Последовательности

1. Последовательности.

1.Арифметическая прогрессия.
2.Геометрическая прогрессия.
Составила преподаватель Мещенко Н.В., 2007-2008уч. год

2.

xn
Определение:
Числа, выписанные в определенном порядке,
называются последовательностью чисел.
Обозначим её ( xn ) : x1; x2; x3 ;…, xn
где х1; х2; х3 - члены последовательности .

3.

Например:
1) Выпишем в порядке возрастания положительные
четные числа.
Это последовательность: 2;4;6;8; … .
Очевидно, что на пятом месте будет число 10,
т.е х5 = 10; а на десятом – число 20, т.е. х10 = 20.
В последовательности будет содержаться бесконечное
число членов.
2) Рассмотрим последовательность двузначных чисел
(аn): 10; 11; 12; …; 98; 99 - является конечной,
а17= 26, а25= 34.
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ,
позволяющий найти член последовательности с любым номером.

4. Способы задания числовых последовательностей

рекуррентная формула
формула n-го члена последовательности
описанием ее членов

5.

I. Часто последовательность задается при помощи
рекуррентной формулы, позволяющей определить
каждый член последовательности по одному или
нескольким предыдущим; при этом необходимо
задание одного или нескольких первых членов
последовательности.
Например:
Пусть первый член последовательности (аn) равен 3, а каждый
следующий член равен квадрату предыдущего т.е. а1=3, аn+1=аn2.
Имеем, а2=9, а3=81, а4=6561, … .
Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная
с некоторого, через предыдущие называют рекуррентной

6. II. Последовательность может быть задана при помощи формулы n-го члена последовательности.

1
n
Например,
x
n
1
n
1
x1
1
1
x3 ,
3
1,
х2
2
1
2
1
,
2
1
x4 , и т.д.
4

7. III. Иногда последовательность задается описанием ее членов,

Например,
последовательность, у которой xn равен n-му
знаку после запятой в десятичной записи числа
π = 3,14159265358979323..., задается
следующим образом:
x1 = 1, x2 = 4, x3 = 1, x4 = 5, x5 = 9, x6 = 2, x7 = 6,
x8 = 5, x9 = 3, x10 = 5 и т. д.

8. Виды последовательностей.

Конечная
Бесконечная
Возрастающей
Убывающей
Последовательность (xn) называется возрастающей, если для
любого n N выполняется неравенство x x .
n 1 n
Последовательность (xn) называется убывающей, если для
любого n N выполняется неравенство x x .
n 1 n
Если
в этих определениях
неравенство
будет нестрогим, то
Возрастающие
и убывающие
последовательности
последовательности будут называться
соответственно
называют
строго монотонными.
неубывающей
и невозрастающей.
Неубывающие
и невозрастающие последовательности
называют монотонными.

9.

Контроль знаний 15
1. Определение числовой последовательности
2. Что значит, следующий и предыдущий члены
последовательности?
3. Что значит, n - ый член последовательности?
4. Какие способы задания последовательности ?
5. Что значит, аналитический способ задания?
6. Что значит, рекуррентный способ задания?

10.

11.

12. Арифметическая прогрессия.

Определение:
Числовую последовательность (an), каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом d,
называют арифметической прогрессией.
an + 1 = an + d ( рекуррентная формула арифметической прогрессии ).
Число d называется разностью арифметической прогрессии:
d a
a
n 1
n

13. Арифметическая прогрессия

an – 1 = an – d и an + 1 = an + d,
a n + 1 + a n – 1 = 2a n
Так как
то
( характеристическое свойство арифметической прогрессии).
Верно и обратное.
Последовательность является арифметической тогда и только
тогда, когда для любого n > 1 выполняется рекуррентное
соотношение a an 1 an 1
n
2
Формула n-го члена арифметической прогрессии (an) такова:
a a (n 1) d
n
1

14. Арифметическая прогрессия

Пример 1.
Дано: (сn)-арифметическая прогрессия,
с1=0,62, d =0,24. Найти: с50
Решение: Так как c c n 1 d , то
n
1
c50 c1 50 1 d , с50 0,62 0,24 49 12,38.
Ответ: с50=12,38.
Пример 2.
Дано: (с. n)-арифметическая прогрессия, с1=10, с5 =22.
Найти: d, составить формулу n-го члена.
Решение: Так как cn c1 n 1 d ,
то с5 =10+ d(5-1), имеем 22=10+ 4d ,то
Имеем
cn 10 3 n 1 , cn 7 3n.
Ответ: d 3 ,
d 3
cn 7 3n

15.

Арифметическая прогрессия
Пример 3.
Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии (сn), если с16 = -7,с26 = 55.
Решение: Так как c c n 1 d ,
n
1
то с16 = с1+ d(16-1), т.е. -7 = с1+ 15d.
с26 = с1+ d(26-1), т.е. 55= с1+ 25d
Составим и решим систему уравнений с 15d 7,
1
с1 25d 55.
с1 15d 7, c1 100,
10d 62.
d 6,2.
Ответ : c1 100, d 6.

16.

Пример 4.
Арифметическая прогрессия
Дано: (аn) - арифметическая прогрессия:23; 17,2; 11,4; 5,6; …
Определить, принадлежит ли число -122 этой
последовательности?
Решение: Так как а1 = 23, а2 = 17,2 и d a a
n 1 n
то d = а2 - а1 =17,2 - 23= -5,8
аn а1 n 1 d , то
аn 23 5,8(n 1), аn 28,8 5,8n
Число -122 будет являться членом этой прогрессии, если существует
такое натуральное число n, при котором значение выражения
28,8 5,8n равно -122. Решим уравнение 28,8 5,8n 122,
Значит, число -122 является
5,8n 150,8,
26 –м членом данной прогрессии.
Ответ: а26 = -122.
n 26.

17.

Арифметическая прогрессия
Пример 5.
Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы они
вместе с данными числами образовали арифметическую
прогрессию.
Дано: (аn) - арифметическая прогрессия:
5; а2; а3 ; а4 ; а5; а6; а7 ; а8;1.
Решение: Заметим, что а1=5, а 9=1,то аn а1 n 1 d
а9 =5+8d, т.е. 1=5+8d, то d = - 0,5.
По определению арифметической прогрессии an + 1 = an + d,
а2 = 4,5 ; а3 = 4,0; а4 = 3,5 ; а5 = 3,0 ; а6 = 2,5 ; а7 = 2,0 ; а8 = 1,5.
Ответ: 4,5 ; 4 ; 3,5 ; 3 ; 2,5 ; 2 ;1,5.

18.

Формула суммы n первых членов
арифметической прогрессии.
a1 a n
2 a1 n 1 d
Sn
n или Sn
n
2
2
Пример 6.
Арифметическая прогрессия (an)задана формулой аn= 3n+2.
Найдите сумму двадцати первых её членов.
Решение: Так как аn= 3n+2, то а1 =5, а2 = 8, то d = 3,
2a1 n 1 d
2 5 19 3
Sn
n, S20
20 670.
2
2
Ответ: 670.

19.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.
Пример 7.
Найдите сумму натуральных чисел от 20 до 120
включительно.
Решение:1 способ: ( bn ): 1, 2, …,19, 20, …, 119, 120.
b1= 1, b2= 2, b120= 120, d = 1,
Sc 20по120 S120 s19 .
2 1 119 1
S120
120 7260 .
2
2 1 18
S19
19 190.
2
Sc 20по120 7260 190 7070 .
Ответ: 7070

20.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.
2способ:
( bn ): 20; 21;…;120, т.е. b1= 20, b2= 21, b101= 120, то d = 1,
2a1 n 1 d
Sn
n,
2
2 20 1 101 1
S101
101 7070 .
2
Ответ: 7070.
Пример 8.
Найдите сумму натуральных чисел, кратных 7 и
не превосходящих 130.
Решение: Числа, кратные 7, задаются формулой
bn= 7n, b1=7, b2=14, d = 7,так как bn ≤ 130 и 7 n 130,
4
так как n N ,то n=18.
n 18 ,
Тогда
2 7 7 18 1
S18
18 1197 .
2
7
Ответ: 1197.

21. Геометрическая прогрессия.

Определение:
Числовую последовательность (bn), первый
член которой отличен от нуля, а каждый
член, начиная со второго, равен
предыдущему, умноженному на одно и то
же число q ≠ 0, называют геометрической
прогрессией.
bn 1 bn q ( рекуррентная формула геометрической прогрессии ).
Число q, которое называется знаменателем прогрессии,
bn 1 .
отлично от нуля и
q
bn

22. Геометрическая прогрессия.

b
Геометрическая прогрессия.
2
n
,
b
b
q
,
то
b
b
b
Так как
n 1
n
n 1 q
n 1 n 1
n
характеристическое свойство геометрической прогрессии
b
Верна и обратная теорема
Последовательность (bn) является геометрической тогда и только
b 0
тогда, когда для любого n > 1, где
n
при всех n выполняется соотношение
b 2 n bn 1 bn 1
Тем не менее, важно понимать, что формула
bn bn 1 bn 1
справедлива только для геометрической прогрессии с
положительными членами, а предыдущее соотношение верно
для произвольной геометрической прогрессии.
Каждый член геометрической прогрессии (bn)определяется
формулой n-го члена последовательности b b q n 1
n
1

23.

Геометрическая прогрессия.
Сумма n первых членов геометрической прогрессии (bn) равна
при q ≠ 1
b qn 1
S 1
n
q 1
и при q = 1 равна Sn = n · b1.
При |q| < 1 геометрическая прогрессия называется
бесконечно убывающей.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
(|q| < 1) равна
b1
S
1 q

24.

Геометрическая прогрессия.
Пример 1.
Дано: (сn)- геометрическая прогрессия, с1=16, q =0,5.
Найти: с7.
Решение: Так как c c q n 1 , то
n
6
1
1 1
c7 c1 q , с7 16 .
2 4
6
Ответ: с7 = 0,25.
Пример 2.
Дано: (сn)- геометрическая прогрессия, с5 = - 6, с7= - 54 . Найти: q.
Решение: Так как
cn c1 q n 1,то
c5 c1 q , 6 c1 q ; c7 c1 q , 54 c1 q
4
4
6
6

25.

Геометрическая прогрессия.
Составим и решим систему уравнений
6
c1 q 4 ,
4
c1 q 4 6,
4
c1 q 6,
c
q
6
,
1
6
q 3,
4
2
2
c1 q 54;
(с1 q ) q 54;
6
q
54;
q 3.
Существуют две геометрические прогрессии, у которой
с5 = - 6, с7 = - 54 . Это геометрические прогрессии ,у
которых или q=3 или q=-3.
Ответ: -3; 3 .

26.

Пример 3.
4
Найдите сумму геометрической прогрессии: 12; 4; ; ... .
3
Решение:
Так как дана бесконечная геометрическая прогрессия, то
1
q , значит, q 1
3
Тогда по формуле S b1
получим:
1 q
12
S
9
1
1
3
Ответ: 9.

27.

Пример 4.
Представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(6); б) 0,(36); в) 1,(81); г) 0,2(3).
Решение: I способ
а) 0,(6) =0,6666… =0,6+0,06+ 0,006+0,0006 + … .
Рассмотрим последовательность: 0,6; 0,06; 0,006; 0,0006; … .
Так как 0,062 0,6 0,006 то эта последовательность
является бесконечной геометрической прогрессией, то
q 0,1, значит, q 1
Тогда сумма этой прогрессии :
0,6
6 2
S
1 0,1 9 3
2
Ответ : .
3

28.

II способ
Пусть x = 0, 6666…. Период состоит из одной цифры
Умножим обе части равенства на 10.
Получим 10х = 6,666… .
Вычтем из 10х = 6,666…
х = 0,666…,
получим 9х = 6,000…,
6
х .
9
2
Ответ : .
3

29.

б) Пусть x = 0,363636…. Период состоит из двух цифр
Умножим обе части равенства на 100.
Получим 100х =36,363636… .
Вычтем из 100х = 36,363636…
х = 0,363636…,
получим 99х =36,00000…,
4
4
х . Ответ : .
11
11
в) Пусть x = 1,818181…. Период состоит из двух цифр
Умножим обе части равенства на 100.
Получим 100х =181,8181 … .
Вычтем из 100х = 181,8181 …
х = 1,8181…,
9
20
получим 99х =180,00000…,
Ответ :1 .
х .
11
11

30.

г) 0,2(3).
Пусть x = 0, 2333…. Период состоит из одной цифры
Умножим обе части равенства на 10.
Получим 10х = 2,333… .
Вычтем из 10х = 2,3333…
х = 0,2333…,
получим 9х = 2,1000…,
2,1
х
9
21
7
х .
Ответ : .
90
30

31. Домашнее задание.

ЦТ-2006,Б4
ЦТ-2007,Б6
Никольский10,стр.307 №60(а, в, г), №106
Повторить формулы нахождения
производных