следовательно:
y D tg135 1
0

16.

В точке С угол касательная параллельна оси х:
yC tg 0 0
В точках А и Е угол наклона касательной
составляет 900.
Тангенс этого угла не существует, следовательно
функция в этих точках не дифференцируема.