6.2 Предел функции в бесконечности и в точке

1.

Понятие предела функции y=f(x) связано с
понятием предела числовой последовательности
an f (n)
У числовой последовательности переменная n,
возрастая, принимает только целые значения, а у
функции переменная х может принимать любые
значения.

2.

Число А называется пределом функции
у=f(x), при х стремящемся к бесконечности,
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
S, что при всех |x|>S, выполняется
неравенство:
f ( x) A
lim
f
(
x
)
A
x

3.

При достаточно больших по модулю значениях
х, значения функции f(x) очень мало
отличаются от числа А (меньше, чем на
число ε , каким бы малым оно не было).

4.

Рассмотрим
геометрический
определения.
Неравенство
смысл
этого
f ( x) A
равносильно двойному неравенству
A f ( x) A
что соответствует расположению части графика
у=f(x) в полосе шириной 2ε.

5.

y
A
A
A
y f (x)
S
x

6.

Т.е. число А есть предел функции
y f (x)
если для любого, сколь угодно малого числа ε>0,
найдется такое число S, что при всех
x S
соответствующие ординаты графика функции
у=f(x) будут заключены в полосе
A y A
какой бы узкой она не была.

7.

Доказать, что
5x 1
lim
5
x
x

8.

Для любого ε>0
1
5 5
x
5x 1
5
x
1
x
x
Т.е. для любого ε >0 существует число S
1
1
0
Такое, что для всех х, таких что |x|>S,
выполняется неравенство:
f (x) 5
5x 1
lim
f
(
x
)
lim
5
x
x
x

9.

Рассмотренное определение предела при
x
стремящемся к бесконечности предполагает
неограниченное возрастание x по абсолютной
величине.
Можно сформулировать понятие предела при
стремлении x к бесконечности любого знака,
т.е. при
x
x

10.

В случае, когда
x неравенство
f ( x) A
должно выполняться при всех x таких, что х>s.
В случае, когда
x
неравенство
f ( x) A
должно выполняться при всех x таких, что х<-s.
Перейдем к понятию предела функции в точке.
Рассмотрим некоторую функцию у=f(x). Пусть эта
функция задана в некоторой окрестности точки
x0, кроме, может быть, самой этой точки.

11.

Число А называется пределом функции
у=f(x), при х→x0, (или в точке x0)
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
δ, что при всех |x-x0|< δ, выполняется
неравенство:
f ( x) A
lim f ( x) A
x x0

12.

При всех значениях х, достаточно близких
к x0, значения функции у=f(x) очень мало
отличаются по абсолютной величине
от числа А (меньше, чем на
число ε, каким бы малым оно не было).

13.

Неравенство
f ( x) A
равносильно двойному неравенству
A f ( x) A
Аналогично неравенство
равносильно неравенству
x x0
x0 x x0
Это соответствует расположению части графика
y f (x)
в полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ окрестность точки x0.

14.

Т.е. число А есть предел функции
y f (x)
при х→x0, если для любого, сколь угодно малого
числа 0
найдется такая δ–окрестность точки x0, что для
всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие
ординаты графика функции
y f (x)
будут заключены в полосе
A y A
какой бы узкой она не была.

15.

y
y f (x)
A
A
A
x0
x0 x
0
x

16.

Доказать, что
lim
(
2
x
3
)
5
x 1

17.

Пусть ε=0.1
Тогда неравенство
будет выполняться при
2 x 3 5 0.1
x 1 0.05
Аналогично, при ε=0.01
Неравенство будет выполняться при
x 1 0.005

18.

Т.е. для любого ε >0 неравенство
выполняется при
x 1
2x 3 5
2
Т.е. для любого ε >0 существует число
0
2
что для всех х, таких что |x-1|<δ, выполняется
неравенство:
f (x) 5
lim
f
(
x
)
lim
(
2
x
3
)
5
x 1
x 1

19.

Определение
предела
не
требует
существования функции в самой точке x0,
т.к. рассматриваются значения функции в
некоторой окрестности точки x0.
Т.е. рассматривая предел
lim f ( x)
мы предполагаем, что
x x0
x x0
но не достигает значения x0.

20.

Если при
x x0
переменная x принимает значения только
меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при
этом функция f(x) стремится к некоторому
числу А, то говорят об односторонних
пределах соответственно справа и слева:
lim f ( x) A
x x0 0
lim f ( x) A
x x0 0

21.

Определение этих пределов будет аналогично
рассмотренному выше при x x0
Вместо значений x, удовлетворяющих условию
x x0
рассматриваются такие x, что
при x x0 0
и значения x, такие что
при x x0 0
x0 x x0
x0 x x0

22.

Если пределы функции f(x) слева и справа
одинаковы и равны А, то существует общий
предел этой функции, также равный А:
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 0
x x0 0
lim f ( x) A
x x0