Теорія функцій комплексної змінної

1.

2.

• ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
15.1. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ТА ЇХ
ПОХІДНІ
15.1.1. Комплексна змінна
z a ib
z r cos i sin
z r ei
Озн. Область називається відкритою, якщо для довільної
точки області існує окіл точки, який повністю належить
області.
Озн. Область називається зв'язною, якщо дві довільні точки
області можна сполучити кривою, яка не виходить за межі
області.

3.

15.1.2. Функція комплексної змінної (ФКЗ).
Умови Коші — Рімана
w f (z)
1) границя функції
0 Uz0 z Uz0 \ z0 : f ( z) A
lim f ( z) A
z z0
2) неперервність в точці z0
lim f ( z) f ( z0 )
z z0

4.

3) похідна
f ( z z ) f ( z )
w lim
f ( z )
z 0
z
4) диференціал
dw f ( z )dz.

5.

z x iy
w f (z) u( x, y) iv( x, y)
u v
x y
v
u
x
y
Умови (15.1) називаються умовами Коші—Рімана
(або Ейлера—Д'Аламбера)
u
v
f ( z)
i
x
x
(15.1)

6.

w f (z) u( , ) iv( , )
u 1 v
v
1 u
Умови (15.2) називаються умовами Коші—Рімана
для функції f(z), коли z задано у тригонометричній
формі
u v
f ( z)
z
1 u v
f ( z)
z
(15.2)

7.

Теорема. Для того щоб функція w = f(z) була
диференційовна як ФКЗ у точці z, необхідно й
достатньо, щоб при відповідних значеннях х і у
функції u та v були диференційовні як функції
двох дійсних змінних і виконувались умови (15.1).
u
v
f ( z)
i
x
x
f ( z)
u u
i
x
y
v
u
f ( z)
i
y
y
f ( z)
v
v
i
y
x

8.

Озн. Функція називається аналітичною в деякій точці,
якщо вона диференційовна в цій точці і в деякому іі околі.
Озн. Функція називається аналітичною в деякій області,
якщо вона аналітична в кожній точці цієї області.
Озн. Функцію T(x, y), яка визначена в області D і
неперервна у цій області разом зі своїми частинними
похідними першого та другого порядків, і яка
задовольняє рівняння Лапласа
2T 2T
2 0
2
x
y
називається гармонічною функцією.
2u 2u
u 2 2 0
x
y
2v 2v
v 2 2 0
x
y
w u i v 0

9. Приклад.

Знайти аналітичну ФКЗ w u iv,
u v
x y
u v
x y
v y x.
v
u
x
y
(15.1)
v — гармонічна
y x y 1
u
v
y x x 1
y
x
u y 0 ( y )
u x y C
якщо
u x (y)
( y) 1
( y) y C
w x y C i y x

10. Приклад.

2
2
u
x
y
2 x.
якщо
w
u
iv
,
Знайти аналітичну ФКЗ
u v
x y
v
u
x
y
u — гармонічна
u
2x 0 2
x
2u
2
2
x
u
2y
y
2u
2
2
y
2u 2u
u 2 2 0
x
y
(15.1)

11.

u
2y
y
u
2x 2
x
u v
x y
v
2x 2
y
v
u
2y
x
y
v
u
x
y
(15.1)
v 2xy 2y ( x)
( x) 0
v x 2y 0 ( x)
v 2xy 2y C
w u iv x2 y 2 2 x i 2xy 2 y C
2
2
x iy 2 x iy iC z 2 z iC
( x) C

12.

15.2. ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ
ЗМІННОЇ
15.2.1. Теорема Коші
Інтеграл від ФКЗ ідентичний криволінійному інтегралу
другого роду
f ( z)dz
L
f ( z) u iv
*
f
z
i zi
n
lim
max zi 0
i 1
dz dx idy
f ( z)dz udx vdy i vdx udy
L
L
L

13. Приклад.

dz
Обчислити
z z0
L
it
де L – коло z z0 R e .
2
it
iR
e
dt
dz
R
e
z
z
0
L z z0 dz iR eit dt 0 R eit 2 i.
it
Теорема Коші. Якщо f(z) аналітична в однозв'язиій області D,
обмеженій контуром L, то виконується рівність (15.4).
L
f ( z)dz 0
(15.4)

14.

15.

15.2.2. Формула Коші
Інтегральна формула Коші має вигляд
1 f ( z)dz
f ( z0 )
2 i L z z0
(15.5)
Диференціюючи (15.5):
f ( z)dz
1
f ( z0 )
2 i L z z0 2
Аналогічно:
f
( n)
f ( z)dz
n!
( z0 )
2 i L z z0 n 1
(15.6)