Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Линии второго порядка

1.

РАЗДЕЛ II
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ЛЕКЦИЯ 4
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.

Кривой второго порядка называется линия,
заданная уравнением второй степени
относительно координат x и y:
Ax 2Bxy Cy 2Dx 2Ey F 0.
2
2
M (x; y)
у Окружность
Окружностью радиуса R с центром точке М0
R М плоскости таких,
называется множество точек
что
| M M M| 0 (xR0; .y0)
0
O
Найдём уравнение окружности.
x

3.

Дано: М0(x0;y0) – центр окружности,
R – расстояние от центра окружности до любой
её точки M(x;y)
Найти: F(x; y) = 0 – уравнение окружности
Решение
Тогда
По условию | M 0 M | R.
( x x0 ) ( y y0 ) R
2
2
2
( x x0 ) ( y y0 ) R
2
2
или
_
каноническое уравнение окружности.
Если х0=0, у0=0, то получим уравнение
окружности с центром в начале координат:
x y R .
2
2
2

4.

Пример. Составить уравнения окружности, если:
а) центром окружности является начало координат,
а её радиус равен 4;
б) центром окружности является точка М0(3;-2),
а её радиус равен 5;
в) окружность проходит через точку М(3;7), а её
центр лежит в точке М0(0;3);
г) точки М1(4;3) и М2(0;7) являются концами
одного диаметра.

5.

Эллипсом называется
Эллипс множество точек
Правописание…
плоскости, для каждой из которых сумма
Пожалуйста,
не повторяйте
ошибок
некоторых
пользователей
расстояний
до двух
данных
точек
F1 и F2
поисковых интерент-систем, которых интересует «как построить
плоскости
(фокусов),
есть постоянная
величина
эллибз», «отличие
элипса от овала»
и «эксцентриситет
элебса». 2a,
причем она больше, чем расстояние 2c между
фокусами:
y
2a 2c.
M ( x, y)
F1 ( c,0) O
F2 (c,0)
x

6.

2
2
2
2
2
2 и y2
Найдём
зависимость
между
координатами
x
( x c ) y 4a 4a ( x c ) y ( x c ) y
Запишем расстояние между
F1 и M в координатах
y
точек
M таких,
2
2
2 что
x 2 xc c 4a 4a ( x c) 2 M
y 2 ( x,xy2 ) 2 xc c 2
dРаскроем
( F1 , Mскобки
) dи( F2 , M 2) 2a2.
2
4a ( x cЗапишем
) yрасстояние
4a между
4Fxcи M
вынесем, где
возможно, за
скобки (a2-c2)
2в координатах
2
a ( x c) y a xc
2
F12( c,0)O
4
2
2 F2 (c,02) 2 x
a (( x c) y ) a 2a xc x c
2
2
( x 2 ( 2c))
y
(
x
c
)
y
2
a
2
2 2
2
2
2
x (a c ) a y a (a c )
2
2
2
2
( x c ) y ( x c ) y 2a
2
2
2
2
( x c ) y 2a ( x c ) y
2
2
2
2

7.

x (a c ) a y a (a c )
2
2
2
2
2
2
2
>0, так как 2a>2c, a>c
Сравните
с нулём
эту разностьa2-c2
2
>0
можно обозначить как
a c b
2 2
2 2
2 2
b2:
2
b x a y a b
2
2
x
y
―
1
2
2
a
b
каноническое уравнение эллипса
2
2

8.

Исследуем форму эллипса по его каноническому
2
2
x
y
уравнению:
a
2
b
2
1.
1. Уравнение эллипса содержит х и у
в чётной степени.
Как этот
факт связывает
точки M(x;y),
M1(x;-y),
Для эллипса
осями
симметрии
являются
M2(-x;y), M3(-x;-y)?
оси координат, а центром
симметрии –
начало координат.
2. Из уравнения эллипса следует, что каждое
2
2
слагаемое не больше единицы: x
y
2
1,
2
1.
b
a
внутри прямоугольника,
Эллипс расположен
образованного прямыми x=a, x=-a, y=b, y=-b.
Докажите утверждение, решив неравенства

9.

3. Из уравнения эллипса найдём координаты
точек пересечения эллипса с осями координат:
( a,0x),из уравнения
B(0, b),эллипса
A(aНайдём
,0), Aзначения
B (0,при
by=0,
) ―
Найдём значения у из уравнения эллипса при х=0.
вершины эллипса;
При a>b отрезок ОА (или ОАʹ) называется
большой полуосью, отрезок ОВ (или ОВʹ) –
малой
полуосью,
отрезок
При увеличении
значения
x ААʹ – большой осью,
отрезокот 0ВВʹ
– малой
осью.
до а значение
у
уменьшается,
Фокусы
эллипса значит
расположены на большой оси.
функция вэллипс
I четверти
4. Исследуем
на…возрастание или убывание
в I четверти, выразив у из уравнения эллипса.
b 2
b 2
2
2
y
a x , y
a x ,
a
a
0 x a.
5. Используя симметрию эллипса, строим его.

10.

3. Из уравнения эллипса найдём координаты
точек пересечения эллипса с осями координат:
A(a;0), A ( a;0), B(0; b), B (0; b) ―
Найдём значения x из уравнения эллипса при y=0,
вершины
эллипса;
Найдём значения у из уравнения эллипса при х=0.
При a>b отрезок ОА (или ОАʹ) называется
большой полуосью, отрезок ОВ (или ОВʹ) –
малой
полуосью,
отрезок
При увеличении
значения
x ААʹ – большой осью,
отрезокот 0ВВʹ
– малой
осью.
до а значение
у
уменьшается,
Фокусы
эллипса значит
расположены на большой оси.
функция вэллипс
I четверти
4. Исследуем
на…возрастание или убывание
в I четверти, выразив у из уравнения эллипса.
b 2
b 2
2
2
y
a x , y
a x ,
a
a
0 x a.
5. Используя симметрию эллипса, строим его.

11.

Сравните три величины:
ε, 0, 1
Директрисами
эллипса
называются
прямые:
0
ε
1
у
a
a
a
d1 : x
ε
d1 : x , d 2 : x .
ε
ε
B(0; b)
Соответствующие
директриса и фокус
M ( x; y)
r1
A ( a;0) F1(-c;0) O
Фокальный
параметр
Как эксцентриситет связан с
Как выглядит
эллипс
ε=0?
формой эллипса?
B при
(0;
b)
a
d2 : x
ε
r2
F2(c;0) A(a;0)
x
Отношение
половины расстояния
между
фокусами
Отрезки, соединяющие
любую точку
эллипса
с его
кфокусами,
длине называются
большой полуоси
фокальными
радиусами:
c называется
эксцентриситетом:
ε
.
r2 a F2 M .
r1 F1M ,

12.

Пример. Найти полуоси, фокусы и
2
2
эксцентриситет эллипса
4 x 9 y 16
и схематично его построить.