Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної

1.

2.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ
ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ
ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ
Київ
«ПОЛІТЕХНІКА»
2001

3.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ
ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ
ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ
ДЛЯ СТУДЕНТІВ І КУРСУ ТЕХНІЧНИХ ФАКУЛЬТЕТІВ
Затверджено Методичною радою НТУУ «КПІ»
Київ
«ПОЛІТЕХНІКА»
2001

4.

Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної: Збірник завдань до
типової розрахункової роботи для студентів І курсу технічних факультетів / Уклад.:
Л.Б. Федорова, Н.Р. Коновалова, І.В. Алексєєва та ін. — К.: ІВЦ «Політехніка», 2001. — 65 с.
Гриф надано Методичною
радою НТУУ «КПІ»
(Протокол № 4 від 20.12.2001)
Навчальне видання
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ
ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Збірник завдань
до типової розрахункової роботи
для студентів І курсу технічних факультетів
Укладачі:
Федорова Лідія Борисівна
Коновалова Наталія Романівна
Алексєєва Ірина Віталіївна
Кіндибалюк Адріана Юріївна
Трофимчук Олена Петрівна
Гайдей Віктор Олександрович
Відповідальний
редактор
В.В. Булдигін, д-р фіз.-мат. наук, проф.
Рецензент
В.Г. Лозовик, канд. фіз.-мат. наук, доц.
Темплан 2001 р., поз. 138
Редактор К.Г. Левчук
Підп. до друку
Формат 60×84 1/16.
Інформаційно-видавничий центр «Політехніка» НТУУ «КПІ»
Лабораторія офсетного друку НТУУ «КПІ»
03056, Київ-56, просп. Перемоги, 37.
Зам. № . Тираж 200. Ум. друк. арк. 3,78.
Папір офсетний. Різограф.

5.

6.

Вступ
Дотепер накопичено багаторічний досвід використання типових індивідуальних
розрахункових робіт для організації й контролю самостійної роботи студентів. Результатом цього є створена нова зручна форма типового варіанта.
Запропонований збірник містить 30 варіантів індивідуальних завдань і додаткові
задачі, а кожний варіант — завдання з розділів: комплексні числа, теорія границь і
неперервність функції, похідна функції, геометричний зміст похідної, дослідження
функцій і побудова графіків функцій, методи інтегрування, визначений інтеграл, застосування визначеного інтегралу. Наявність додаткових задач, які вміщено в кінці
збірника, і які ілюструють теоретичний матеріал курсу, дає змогу заохотити сумлінних студентів. Частину задач узято зі збірників завдань Л.А. Кузнецова «Сборник
заданий по высшей математике» (М., 1994) і А.П. Рябушка «Сборник индивидуальных
заданий по высшей математике» (Минск, 1990). Крім того, укладачі пропонують
використовувати збірники задач [1—8].
Передбачається, що перед виконанням завдань типового варіанта розрахункової
роботи, студент ознайомиться з відповідними розділами методичних вказівок, які
містять:
1. Стислий виклад теоретичного матеріалу з вказівками шляхів поглиблення
знань.
2. Приклади розв’язання типових задач з використанням ефективних, оригінальних методик.
3. Довідковий матеріал, зібраний і організований у зручній формі.
4. Зразок розв’язання типового варіанта та деяких додаткових задач, а також
поради щодо розв’язання останніх.
5. Відповіді до частини завдань.
6. Список рекомендованої літератури.
Список рекомендованої літератури
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1985.
— 446 с.
2. Гудименко Ф.С. Збірник задач з вищої математики. — К.: КДУ, 1967. — 352 с.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.:
МГУ, 1999. — 624 с.
4. Вища математика: Збірник задач / В.П. Дубовик, І.І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін. —
К.: Вища шк., 1999. — 480 с.
5. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа: В 3 ч. / В.А. Болгов, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко и др. — М.:
Наука, 1993. — Ч. 1. — 461 с.
6. Сборник задач по курсу высшей математики / Г.И. Кручкович, Н.И. Гутарина,
П.Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.
7. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. — М.:
Наука, 1984. — 592 с.
8. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды / Л.Д. Кудрявцев,
А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. — М.: Наука, 1986. — 528 с.
3

7.

ln(x + 5)
.
â3) lim x sin x .
x →+0
x +3
1
arcsin 4x − 4x
2) lim
. 4)ë lim (x + 2x )x .
3
x
−
x → 0 5 − 5e
x →+∞
− 15x
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) = tg 2x , β(x ) = arcsin x , x → 0.
Варіант 1
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
x →∞ 4
1) y = 1 sin ( 2x + π ). 4) y = tg ( 2x + π ).
2
3
4
x +2
2) y = 2 arcsin(x + 1). 5) y = 2 .
3) y = 1 arcctg(x + 1). 6) y = ln(x + 3).
2
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3;
2) α(x ) = x − x , β(x ) = x 3 − 3 4 x , x → 0.
3) α(x ) = sin 3 x , β(x ) = x , x → 0.
Ó
2
б) тригонометричну форму z 3 ;
z
в), г) (z1z 2 ) та z1
2
10
д), е) всі значення
3
8
( )
z1 = −3 + 3i, z 2 =
9. Дослідити функцію на неперервність:
x
1) f (x ) =
.
sin x
x + 4, x < −1,
2) f (x ) = x 2 + 2, −1 ≤ x < 1,
2x ,
x ≥ 1.
;
z1 та 4 z 2 , якщо:
3 − i, z 3 = −1 − 5i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z − 1 ≤ 2, 0 < arg z ≤ π .
4
2) z − i > z + i , Re z > 1.
1
3) f (x ) = 2 x − 3 + 1 у точках x1 = 3, x 2 = 4.
3) z 3 − 3z 2 + 6z − 4 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
Знайти границі (4—7):
10. 1) y = x 5 −
n(n + 2)!− n(n + 1)!
.
n →∞
(n + 3)!
4.1) lim
2) lim
n 3 5n 2 + 4 9n 8 + 1
n →∞ (n
+ n ) 7 − n + n2
arcctg 4 5x
.
sh x
9 arctg(x + 7)
3) y = sin 3 2x ⋅ cos 8x 5 +
.
(x − 1)2
2) y =
.
3) lim n( n 2 + 1 − n 2 − 1).
2
1 − cos 8x
x 2 − 5x + 6
. 6.1) lim
.
2
x →2 x − 12x + 20
x →0
3x 2
2x 2 + 11x + 15
ln(1 + 3x 2 )
2) lim
.
2)
lim
.
x →−3 3x 2 + 5x − 12
x → 0 x 3 − 5x 2
3x 3 − 5x 2 + 2
ln(1 + sin x )
3) lim 3
. 3) lim
.
2
x →∞ 2x + 5x − x
x →0
sin 4x
6) y = (cth 3x )arcsin x −
y
cos t
,
x = ln t ,
x =
1 + 2 cos t
t
12.
: 1)
2)
3
sin t
′′ = ?
yxx
y = t ln t. y =
.
1 + 2 cos t
13.1) y = (2x 2 − 7) ln(x − 1), y (5) = ?
x 5 − 2x + 4
x2 − 1
.
4)
lim
.
x →−∞ 2x 4 + 3x 2 + 1
x →1 ln x
2x 2 + 3x − 5
7 2x − 53x
5) lim
.
5)
lim
.
x →∞ 7x 3 − 2x 2 + 1
x → 0 2x − arctg 3x
1 + 2x − 3
e x + e −x − 2
6) lim
.
6) lim
.
x →4
x →0
x −2
sin2 x
.
x +1
x →∞
.
sin π x
2e
(
)
3x − 1
8) lim (
x +1 )
ln x − 1
7) lim
x →e
x −e
1
3 x −1
x →1
(x − 1)4 x + 7
.
(x + 2)5 (x + 3)2
11.1) x 2 + y 2 = e arctg x . 2)y 2 + sin y = 8x .
yx′ = ?
4) lim
( )
2x + 3
8) lim (
5x + 7 )
3x 4 + x − sin 3 −
2
5.1) lim
−3x
3
e arccos x
4) y = ln x arctg 5x −
.
x +5
5) y = tg4 3x ⋅ arcsin 2x 3 + (arccos x )tg 3x .
n →∞
x +4
7) lim
x →∞ x + 8
log5 (3x − 7)
4
.
3 +
(x − 2)
ctg 7x 3
2) y = xeax , y (n ) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
.
до кривої у заданій точці:
1) y = x 2 − 7x + 3, x 0 = 1.
.
4

8.

2) x = a sin 3 t, y = a cos3 t, t0 =
π
.
3
3) x = at, y = 1 at 2, z = 1 at 3, M 0 (6a,18a, 72a ).
2
3
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 2x 3 − 9x 2 + 12x − 9.
1) y = ln(x − 2x + 2),[0; 3].
2
16. max
min f (x ) = ?
[a ,b ]
2) y = x 2 +
2) y =
3
17 − x 2
.
4x − 5
2
3x − 6 + (2 − x )3 . 6) y = e 2x −x .
3) y = (2x + 3)e −2(x +1).
4) y = e sin x +cos x .
2)∫
3)∫
3 + xdx .
dx
.
3−x
2xdx
5 − 4x
2
.
4)∫ e 2x −7dx .
9)∫
2
dx
.
x 1 + x2
1+ x
dx .
4 7
x
5)∫
3)∫ ln(x − 5)dx .
6)∫ arctg 2xdx .
1 − x arccos xdx .
π
1)∫ x ln(x − 1)dx .
2
2)∫
0
29
3)∫
3
.
4)∫ 28 sin 8 xdx .
π
2
2
3x 4 + 3x 2 + 1
dx . 5)∫ x 2 4 − x 2dx .
x2 + 1
0
3
(x − 2)2
π
2
dx . 6)∫
3 + 3 (x − 2)2
π
cos3 x
dx .
sin x
4
24. Обчислити інтеграли або довести їх
10)∫ sin 4 2x cos 2xdx .
розбіжність:
∞
tg 3 x
arctg5 3x
5)∫
dx
.
11)
∫ 1 + 9x 2 dx .
cos2 x
xdx
sin 2x
6)∫
.
12)∫
dx .
3x 2 + 4
1 + 3 cos 2x
e
2 − 3x
(3x 2 + 20x + 9)dx
19.1)∫ 2
dx . 5)∫ 2
.
x +2
(x + 4x + 3)(x + 5)
1)∫
1
xdx
.
16x − 1
4
1
2)∫
0
3
dx
.
2 − 4x
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y = (x − 2)3 , y = 4x − 8.
x = 4 2 cos3 t,
2)
x = 2(x ≥ 2).
y = 2 2 sin3 t,
3) ρ = 4 cos 3ϕ, ρ = 2(ρ ≥ 2).
1 − 2x − x 3
x3 + 1
2)∫
.
6)
dx
∫ x 3 − x 2 dx .
1 + x2
( 3x + 13 )dx
dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
4x − 5x + 4
(x − 1)(x 2 + 2x + 5)
(x + 1)dx
5xdx
4)∫ 2
. 8)∫ 4
.
2x + 3x + 4
x + 3x 2 − 4
20.1)∫ tg2 xdx .
7)∫
2)∫ (x + 1)e 2x dx .
1
3dx
.
2
9x − 3
dx
2 − 5x
1 − x2
dx .
x
3
7)∫ sin(2 − 3x )dx .
8)∫
3)∫
dx .
23. Обчислити інтеграли:
4x
.
2
x +4
1
8) y = x +
.
x −1
7) y =
Знайти інтеграли (18—21):
18.1)∫
2)∫
3x 2 − 3x − 16
1− x
. 6)∫
dx .
3 x) x
2
(1
+
4 + 8x − x
4)∫
графік:
5) y =
7x 2 + 4
dx
2x − 13
dx . 5)∫
dx
.
8)∫
2+ x +3
ln(cos x )
22.1)∫
dx . 4)∫ x 2 cos 2xdx .
2
cos x
16
− 16,[1; 4].
x
17. Дослідити функцію і побудувати її
1) y = 1 − 3 x 2 − 2x .
x −1
21. 1)∫
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
x = 0, y 2 = 4 − x , навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
4)∫ cos4 3x sin2 3xdx .
dx
.
5 + 2 sin x + 3 cos x
dx
3)∫ sin 3x cos xdx . 6)∫
.
8 sin x (sin x − 2 cos x )
обертанням кривої y = 1 x 3 , x ∈ − 1 ; 1
3
2 2
навколо осі Ox .
2)∫ sin2 (1 − x )dx . 5)∫
5

9.

a ln x − x
.
x →1 x − 1
Варіант 2
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = −2 cos ( 3x − π ). 4) y = 3x −2.
2
2) y = 1 arccos(x + 3). 5) y = 2 arctg(x − 1).
3
3) y = ctg ( 1 x − π ). 6) y = − lg(x − 3).
4
8
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 + i 4 ;
2
10
д), е) всі значення
3
( )
1)α(x ) = 1 − cos x , β(x ) = 3x 2 , x → 0.
2)α(x ) = x 3 − 3x − 2, β(x ) = x − 2, x → 2.
2
3)α(x ) = e x − 1, β(x ) = x , x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
sin x
1) f (x ) = 2 .
x
x + 1,
x ≤ 0,
2) f (x ) = (x + 1)2, 0 < x ≤ 2,
4 − x ,
x > 2.
z1 та 4 z 2 , якщо:
3i, z 3 = 2 + 3i.
1
3) f (x ) = 5 x −3 − 1 у точках x1 = 3, x 2 = 4.
Знайти похідні функцій (10—13):
3) z 3 − 2z 2 + 2z − 1 = 0.
(2n + 1)!+ (2n + 2)!
.
(2n + 3)!
n − 1 − n2 + 1
2) lim
n →∞ 3
3n 3 + 3 + 4 n 5 + 1
2
(x − 4)2
−
.
e arcctg x
x4
ln(5x − 3)
2x 4 − cos ln 2 +
.
4 tg 3x 4
10.1) y = 4x 3 +
Знайти границі (4—7):
n →∞
x
4) lim ( ln x1 ) .
x →+0
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z + 1 ≤ 3, π < arg z ≤ 2π .
3
3
2) z − 1 < z + i , Im z > 2.
4.1) lim
2) lim x sin x .
x →0
8. Визначити порядок і головну частину
;
z1 = 2 − 2i, z 2 = −1 +
3) lim
x →+0
б) тригонометричну форму z 3 ;
z
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
2) y =
3
arcctg 3 2x
.
ch x
4) y = ln x arctg3 2x + (cos x )ln x .
3) y = cos5 3x ⋅ tg x 3 −
.
3) lim n( n(n − 2) − n 2 − 3).
n →∞
5) y = (x − 2)4 arcsin 5x 4 −
x 3 − x 2 + 2x
sin 3x − sin x
5.1) lim
. 6.1) lim
.
2
x →0
x
→
0
5x
x +x
2x 2 + 5x − 7
arcsin 5x
2) lim
. 2) lim
.
3
x →1
x → 0 tg 3x
x −1
4x 3 + 7x
1 − cos10x
3) lim 3
. 3) lim
.
2
x →∞ 2x − 4x 2 + 5
x →0 ex − 1
6) y = (arcsin 2x )ctg x +
(x + 1)2 (x − 1)3
.
13.1) y = (3 − x 2 ) ln x , y (4) = ?
2) y = sin 2x + cos(x + 1), y (n ) = ?
1
x −a
)
sin x
x + 12 − 8
.6) lim
.
2
x →−4 x + 2x − 8
x →a sin a
1
x 2x −1
7) lim
.
7) lim(cos x )x .
x →∞ x + 1
x →0
x
2x + 1
1 + x sin x − cos 2x
. 8) lim
.
8) lim
x →∞ x − 1
x →0
sin2 x
(
(
(x − 3)5 (x + 2)3
x 2 y2
+
= 1.
2) y = tg(x + y ).
5
7
x = 2 cos2 t, x = 1 − t 2 ,
yx′ = ?
12.
: 1)
2)
2
′′ = ?
yxx
y = 3 sin t. y = tg 1 + t .
3x 4 + 2x − 5
2x 2 − 1 − 1
.
4)
lim
.
x →∞ 2x 2 + x + 7
x →1
ln x
3x 2 − 7x + 2
e 3x − e −2x
5) lim 4
. 5) lim
.
x →−∞ x + 2x − 4
x → 0 2 arcsin x − x
(
arctg(2x + 3)
.
8(x + 1)3
11.1)
4) lim
6) lim
( sin1 x − x1 ).
7.1) lim
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої у заданій точці:
)
1) y = x 2 − 16x + 7, x 0 = 1.
)
2) x =
6
3 cos t, y = sin t, t0 =
π
.
3

10.

3) x = t − sin t, y = 1 − cos t, z = 4 sin t ,
2
π
M 0 ( − 1,1,2 2 ).
2
15. Знайти проміжки монотонності фун-
21. 1)∫
кції y = 3x − x 3 .
3)∫
2)∫
3x
1) y = 2
,[0;5].
x +1
16. max
f
(
x
)
=
?
min
4
[a ,b ]
2) y = 4 − x − 2 ,[1; 4].
x
17. Дослідити функцію і побудувати її
4)∫
2) y =
3
5) y = 2x − 3 3 x 2 .
(x + 3) − 3x − 9. 6) y =
3
x2 + 1
4x 2 − 3
x +1
7) y =
.
(x − 1)2
3) y = x + ln(x − 4).
2
.
2)∫
3)∫
1 + xdx .
dx
.
2x 2 − 5
dx
9x 2 + 3
.
4)∫ e 3 +5xdx .
5)∫
3
9)∫
10)∫
dx
.
3x + 9
xdx
5 − 3x 2
3
arcsin x
5
x
2 −2
0
1
3)∫
2
x 3 x2
dx .
1 − x arcsin xdx .
dx
.
2 + cos x
4 − x2
dx .
x2
π
4)∫ 24 sin6 x cos2 xdx .
0
3
5)∫
2x 4 − 5x 2 + 4
dx .
x2 − 1
6) ∫
dx
.
e (3 + e −x )
2
ln 2
0
x
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
.
∞
1)∫
ln (1 − x )
dx .
x −1
xdx
.
2
2
0
x 3dx
.
16x 4 + 1
a
2)∫
0
x 8dx
a2 − x 2
.
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y = x 9 − x 2 , y = 0, x ∈ [0; 3].
x = 2 cos t,
2)
y = 2(y ≥ 2).
y = 2 2 sin t,
3) ρ = cos 2ϕ.
7 − x2
x 3 − 2x 2 − 2x + 1
dx .
6)∫
dx .
1−x
x3 − x2
dx
x 2 − 6x + 8
3)∫ 2
. 7)∫
dx .
x − 4x + 10
x3 + 8
2x 5 − 2x + 1
x +6
4)∫ 2
dx . 8)∫
dx .
3x + x + 1
1 − x4
3)∫
1+ x
6)∫ x cos 6xdx .
2)∫
2)∫
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
x = 0, y = 0, x + y = 2, навколо осі
Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої ρ = 2 cos ϕ навко-
4)∫ sin 5 2x cos2 2xdx ;
dx
.
8 sin x (2 sin x − cos x )
dx
sin x cos3 xdx . 6)∫
.
5 − 4 sin x + 2 cos x
2)∫ sin 3 (1 − x )dx .
3
3)∫ arctg 2xdx .
−2
π
2
dx . 11)∫
1 − x2
e 3x + 4
cos 2x
3x 3
6)∫
dx
.
12)
∫ 1 − x 4 dx .
sin 3 2x
1 − 2x
12dx
19.1)∫ 2
dx . 5)∫
.
5x − 1
(x − 2)(x 2 − 2x + 3)
20.1)∫ ctg 3 2xdx .
8)∫
5)∫ x sin2 xdx .
1)∫ x e dx .
7)∫ sin(3 − 2x )dx .
8)∫
x2 − 1
dx .
x
2)∫ (x − 2)e xdx .
0
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫
dx .
2x 2 − 4x − 1
4 x + x
6)∫
dx .
x +1
dx
.
7)
.
∫
3x 2 − 4x + 1
(x + 1) x 2 − 1
1−x
xdx
.
x +3
dx
23. Обчислити інтеграли:
sin x + cos x
e 2(x +1)
4) y = arctg
. 8) y =
.
2(x + 1)
2
3
x −3
dx . 5)∫
2
22.1)∫ cos(ln x )dx . 4)∫
графік:
x2 − x + 1
1) y =
.
x −1
3 − 5x
5)∫
ло полярної осі.
7

11.

tg x − x
.
x → 0 x − sin x
Варіант 3
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
1
e − 1 − x2
. 4) lim (2x + 3x )x .
2
1
x → 0 ( cos x − 1 + x )
x →∞
2
2) lim
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) = arctg2 3x , β(x ) = 4x 2, x → 0.
1
1
, β(x ) =
, x → ∞.
x 2 + 2x
x 3 − 2x 2
3) α(x ) = ln(1 + x ), β(x ) = x , x → 0.
2) α(x ) =
б) тригонометричну форму z 3;
z
( )
z1 = −4 − 4i, z 2 =
10
3
9. Дослідити функцію на неперервність:
x
1) f (x ) =
.
x
x + 2,
x ≤ −1,
2) f (x ) = x 2 + 1, −1 < x ≤ 1,
−x + 3, x > 1.
x +7
3) f (x ) =
у точках x1 = 2, x 2 = 3.
x −2
Знайти похідні функцій (10—13):
;
z1 та
4
z 2 , якщо:
3 + i, z 3 = 3 − 4i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z − i ≤ 3, π < arg z ≤ π.
4
2) z + i > z − 1 , Re z < 3.
3) z 3 + 2z 2 + 6z − 9 = 0.
Знайти границі (4—7):
2
4
e −x
10.1) y = 3x − 2 −
.
x
x 2 + 5x − 1
ln(7x + 2)
2) y = (x − 4)5 + tg lg 3 +
.
5 cos 42x
arccos 3x 4
3) y = sh3 4x ⋅ arccos x −
.
th2 x
4
1 + 3 + ... + (2n − 1) 2n + 1
4.1) lim
−
.
n →∞
n +1
2
2) lim
n →∞ 3
n3 + 1 − n − 1
n3 + 1 − n − 1
.
3) lim n n (n − 3 n 3 − 5).
n →∞
2
4) y = ln(x 2 − 1)arccos4 x + 2−x arctg 7x 4 .
6 + x − x2
cos x − cos 5x
5.1) lim 3
. 6.1) lim
.
x → 3 x − 27
x →0
2x 2
x 3 − 3x + 2
sin 7x
2)lim 2
.
2) lim
.
x →1 x − 4x + 3
x → 0 tg 2x
5x 4 − 3x 2 + 7
3x 2 − 5x
3) lim 4
.
3)
lim
.
x →∞ x + 2x 3 + 1
x → 0 sin 3x
3x 2 + 7x − 4
1 + cos 3x
4) lim
. 4) lim
.
5
x →−∞ x + 2x − 1
x →π sin2 7x
7x 4 − 3x + 4
62x − 7−2x
5) lim
.
5)
lim
x →∞ 3x 2 − 2x + 1
x → 0 sin 3x − 2x
6) lim
x →−3
5) y =
( 1 +2x2x )
x +1
8) lim (
2x − 1 )
7) lim
x
.
x →∞
11.1) y = x + arctg y.
x = 6 cos3 t, x = et cos t,
12.
: 1)
2)
t
3
′′ = ?
yxx
y = 2 sin t. y = e sin t.
13.1) y = x cos2 x , y (5) = ?
.
2) y =
8) lim
x →1
( 2x x− 1 )
5
e 7 x −1 , y (n ) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
1
x2
1
3 x −1
(x − 2)3 (x + 1)5
.
(x + 1)3 (x − 4)2
2) e x −y = xy.
yx′ = ?
1 + 2 x
7) lim
.
x → 0 1 + 3x x
3x
7 arccos(4x − 1)
− (sin 3x )arccos x .
(x + 2)4
6) y = (arctg 6x )cos 2x +
x + 10 − 7
x3 + 1
.
6)
lim
.
x →−1 sin(x + 1)
2x 2 − x − 21
−4 x
x →∞
x →1
x2
1) y = 3 sin ( 2x + π ). 4) y = tg ( 2x + π ).
4
4
x +1
2) y = 2 arcsin(x + 1). 5) y = ( 1 ) .
2
3) y = 1 arcctg(x − 2). 6) y = ln(2 − x ).
3
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3;
2
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
3) lim ln x ln(x − 1).
до кривої в заданій точці:
1) y =
x − 4, x 0 = 8.
2) x = a(t − sin t ), y = a(1 − cos t ), t 0 =
.
8
π
.
3

12.

3) x = 1 t 4 , y = 1 t 3, z = 1 t 2, M 0 (1;1;1).
4
3
2
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = x 2 (x − 2)2 .
16. max
min
[a ,b ]
f (x ) = ?
1) y =
2x − 1 1
, − ;0 .
(x − 1)2 2
2) y =
3
2(x − 2)2 (8 − x ),[0;6].
графік:
5) y = e
1
5 +x
.
2
.
x + 2x
x 3 − 4x
3) y = 3 (x + 2)3 − 3x − 6. 7) y = 2
.
3x − 4
2(x + 1)2
4) y = ln(cos x + sin x ).
8) y =
.
x −2
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫
3
2
9)∫
4)∫ e 2−3xdx .
10)∫
8)∫
2
5)∫
dx
.
2
sin x ctg4 x
6)∫
arccos2 3x
11)∫
dx
.
2 − 3x
dx
(2x − 1)dx
.
3x 2 − 2x + 6
5)∫
1+ 3 x
dx .
x x
3)∫ x 2e −xdx .
6)∫ arcsin 3xdx .
4)∫ x arctg 2xdx .
2π
x +2
dx .
2
x (x − 1)
4)∫ sin4 x cos4 xdx .
0
6
x2 − 9
dx .
x4
5)∫
3
5
6)∫
0
dx
.
2x + 3x + 1
розбіжність:
∞
16xdx
1)∫
.
4
16
x
−
1
1
1
3
1
e 3+ x
2)∫ 2 dx .
x
0
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y = 4 − x 2, y = x 2 − 2x .
x = 4(t − sin t ),
2)
y = 4(1 − cos t ),
y = 4 (0 < x < 8π, y ≥ 4).
3) ρ =
x − 3x + x − 2
dx .
x 4 + 5x 2 + 4
x
2)∫ sin 4 dx .
4
x +1 +1
dx .
x +1 + 6 x +1
24. Обчислити інтеграли або довести їх
2
4)∫ cos x sin xdx .
3
5)∫ (x − 7)cos 2xdx .
0
.
ln (1 − x )
dx .
(1 − x )
3
7)∫
dx .
2)∫ x sin x cos xdx .
3)∫ sin 2xdx .
20.1)∫ tg 3xdx .
4
3x − x + 5
dx
.
x x2 − 1
8)∫
2
π
4
sin 3x
dx .
3 − cos 3x
(43x − 67)dx
5)∫
.
(x − 1)(x 2 − x − 12)
8)∫
. 6)∫
x −1
2
x 2dx
.
x −3
ln x
22.1)∫ 2 dx .
x
2)∫
x3 + 2
x 3 + 2x 2 − x + 2
2)∫ 2
dx .
6)∫
dx .
x −1
(x − 1)(x 2 − 1)
( 12 − 6x )dx
dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
2x − 7x + 10
(x + 1)(x 2 − 4x + 13)
4)∫
x2 + 4
dx .
x
0
3
2
3
3)∫
1)∫ x cos xdx .
dx . 12)∫
1 − 9x 2
2x + 1
19.1)∫ 2
dx .
5x + 1
2 − 3x − 2x 2
π
2
7x − 3
sin 3x
dx .
cos4 3x
3
2)∫
3
2
dx . 5)∫
23. Обчислити інтеграли:
(1 + x )2dx . 7)∫ sin(5 − 3x )dx .
dx
.
9x + 3
3xdx
3)∫ 2
.
4x + 1
2)∫
6) y =
x −1
dx
2
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
12 3 6(x − 2)2
1) y =
.
x2 + 8
x
− 1.
2) y = 3 ln
x −3
8 − 13x
3 cos ϕ, ρ = sin ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = sin x , y = 3 sin x , y = 0, 0 ≤ x ≤ π, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої x = 10(t − sin t ),
y = 10(1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π) навколо осі
8
dx
.
1 + 3 cos2 x
3 sin x − 2 cos x
3)∫ sin2 3x cos2 3xdx .6)∫
dx .
1 + cos x
Ox .
9

13.

ex − 1 x 2 − x − 1
xα − 1
2
7.1) lim
. 3) lim β
.
x → 0 cos x − 1 x 2 − 1
x →1 x − 1
2
Варіант 4
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 1 cos ( 3x + π ). 4) y = ctg ( 3x + 3π ).
2
4
4
x −1
2) y = 2 arccos(x − 1). 5) y = ( 1 ) .
3
3) y = 3 arctg(x + 2). 6) y = − lg(x + 2).
2. Знайти:
2) lim (arcsin x )tg x .
x →+0
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) = sin 3x − sin x , β(x ) = 5x , x → 0.
z
z
( )
10
2) α(x ) =
z1 = −3 + 3i, z 2 =
x − 2, β(x ) = x 2 − 16, x → 4.
3) α(x ) = tg 3 x , β(x ) = sin x , x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
;
1 − e 2x
.
x
−x ,
x ≤ 0,
2) f (x ) = −(x − 1)2 , 0 < x < 2,
x − 3,
x ≥ 2.
x −5
у точках x1 = −2, x 2 = −3.
3) f (x ) =
x +3
Знайти похідні функцій (10—13):
1) f (x ) =
z1 та 4 z 2 , якщо:
3
3 − i, z 3 = −1 − 5i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z + i ≤ 2, 0 < arg z ≤ 5π .
4
2) z + 1 < z − i , Im z < 1.
3) z 3 + z 2 − 2 = 0.
Знайти границі (4—7):
4.1) lim
1 + 2 + ... + n
9n 4 + 1
n →∞
3
2) lim
n →∞ 4
3) lim
n →∞
10.1) y = 7 x −
.
n 2 − 1 + 7n 3
n 12 + n + 1 − n
(
2) y =
.
(n + 1)(n − 4) − n − 9 ).
2
2
2x 2 − x − 1
tg 3x
. 6.1) lim
.
2
x →1 3x − x − 2
x → 0 2 sin x
3x 2 + 2x + 1
e 3x − 1
2) lim
.
2)
lim
.
x →2
x → 0 x 3 + 27x
x3 − 8
7x 3 − 2x 2 + 4x
1 − cos 2x
3) lim
. 3) lim
.
3
x →∞
x → 0 cos 7x − cos 3x
2x + 5
3x − x 6
1 − sin 2x
4) lim 2
.
4) limπ
.
x →∞ x − 2x + 5
x → (π − 4x )2
4
8) lim
x →−∞
(
)
.
(
1
x −2
)
arcsin 5x 3
.
ch x
6 arcsin 2x
arccos 2x +
.
(x − 2)5
6) y = (arcctg 5x )sin 4x +
(x + 3)5 (x − 2)2
.
(x + 1)7 (x − 1)2
x 2 y2
+
= 1.
2) x 4 + y 4 = x 2y 2 .
5
3
1
x = sh2 t,
x = t + 2 ,
yx′ = ?
12.
: 1)
2)
t 2 . y = 1 .
y =
′′ = ?
yxx
ch2 t
(t + 2)2
13.1)y = (x − 1)2 ln(x − 1), y (5) = ?
11.1)
)
cos x
8) lim
x → 2 cos 2
sin 3 5x
.
ln(2x − 3)
5) y = th2 x ⋅ arctg 3x 2 − (th 5x )arcsin(x −1).
2x 2 − x + 7
e 5x − e 3x
.
5)
lim
.
x →−∞ 3x 4 − 5x 2 + 1
x → 0 sin 2x − sin x
2−x −2
tg x − tg a
6) lim 2
.
6) lim
.
x →−2 x − x − 6
x →a ln x − ln a
2
2
x − 1 −3 x
7) lim
.
7) lim(2 − 3arctg x )sin x .
x →∞
x →0
x
3x −1
7x 2 + ctg 3 5 +
4) y = 3−x
5) lim
2x − 1
4x + 1
5
2
e − ctg 5x
−
.
(x − 1)5 (3x 2 − 4x )2
3) y = arcsin 3 2x ⋅ ctg 7x 4 −
4
5.1) lim
(
x →0
8. Визначити порядок і головну частину
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3 ;
2
б) тригонометричну форму z 3 ;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
1
4) lim(ctg x )ln x .
2)y =
4x + 7 (n )
,y = ?
2x + 3
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
.
1) y =
x + 4, x 0 = −3.
2) x = 2t − t 2, y = 3t − t 3, t0 = 1.
10

14.

dx
.
5 + 3 cos x − 5 sin x
x +3
2x + 1
dx . 5)∫
dx .
21.1)∫
2
x +4
1 + x − 3x 2
dx
dx
2)∫
.
6)
.
∫
x 2 + 6x + 8
x 1 − x2
3) x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = 3 ,
2π
M0 1 ; 1 ; 3 .
2 2 8
(
3)∫ cos 5x sin xdx . 6)∫
)
15. Знайти проміжки монотонності функції y = 1 (x 3 − 9x 2 ) + 6x − 9.
4
1) y = (x + 2)e1−x ,[−2;2].
16. max
min
[a ,b ]
f (x ) = ?
2) y =
3)∫
2(x + 3)
,[−3; 3].
x 2 − 2x + 5
2
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
12 3 6(x − 1)2
1) y = − 2
.
x + 2x + 9
2)∫ x cos 5xdx .
4x 2
.
x2 + 3
x
3) y = 3 (x + 1)3 − 3x − 3. 7) y =
.
9−x
1
4) y =
.
8) y = x ln2 x .
sin x + cos x
Знайти інтеграли (18—22):
dx
18.1)∫
.
7)∫ cos(2 + 3x )dx .
1+x
9dx
dx
2)∫
.
8)
.
∫
1 − 4x
9x 2 − 3
4xdx
dx
3)∫
.
9)∫ 2
.
2
5x + 2
3 − 4x
4)∫ e 2x +1dx .
6) y =
π
1)∫ x sin xdx .
0
3
4)∫
20.1)∫ tg2 7xdx .
2)∫ cos 5xdx .
2
5)∫ x 2 (sin 2x − 3)dx .
4)∫ sin2
0
1
x
x
cos6 dx .
4
4
5)∫
4 − x 2dx .
x
3)∫ sin5 dx .
2
6)∫
x +1 +1
dx .
x +1 −1
2
π
2
0
0
8
3
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
xdx
1)∫
.
4
16
x
+
1
0
3
2)∫
1
3
dx
.
(3 − x )5
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y = sin x cos2 x , y = 0 ( 0 ≤ x ≤ π ).
2
3
x = 16 cos t,
2)
x = 2 (x ≥ 2).
y = 2 sin 3 t,
3) ρ = 4 sin 3ϕ, ρ = 2 (ρ ≥ 2).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
x = 0, y = 5 cos x , y = cos x , x ≥ 0, навколо
осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
4)∫ cos4 x sin 3 xdx .
5)∫
dx .
x 9 x4
arcsin x
dx .
x +1
dx
.
x (x − 1)
2)∫
3
xdx
x 4 + 3x 2 + 1
.
8)
∫ x 4 + 3x 2 − 4 dx .
2x 2 + x + 5
1+ 3 x
2π
2
5
3)∫
3
23. Обчислити інтеграли:
10)∫ e cos x sin xdx .
8x 3 − 1
x +2
dx .
dx .
6)∫ 3
2x + 1
x − x2
dx
(2x 2 + 2x + 20)dx
. 7)∫
.
2x 2 + x − 6
(x − 1)(x 2 + 2x + 5)
2)∫
8)∫
x +1
dx .
1+ x
3
3)∫ (x + 1)e −4xdx . 6)∫ arccos 2xdx .
sin x
ctg 2x
dx .
11)∫
dx .
cos x
sin2 2x
arctg 3 2x
e xdx
6)∫
dx
.
12)
∫ 2ex + 3.
1 + 4x 2
( 7x 2 + 12x − 7 )dx
6x + 1
19.1)∫ 2
dx . 5)∫ 2
.
2x + 1
(x + x − 2)(x + 3)
5)∫
7)∫
22.1)∫ ln(x + 2)dx . 4)∫
4x 2 + 9
5) y =
.
4x + 8
2) y = (3 − x )e x −2 .
1 − x2
dx .
x4
xdx
.
2+ x +4
ної обертанням кривої y = 1 x 2 ( y ≤ 3 )
2 tg x + 3
dx .
2
sin x + 2 cos2 x
навколо осі Oy.
11
2
2

15.

Варіант 5
1. Побудувати графіки функцій:
e tg x − 1 − sin x
7.1) lim
.
x →0
tg x − x
xa − ax
3) lim x
.
x →0 a − aa
1) y = −2 sin ( 3x − π ). 4) y = tg ( 1 x − π ).
4
2
8
x −2
2) y = 3 arcsin(x + 2). 5) y = e .
2) lim
(π − 2x )cos x .
π
4) lim (ln 2x )ln x .
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) = cos 3x − cos x , β(x ) = 7x 2 , x → 0.
2) α(x ) = x 3 + x − 2, β(x ) = x − 1, x → 1.
2
3) α(x ) = arcsin 3 ( x − 2), β(x ) = x − 4,
б) тригонометричну форму z 3;
z
( )
10
3
x → 4.
;
z1 та
4
x →∞
x → −0
2
3) y = 1 arcctg(x − 3). 6) y = ln(2x + 3).
2
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
1
9. Дослідити функцію на неперервність:
z 2 , якщо:
3) z 3 + 3z 2 + 12z − 16 = 0.
2
1) f (x ) = 6x − x − 1 .
2x − 1
−2(x + 1), x ≤ −1,
2) f (x ) = (x + 1)3,
−1 < x < 0,
x ,
x ≥ 0.
1
3) f (x ) = 4 3 −x + 2 у точках x1 = 2, x 2 = 3.
Знайти границі (4—7):
Знайти похідні функцій (10—13):
1 + 3 + ... + (2n − 1)
4.1) lim
.
n →∞
4n 4 + 3
10.1) y =
z1 = −6 + 6i, z 2 = 2 − 2 3i, z 3 = −1 − 2i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z − 2 ≤ 3, 0 < arg z ≤ π .
2
2) z − 2i > z + 2 , Re z > 2.
2) lim
n →∞
3n − 1 − 3 125n 3 + n
.
5 n −n
2) y =
n 5 − 8 − n n(n 2 + 5)
.
n →∞
n
2x 2 − 7x + 6
tg x − sin x
5.1) lim 2
. 6.1) lim
.
x → 2 x − 5x + 6
x →0
3x 2
x4 − x2 + x + 1
arctg 6x
2) lim
. 2) lim 2
.
4
x →−1
x → 0 2x − 3x
x −1
x 3 − 4x 2 + 28x
4x
. 3) lim
.
3) lim
x → 0 tg(2π + πx )
x →∞ 5x 3 + 3x 2 + 1
3) lim
2x 3 + 7x − 1
.
x →∞ 3x 4 + 2x + 5
4) lim
x →1
3 + 2x − 5
.
3x 2 − 4x + 1
4) y = 3cos x
5) y = cth 3 5x ⋅ arcsin x 2 + (ctg 3x )arcsin 3x .
1 + cos πx
.
x →1 tg2 πx
4) lim
6) lim
x →0
5x − 3
2x − 7
7) lim
x →8 x + 1
1
x −2
x →0
(x + 2)7 (x − 3)3
.
(x − 1)2 (x + 1)5
11.1) y 2 + sin y = 25x .
2)x sin y = ye x .
x = e−2t , x = t + sin t,
12.
: 1)
2)
4
t
y = e . y = 2 − cos t.
′′ = ?
yxx
2
(6)
13.1) y = x cos(2x − 1), y = ?
2) y = lg(5x + 2), y (n ) = ?
.
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
3
ctg x
x
x →∞
3
6) y = (sh 3x )arcsin 2x −
yx′ = ?
1 + tg x − 1
.
x
( ) .
( )
5x + 8
1 + sin x cos αx
8) lim (
. 8) lim
)
1 + sin x cos βx
x −2
2x + 5
7) lim
x →∞ 2x + 1
cth 3 (x + 1)
.
arccos 2x
3 arcctg(2x − 5)
ln(x 2 − 3x ) −
.
(x + 1)4
3) y = ctg 3x ⋅ arccos 3x 2 +
4x 3 − 2x 2 + x
32x − 53x
5) lim
.
5)
lim
.
x →−∞ 3x 2 − x + 2
x → 0 arctg x + x 3
6) lim
4
7x 3 − 5x + 1
.
e cos x
cos2 3x
2
3x − cos sin 5 −
.
lg(3x − 4)
5
7 4
2 − x +
x
до кривої в заданій точці:
.
1) y = x 3 − 2x 2 + 4x − 7, x 0 = 2.
12

16.

2
2
2) x = 2t + t3 , y = 2t − t3 , t0 = 1.
1+t
1+t
3) x = cos t, y = sin t, z = et , M 0
21.1)∫
( 23 ; 21 ;e ).
π
6
2)∫
3)∫ x 2 4 − x 2dx .
кції y = 2 − 3x 2 − x 3 .
[a ,b ]
1) y = ln(x 2 − 2x + 4), −1; 3 .
2
2) y = 2 x − x ,[0; 4].
графік:
5) y =
. 6)∫
2x + 5
4x 2 + 8x + 9
dx
.
x 1 + x2
6
7)∫
x5 + x + 1
6
x5 + 6 x7
4x − x 2 − 4
.
x
2
4x 3 + 3x 2 − 8x − 2
.6) y = 4 − e −x .
2
2 − 3x
e 2−x
3) y = 3 (x − 1)3 − 3x + 3. 7) y =
.
2−x
x3 + 4
4) y = e 2 sin x .
8) y = 2
.
x +1
Знайти інтеграли (18—22):
dx
18.1)∫
. 7)∫ cos(3 + 2x )dx .
(1 − x )3
dx
dx
2)∫
.
8)∫
.
2 + 3x
3 − 9x 2
2xdx
dx
3)∫
.
9)∫ 2
.
2
2x + 3
8x − 9
3)∫ x 2e −2xdx .
6)∫ arctg 8xdx .
23. Обчислити інтеграли:
1
2
π
x
4)∫ 24 cos8 dx .
2
1)∫ arccos xdx .
−1
2
3
2)∫
1
x3 + 1
x2 4 − x
8
3)∫
3
0
1
5)∫
dx .
2
xdx
.
x +1
−1
π
3
x 5dx
.
x +2
6)∫ cos3 x sin 2xdx .
0
24. Обчислити інтеграли або довести їх
ln (1 − x )
dx .
x −1
sin x
tg 3 4x
5)∫
11)∫
dx .
5 dx .
cos x
cos2 4x
3
sin 2x
6)∫ e 2x −1x 2dx . 12)∫
dx .
cos2 x − 4
3x − 2
8xdx
.
19.1)∫ 2
dx . 5)∫ 2
2x + 7
(x + 6x + 5)(x + 3)
розбіжність:
x5 − 2
dx .
6)∫
x2 − 4
dx
3)∫ 2
. 7)
5x + 2x + 7 ∫
x = 2 cos t,
2)
y = 3 (y ≥ 3).
y = 6 sin t,
3) ρ = 2 cos ϕ, ρ = 2 3 sin ϕ.
10)∫
2)∫
(x + 5)dx
.
x2 + x − 2
3
0
1) ∫
−∞
xdx
.
(x 2 + 4)3
1
2)∫
1
3
ln(3x − 1)
dx .
3x − 1
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y =
4x 2 + 3x + 3
dx .
x 3 + 2x 2 + x
(x 3 + 8x 2 + 22x + 7)dx
.
(x + 1)(x 2 + 6x + 13)
4 − x 2 , y = 0, x = 0, x = 1.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
x 3 + 8x − 2
dx .
x 4 + 4x 2
cos3 x
20.1)∫ tg5 2xdx . 4)∫ 3
dx .
sin4 x
dx
2)∫ cos3 (1 − x )dx . 5)∫
.
3 cos2 x + 4 sin2 x
x
x
dx
.
3)∫ sin cos dx . 6)∫
2
4
5 cos x + 10 sin x
4)∫
dx .
2)∫ x 2 (sin x + 1)dx . 5)∫ (x + 2)cos 3xdx .
2) y =
4)∫ e 7x −2dx .
dx .
3
x 3dx
1 + 3 x2
4)∫
.
8)∫
dx .
x +1
x 9 x8
ln(cos x )
arcsin x
22.1)∫
dx . 4)∫
dx .
2
1−x
sin x
17. Дослідити функцію і побудувати її
1) y = 1 − 3 x 2 + 2x .
2−x
dx
dx . 5)∫
2
2 + 8x − 2x 2
15. Знайти проміжки монотонності фун-
16. max
min f (x ) = ?
x −2
8)∫
обертанням фігури, обмеженої кривими
π
y = 0, y = sin2 x , x = , навколо осі Ox .
2
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої
навколо осі Ox .
13
3y = x 2 (0 ≤ x ≤ 2)

17.

ax
bx
ln(1 − x ) + tg πx
2 . 3) lim e − e .
7.1)lim
x →1
x → 0 sin x − x
ctg πx
2) lim (π − 2 arctg x )ln x . 4) lim (sin x )x .
Варіант 6
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 3 cos ( 2x + π ). 4) y = ctg ( 1 x − π ).
3
3
6
2−x
2) y = 3 arccos(x − 2). 5) y = e .
x →∞
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
3) y = 2 arctg(x + 3). 6) y = − ln(x − 2).
1) α(x ) = x 2 + 1 − cos 2x , β(x ) = 6x 2, x → 0.
2. Знайти границі (4—7):
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3;
2
2) α(x ) = sin( x − 2), β(x ) = x − 4, x → 4.
3) α(x ) = x + x 2 − x , β(x ) = x , x → 0.
б) тригонометричну форму z 3;
z
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
10
д), е) всі значення
3
( )
x →+0
9. Дослідити функцію на неперервність:
1 − e 3x
.
x
x ≤ 0,
−x ,
2) f (x ) = x 2 ,
0 < x ≤ 2,
x + 1, x > 2.
;
1) f (x ) =
z1 та 4 z 2 , якщо:
z1 = 2 + 2i, z 2 = −2 3 − 2i, z 3 = −2 + 3i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z + 2 ≤ 3, π < arg z ≤ π.
2
2) z − 2 > z − 2i , Im z > 3.
1
3) f (x ) = 9 2−x у точках x1 = 0, x 2 = 2.
3) z 3 − 3z 2 + 4z + 8 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
Знайти границі:
10.1) y =
1 + 3 + ... + (2n − 1)
4.1) lim
.
n →∞
1 + 2 + ... + n
2) lim
n 5 n − 3 27n 6 + n 2
n →∞
(n + 4 n ) 9 + n 2
2) y =
.
3
x4 −
4
+
(x + 2)3
e tg 3x
3x 2 − x + 4
tg3 (2x − 1)
3x 4 + sin cos 3 −
.
lg(5x + 1)
th 3x 5
.
arctg2 3x
2
arctg(3x + 2)
4) y = 5−x arcsin 3x 3 −
.
2(x − 3)2
3) y = ln(x − 1)arccos2 4x +
3) lim ( n 2 − 3n + 2 − n ).
n →∞
12 − x − x 2
arcsin 5x
; 6.1) lim
.
3
x → 3 x − 27
x → 0 sin 3x
2x 2 − 3x − 1
arctg 3x
2)lim
. 2) lim
.
4
x →1
x →0
2x
x −1
2x
3x 2 + 10x + 3
3) lim
.3) lim
.
2
x →∞ 2x + 5x − 3
x → 0 tg ( 2πx + π )
2x 3 + 7x 2
tg 3x
4) lim 4
. 4) limπ
.
x →−∞ x + 5x − 1
x → tg x
2
5.1) lim
5) y = log2 x arctg x + y = (ch 5x )arctg
6) y = (tg 4x )arccos 2x −
yx′ = ?
x =
12.
: 1)
y =
′′ = ?
yxx
x = arcctg t,
2)
5
t . y = et .
t,
13.1) y = (4x 2 + 5)e 2x +1, y (5) = ?
x 2 − 3x + 2
e αx − e βx
6) lim
. 6) lim
.
x →2 5 − x − 3
x → 0 sin αx − sin βx
2) y = a 3x , y (n ) = ?
( x +x 3 )
8) lim
(
x →−∞
x →−∞
x +1
3x − 1
.
)
2x +1
( ( π4 − x ))
7) lim tg
x →0
(
4
. 8) lim 5 −
x →0
cos x
до кривої у заданій точці:
.
1
sin2 3x
)
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
1
x
.
.
(x + 1)2 3 (x − 4)2
11.1) arctg y = x + 5y.2) 2x + 2y sin x = 2x +y.
3x 4 − 2x + 1
e 2x − e 3x
.
5)
lim
.
x →∞ 3x 2 + 2x − 5
x → 0 arctg x − x 2
5x
x
(x − 1)4 5 (x − 2)2
5) lim
7) lim
.
1) y = x 3 − 5x 2 + 7x − 2, x 0 = 1.
2) x = arcsin
.
t0 = −1.
14
t
1
, y = arccos
,
1 + t2
1 + t2

18.

3) x = sin t, y = cos t, z = tg t, M 0
( 12 ; 12 ;1).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = (x + 1)2 (x − 1)2 .
16. max
min
[a ,b ]
f (x ) = ?
1) y =
x3
,[−1;1].
x2 − x + 1
2) y =
3
(x − 1)2 (x − 7),[−1; 5].
x2 − 3
.
3x 2 − 2
x − 3x + 3
x2
2) y =
.
6) y = 2
.
x −1
4x − 1
2
3) y = 3 (x − 3)3 − 3x + 9.7) y = x 2 exp − x .
2
x
4) y = arctg sin x .
8) y = ln
+ 1.
x +2
)
2
1
3
2)∫
2
π
3
4)∫
4) ∫ 28 sin 8 xdx .
−π
2
3
3)∫ tg xdx .
0
3 − x 2dx .
ln 5 x
6) ∫
e
0
ex − 1
dx .
ex + 3
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
1)∫
0
x 2dx
.
3 (x 3 + 8)4
1
2)∫
1
4
dx
.
20x − 9x + 1
2
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y = x 2 4 − x 2 , y = 0 (0 ≤ x ≤ 2).
x = 2(t − sin t ),
2)
y ≥ 3 (0 < x < 4π).
y = 2(1 − cos t ),
3) ρ = sin 3ϕ.
2x 4 − 3
x +2
dx .
6)∫ 3
dx .
2
x +1
x + x2
dx
x 2 + 3x + 2
3)∫ 2
. 7)∫
dx .
2x − 2x + 1
x3 −1
( 3x − 2 )dx
2x 3 − 2x 2 + 5
4)∫ 2
. 8)∫
dx .
5x − 3x + 2
(x − 1)2 (x 2 + 4)
2)∫
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
x = 1, y = 1, x = 3 y − 2, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої y = x , y = x навколо осі Ox .
sin2 2x cos3 2xdx .
tg x
dx .
1 − ctg2 x
dx
.
3)∫ cos x sin 9xdx . 6)∫
3 + 2 cos x − sin x
2)∫ sin 3 3xdx .
(1 + 3 x )2
dx .
x 9 x5
arcsin x
dx .
1−x
3
8)∫
3x 2 + 2x − 3
dx . 5)∫
x3 − x
0
2
( x 3 + 5x 2 − 20x )dx
5−x
dx . 5)∫ 2
.
3x 2 − 1
(x − 5x + 6)(x + 1)
5
dx
.
2x − 1 − 3 2x − 1
7)∫
0
1)∫ (x − 1) ln xdx .
3
20.1)∫ x tg2 x 2dx . 4)∫
x2 + 9
dx .
x
23. Обчислити інтеграли:
dx
. 7)∫ sin(4 − 2x )dx .
2+x
dx
dx
2)∫ 2
.
8)∫
.
2 − 5x
7x − 4
4xdx
dx
3)∫
.
9)∫
.
2
4x + 3
5x 2 + 1
ln(2x − 1)
4)∫ e 5x −7dx .
10)∫
dx .
2x − 1
3 tg 5x
5)∫
dx . 11)∫ cos7 2x sin 2xdx .
2
cos 5x
e xdx
dx
6)∫
12)∫
.
x.
2
4 − 3e
(1 + x )arctg3 x
19.1)∫
3)∫
. 6)∫
dx .
3)∫ (x − 2)cos 4xdx . 6)∫ x sin(x − 2)dx .
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫
3 + 2x − 2x 2
1 + x − x2
dx
.
x x2 − 1
2)∫ (x 2 + x )e −xdx . 5)∫ arctg 3xdx .
2
(
2)∫
x +1
dx .
x x +2
ln(ln x )
22.1)∫
dx .
x
графік:
5) y =
1 − 4x
dx
2x − 10
dx . 5)∫
2
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
1) y = 2x − 3 3 (x + 3)2 .
3 − 7x
21.1)∫
5)∫
15

19.

Варіант 7
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
x →0
cos x ln(x − a )
. 4)lim(1 − x )ln x .
x →a ln(e x − ea )
x →1
1) y = − 1 sin ( 3x − π ). 4) y = tg ( 2x + π ).
2
2
4
2) y = 1 arcsin ( x + 1 ). 5) y = 5x +1.
2
2
3) y = 3 arcctg(x − 1). 6)y = lg(2x − 5).
2. Знайти:
2) lim
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) =
(z )
10
3
1 + x − 1, β(x ) = 2x , x → 0.
2) α(x ) = tg(x 2 − x 3 ), β(x ) = x , x → 0.
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3;
2
б) тригонометричну форму z 3;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
ln(1 + x ) − x
π
x
. 3) limπ
−
.
2
x
→
ctg
x
2
cos
x
tg x
2
2
3) α(x ) = e x − e x , β(x ) = x , x → 0.
10. Дослідити функцію на неперервність:
;
1) f (x ) = xe
z1 та 4 z 2 , якщо:
−x1
.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z − 2i ≤ 2, π < arg z ≤ 3π .
4
4
2) z + 2i > z + 2 , Re z < 1.
x − 3,
x < 0,
2) f (x ) = x + 1,
0 ≤ x ≤ 4,
3 + x , x > 4.
1
3) f (x ) = 2 x −5 + 1 у точках x1 = 4, x 2 = 5.
3) z 3 − z 2 + 2z + 4 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
z1 = −3 + 3i, z 2 = − 3 − i, z 3 = 3 − 4i.
10
e sin x
10.1) y = x + 5 +
.
x
(x − 5)7
log3 (4x + 5)
2) y = 3 5x 5 + cos ln 7 −
.
2 ctg x
Знайти границі (4—7):
3
1 + 3 + ... + (2n − 1)
4.1) lim
− n .
n →∞
n +3
n + 2 − n2 + 2
2) lim
n →∞ 4
4n 4 + 1 − 3 n 4 − 1
3) lim (n +
n →∞
3
.
arccos7 (2x − 5)
.
th x 5
4 sh 3x
4) y = log2 x arctg5 x −
.
(x + 2)5
3) y = ln5 x arctg 7x 4 +
4 − n 3 ).
3x 2 + 2x − 1
5.1) lim
. 6.3) lim(1 − x ) tg πx .
3
1
2
x →1
27x − 1
x→
3
5) y = ch 3 4x ⋅ arccos 4x 2 + (3x )arcctg 3x .
x2 − x − 2
sin 5x
.
2) lim
.
2
x →2 x + 3x − 10
x → 0 arctg 2x
1 − cos3 x
x 2 + x − 3x 4
3) lim 4
. 3) lim
.
x →∞ x + 3x − 2
x →0
4x 2
3x 6 − 5x 2
sin2 x − tg2 x
4) lim
. 4) lim
.
x →−∞ 2x 3 + 4x − 5
x →π
(x − π)4
6) y = (cos 2x )arctg 5x −
2) lim
11.1) y 2 − x = cos y.
x = 2t , x = t − 1,
1 + t 2
12.
: 1)
2)
1 .
y = t 2 . y =
′′ = ?
yxx
2
1
−t
1+t
13.1) y = x 2 sin(5x − 3), y (6) = ?
x
2) y =
, y (n ) = ?
6x + 4
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
yx′ = ?
2x 2 − 5x + 2
35x − 2x
.
5)
lim
.
x →∞ x 4 + 3x 2 − 9
x → 0 x − sin 9x
5) lim
3x 2 + 4x + 1
1 + x2 − 1
. 6) lim
.
2
x →−1 x + 3 − 2
x → 0 e sin x − 1
x + 2 2x −1
x sin πx
7) lim
.
7) lim 2 −
.
x →∞ x + 1
x →3
3
6) lim
(
)
(
( 2xx −+11 )
4x
8) lim
x →−∞
.
8) lim
x →1
)
( 2x x− 1 )
1
5 x −1
(x − 3)2 x + 4
.
(x + 1)3 (x + 2)7
2) ey + xy = ln y.
до кривої у заданій точці:
1+ x
, x = 4.
1− x 0
2) x = et cos t, y = et sin t, z = et , M 0 (1; 0;1).
1) y =
.
16

20.

3) x = t cos t − 2 sin t, y = t sin t + 2 cos t,
21.1)∫
t0 = π .
4
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 2x 3 − 3x 2 − 4.
(
)
x +1
1) y =
,[1;2].
max
x
16. min f (x ) = ?
[a ,b ]
2) y = x − 4 x + 5,[1; 9].
3
графік:
1) y =
6 3 6(x − 3)2
.
x 2 − 2x + 9
2x 2 − 6
.
x −2
ln x
6) y =
.
x
5) y =
2) y = (x − 2)e 3−x .
3) y =
3
(x 2 − 4x + 3)2 .
4) y = ln ( 2 sin x ) .
2)∫
3)∫
9 − 8x 2
8)∫
.
4)∫ e 5x +7dx .
9)∫
10)∫
7x 2 − 4
dx
.
2
2x + 9
3
x − 1dx
.
x −1 +1
3
6
2
(1 + 3 x 2 )
dx .
x2 9 x
x arctg x
dx .
1 + x2
3
22.1)∫ ln2 xdx .
4)∫
2)∫ (x 2 + x )e x dx .
5)∫ x cos 8xdx .
π
−2 x
4)∫ sin6 x cos2 xdx .
dx .
π
2
1
2
3
2)∫ x 2 9 − x 2dx .
5)∫
−3
.
1
dx
3)∫
8 + 2x − x
−1
2
2
xdx
.
(x − 1)3
1
3
2 ln 2
.
6) ∫
dx
.
e −1
x
ln 2
24. Обчислити інтеграли або довести їх
ln(3x + 1)
dx .
3x + 1
розбіжність:
∞
3
1)∫
0
1
xdx
4
(16 + x )
2 5
.
2)∫
1
2
dx
.
(1 − x )ln2 (1 − x )
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y = cos x sin2 x , y = 0 ( 0 ≤ x ≤ π ).
2
3
x = 16 cos t,
2)
x = 6 3 ( x ≥ 6 3 ).
y = sin 3 t,
3) ρ = 6 sin 3ϕ, ρ = 3 (ρ ≥ 3).
x3 − 1
4x 2dx
dx .
6)∫ 2
.
2x + 1
(x − 2x + 1)(x + 1)
dx
36dx
3)∫ 2
.7)∫
.
2x − 11x + 20
(x + 2)(x 2 − 2x + 10)
( x + 4 )dx
8)∫
− 12
2)∫
x4 + x3 − x − 3
dx .
2x 2 − 6x − 8
x 4 − x2
cos3 x
20.1)∫ ctg 3 2xdx .
4)∫ 3
dx .
sin2 x
3x
dx
2)∫ sin2 dx .
5)∫
.
2
2
4 sin x − 5 cos2 x
dx
.
3)∫ sin 5x cos 2xdx . 6)∫
5 − 3 cos x
4)∫
7)∫
dx
.
x x +3
1)∫ xe
4x
.
2
x +1
ctg2 x
5)∫
11)∫
dx .
sin2 x
2
x 2dx
6)∫ e 7x +2xdx .
12)∫
.
7 − 5x 3
( 2x 2 + 33x + 61 )dx
5+x
19.1)∫ 2
dx . 5)∫
.
3x + 1
(x − 1)(x 2 + 5x + 6)
cos xdx
.
sin x + 2
x2 + 4
dx .
x2
0
18.1)∫ (1 − 4x )7 dx . 7)∫ cos(5 − 2x )dx .
3dx
3)∫
. 6)∫
dx .
1 − x + x2
dx
.
x x2 + 1
23. Обчислити інтеграли:
1
Знайти інтеграли (18—22):
dx
.
3x − 2
xdx
2 − 2x − 3x 2
2x − 8
3)∫ (x − 4) sin 2xdx . 6)∫ arcsin 8xdx .
7) y = xe x .
8)y =
2x 2 + 1
dx
dx . 5)∫
2)∫
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
5 − 3x
. 8)∫
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
x = 1, y = xe x , y = 0, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої x = 2(t − sin t ), y =
= 2(1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π) навколо осі Ox .
17

21.

Варіант 8
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 2 cos ( 2x + π ). 4) y = ctg ( 3x − 4π ).
3
3
1
2) y = 1 arccos(x + 2).5) y = 2x − 2.
2
3) y = 1 arctg(x + 2). 6) y = − ln(2x − 3).
3
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3 ;
2
z
в), г) (z1z 2 ) та z1
2
10
д), е) всі значення
3
( )
xx − 1
.
x →1 ln x
3) lim(π − x ) tg x .
2
x →π
2) lim (arctg x )tg x .
4) lim (ctg x )ln x .
x →+0
2) α(x ) =
1 , β(x ) =
x3 + 2
z1 та
tg 2x − sin 2x
.
x3
1 − x , x < 0,
2) f (x ) = x + 1, 0 ≤ x ≤ 4,
x + 3, x > 4.
1
3) f (x ) = 5 x −4 − 2 у точках x1 = 3, x 2 = 4.
z 2 , якщо:
4
1) f (x ) =
Знайти похідні функцій (10—13):
1 + 4 + ... + (3n − 2)
5n 4 + n + 1
n4 + 2 + n − 2
n4 + 2 + n − 2
10.1) y =
.
2) y =
.
5
3
x7 +
4
ln(7x − 3)
.
5 +
x
3 tg2 4x
x 6 + ctg 3 5 −
3) y = 3sin x arctg3 4x +
3) lim ( n(n + 2) − n 2 − 2n + 3).
n →∞
x 2 − 4x − 5
1 − sin x
. 6.1) limπ
.
x →−1 x 2 − 2x − 3
x→
π − 2x
2
x 2 + 2x
ln(1 + 3x )
. 2) lim
.
2
x →−2 x + 4x + 4
x →0
sin 2x
2x 2 + 7x + 3
arcsin 3x
3) lim 2
. 3) lim
.
x →∞ 5x − 3x + 4
x →0 2 + x − 2
x 7 + 5x 2
x2 − x + 1 − 1
.4)
lim
.
x →∞ 3x 2 + 11x − 7
x →1
tg πx
5x 2 − 4x + 2
e 4 x − e − 2x
5) lim
.
5)
lim
.
x →−∞ 4x 3 + 2x − 5
x → 0 2 arctg x − sin x
2x 2 − 9x + 4
x 2 (e x − e −x )
6) lim
. 6) lim
.
3
x →4
x → 0 e x +1 − e
5 −x −1
)
)
2
7) lim(2 − e arcsin
x →0
(
x
8) lim 2 −
x →a
a
tg πx
2a
)
e 2x
3
(x − 7)10 3x − 1
6) y = (sin 7x )arcctg(x +1) −
.
(x + 1)2 (x + 3)5
y
11.1) ln ( x 2 + y ) = arctg x ; 2) 3x + sin y = 5y.
1 ,
x =
yx′ = ?
2
t − 1 x = sin t,
12.
: 1)
2)
y = t + 1 . y = sec t .
′′ = ?
yxx
t2 − 1
2
13.1)y = (x − 1) ln(x − 2), y (5) = ?
4) lim
(
(
arcsin(3x + 8)
.
(x − 7)3
.
2x 2 − 3x
5) y = sh3 x ⋅ arcctg 5x 2 + (ln x )sin x .
2) lim
x + 3 x −4
.
x →∞ x − 1
x + 1 5x
8) lim
.
x →∞ 2x − 1
arcsin3 4x
.
sh(3x + 1)
4) y = log 3 x arccos 3x −
5.1) lim
7) lim
10
9. Дослідити функцію на неперервність:
;
Знайти границі:
n →∞ 4
3
x → −1.
3) z 3 − 3z 2 + 3z − 2 = 0.
2) lim
1
, x → ∞.
x +x
3) α(x ) = ln(1 + x + 1), β(x ) = x + 1,
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z + 2i ≤ 3, π < arg z ≤ 4π .
3
3
2) z + 2 < z − i , Re z < 2
n →∞
x →+0
1) α(x ) = sin x + sin 5x , β(x ) = 2x , x → 0.
z1 = −4 − 4i, z 2 = 1 − 3i, z 3 = 4 + 5i.
4.1) lim
2
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
б) тригонометричну форму z 3 ;
8
7.1) lim
2)y =
x x3
) .
4x + 7 (n )
,y = ?
2x + 3
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
1) y =
.
x + 4, x 0 = −3.
2) x = 2t − t 2 , y = 3t − t 3 , t0 = 1.
18

22.

3) x = t 3 − t 2 − 5, y = 3t 2 + 1, z = 2t 3 − 16,
M 0 (−1;13; 0).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 3x 2 − x 3 − 2.
1) y =
16. max
min
[a ,b ]
f (x ) = ?
2) y =
4x − x ,[−2;2].
3
10x
,[0; 3].
x2 + 1
графік:
x +2
1) y = 1 − 3 x 2 + 4x + 3. 5) y =
.
(x + 1)2
2x 3 + 2x 2 − 3x − 1
ln x
.6) y = x +
.
x
2 − 4x 2
x 2 − 4x + 1
e 2x −2
3) y =
.
7) y =
.
x −4
2x − 2
1
4) y =
.
8) y = 3 x 2 (x + 2)2 .
sin x − cos x
Знайти інтеграли (18—22):
dx
18.1)∫
.
7)∫ cos(7x + 3)dx .
2x + 3
dx
2)∫ (1 + 4x )5dx .
8)∫ 2
.
5x + 3
3xdx
dx
3)∫
.
9)∫
.
2
3x − 2
9 − 2x 2
x5
dx .
1 − x3
dx
3)∫ 2
.
2x + x + 2
2)∫
3)∫
4 − x2
dx .
x4
.
6)∫
( 3x + 4 )dx
7)∫
x 2 + 6x + 13
.
x +2
dx .
x −3
ln x
dx .
22.1)∫
x
8)∫
2)∫ arctg 4xdx .
5)∫ (x 2 − x + 1)e −x dx .
π
(1 + x )2
dx .
x 6 x5
x arcsin x
dx .
1 − x2
3
4)∫
π
1)∫ x sin x cos xdx .
−π
5
2)∫
4
2
3)∫
1
4)∫ 24 sin4 x cos4 xdx .
0
1
dx
.
(x − 1)(x + 2)
5)∫
1 − x2
dx .
x6
dx
.
x + 5x + 4
6) ∫
e x − 1 dx .
2
1
2
ln 2
0
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
2
∞
1)∫
4
xdx
.
x − 4x + 1
2
1
2)∫
0
2xdx
1 − x4
.
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y =
e x − 1, y = 0, x = ln 2.
x = 6 cos t,
y =
2)
y = 2 sin t,
3) ρ = cos 3ϕ.
x 3 + x 2 − 2x − 1
dx .
x2 − x3
( 9x − 9 )dx
7)∫
.
(x + 1)(x 2 − 4x + 13)
6)∫
3(y ≥
3).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
x = 2, y 2 = (x − 1)3, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утворену
обертанням кривої x = cos t, y = 3 + sin t
навколо осі Ox .
(x + 4)dx
x3 − x − 5
.
8)
∫ x 4 + 3x 2 − 4 dx .
2x 2 − 7x + 3
sin 3 x
20.1)∫ tg2 x dx .
4)∫ 3
dx .
2
cos4 x
4)∫
dx
.
7 cos x + 2 sin2 x
dx
.
3)∫ sin x cos 3x dx . 6)∫
2
2
8 − 4 sin x + 7 cos x
2)∫ (cos x + 3)2dx . 5)∫
1 + x − x2
23. Обчислити інтеграли:
arctg x
dx .
1 + x2
dx
cos xdx
5)∫
2
3 . 11)∫ 3 − sin x .
sin x ctg x
2
sin 2x
6)∫ e 3−x xdx .
12)∫
dx .
3 sin2 x + 4
( x 2 + 22x + 45 )dx
2x − 5
19.1)∫ 2
dx . 5)∫ 2
.
7x + 3
(x + 4x + 3)(x + 5)
10)∫
2)∫
.
x x2 − x + 1
6
x −1 −2
dx .
6
x −1 + 2
3)∫ (x − 3)cos xdx . 6)∫ x sin(x + 3)dx .
2) y =
4)∫ e 7−2x dx .
2 − x2
dx
dx
dx . 5)∫
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
3
1+x
21.1)∫
2
19

23.

x − arctg x
2 arctg x .
. 3) lim x ln ( π
)
x →0
x →+∞
x3
1
tg x
x
2) lim x ln(e −1) .
4) lim ( x1 ) .
x →0
x →0
Варіант 9
1. Побудувати графіки функцій:
(
)
7.1) lim
(
)
1) y = −3 sin 2x − π . 4) y = tg 1 x + π .
4
2
8
x −3
2) y = 2 arcsin(x − 3). 5) y = 3 ;
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
3) y = 2 arcctg(x − 2). 6) y = ln(5 − x ).
2. Знайти:
1) α(x ) = 3x , β(x ) = x , x → 0.
1−x
4+x
2) α(x ) = sin(x − x ), β(x ) = 2 x , x → 0.
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3 ;
2
3) α(x ) = 3x −
б) тригонометричну форму z 3 ;
(z )
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
z1 = 5 − 5i, z 2 =
10
3
4
9. Дослідити функцію на неперервність:
z 2 , якщо:
tg x − sin x
.
x3
1 − x , x ≤ 0,
2) f (x ) = 0,
0 < x ≤ 2,
x − 2,
x > 2.
1) f (x ) =
3 + i, z 3 = −5 + 6i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z − 1 + i ≤ 2, 0 < arg z ≤ π .
2
2) z − 3i > z + 2 , Re z > 3.
3) z 3 + 4z 2 + 12z + 9 = 0.
1
3) f (x ) = 6 x −3 + 3 у точках x 1 = 3, x 2 = 4.
Знайти границі (4—7):
4.1) lim
(n + 4)! − (n + 2)!
(n + 3)!
n →∞
Знайти похідні функцій (10—13):
3
x 4 − 23 − x + x4x − 5 .
e
x
tg(11x + 3)
2) y = 5x 2 + ctg cos 2 +
.
cos2 5x
th 4 (2x + 5)
3) y = 2cos x arcctg 5x 3 −
.
arccos 3x
arctg(4x + 1)
4) y = arccos x 2 ⋅ ctg2 7x 3 +
.
7(x − 4)2
.
10.1) y =
6n − n 5 + 1
3
2) lim
.
4n 6 + 3 − n
(n + 2)(n + 1) − (n − 1)(n + 3) ) .
n →∞
3) lim
n →∞
(
3x 2 + 2x − 1
tg 2x − sin 2x
.6.1) lim
.
2
x →−1 −x + x + 2
x →0
x2
x2 − 1
e 3x − 1
2) lim 2
. 2) lim
.
x →−1 x + 3x + 2
x → 0 tg 3x
−x 2 + 3x + 1
2x − 1
3) lim
.
3)
l
im
.
x →∞ 3x 2 + x − 5
x → 0 ln(1 + 2x )
5.1) lim
(
)
2x 3x +1
.
x →∞ 2x − 3
x +3 x
8) lim
.
x →−∞ 2x − 4
(
)
3
5) y = th5 3x ⋅ arcsin x − (log2 x )ctg 7x .
6) y = (arcsin 2x )ln(x + 3) +
11.1) tg y = 3x + 5y.
7x 2 + 5x + 9
cos 5x − cos 3x
4) lim
. 4) lim
.
x →−∞ 1 + 4x − x 3
x →π
sin2 x
2x 3 − 3x 2 + 2x
12x − 5−3x
5) lim
.5)
lim
.
x →∞ x 2 + 7x + 1
x → 0 2 arcsin x − x
2x + 1 − 11
1 − 2 cos x
6) lim
. 6) limπ
.
2
x → 5 2x − 7x − 15
x → sin(π − 3x )
3
7) lim
x,
x → 0.
;
z1 та
1 + cos x , β(x ) =
x +1
(x + 1)8 (x − 3)2
(x + 4)3 (x + 2)5
2) arctg y = xy.
.
x = t 3 − 3t, x = tg t,
12.
: 1)
2)
y = 5t 3 − 3t 2 . y = 12 .
′′ = ?
yxx
sin t
2
(5)
13.1) y = (2x + 3)ln x , y = ?
yx′ = ?
2) y = sin 2x + cos(x + 1), y (n ) = ?
1
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
7) lim(cos πx )x sin πx .
x →0
до кривої в заданій точці:
ctg 2x
8) lim (cos x )sin 3x .
x →2π
1) y = 2x 2 − 3x + 1, x 0 = 1.
2) x = 2 ln ctg t + 1, y = tg t + ctg t, t0 = π .
4
20

24.

3) x = t 2, y = 1 − t, z = t 3 , M 0 (1; 0;1).
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = (x − 1)2 (x − 3)2 .
16. max
min f (x ) = ?
[a ,b ]
1) y = 4 − e
2) y =
3
−x 2
3
5) y = x − 5x2 .
5 − 3x
(1 − x )3
2) y = x − ln(1 + x 2 ). 6) y =
.
(x − 2)2
1.
3) y = 3 − 3 ln x . 7) y = 2x +
2
x +4
x
8)y =
.
3
2)∫ sin(8x − 3)dx . 8)∫
3)∫
4)∫
5)∫
2xdx
2
.
9)∫
6)∫ e 4x
19.1)∫
2 +5
xdx .
3x + 2
dx .
2x 2 + 1
2)∫ (x 2 − x + 1)e xdx .
5)∫ arcsin 5xdx .
3)∫ (x + 4)sin 2xdx .
6)∫ x cos(x + 4)dx .
dx
.
3x − 4
dx
.
5x 2 − 3
dx
2
5x 2 − 10x + 4
dx
.
(1 + x 2 )3
−1
3
.
6)∫
4)∫ x arctg xdx .
2π
1)∫ xe
−2
3
2
2)∫
0
π
−3x
dx .
4)∫ sin2 x cos6 xdx .
0
xdx
.
2
x + 3x + 2
3)∫ cos x cos x dx .
2
3
.
3x − 2
9x + 2
sin xdx
.
10)∫ e 3−4x dx .
cos x + 3
dx
arcsin5 2x
.
11)
∫ 1 − 4x 2 dx .
cos2 3x tg 4 3x
2
1 + 3 x2
dx .
x2
dx
23. Обчислити інтеграли:
x (x − 2) .
2
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫ (1 − 3x )4 dx . 7)∫
8)∫
9−x
4)∫
1) y = 3 3 (x − 3)2 .
4) y = e
dx
.
x +3
1−x
22.1)∫ x ln
dx .
1+x
3)∫
графік:
sin x −cos x
7)∫
,[0;1].
17. Дослідити функцію і побудувати її
( 3x − 1 )dx
5)∫
dx .
2
.
2x 2 − 5x + 1
3 x +3
dx .
6 x + 3 +1
dx
.
2
x x + x −1
2)∫
(x + 1)2 (5 − x ),[−3; 3].
2x − 3
0
1
5)∫
(1 − x 2 )3dx .
6)∫
xdx
.
x +4
0
5
0
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
dx
1)∫
.
2
π
(
x
+
4
x
+
5)
−1
e 2x
dx .
5 + e 2x
( 6x 2 + 6x − 6 )dx
5)∫
.
(x + 1)(x 2 + x − 2)
12)∫
1
2)∫
0
xdx
.
1 − x4
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1
, y = 0 (1 ≤ x ≤ e 3 ).
x 1 + ln x
x = 3(t − sin t ),
2)
y = 3 (y ≥ 3, 0 < x < 6π).
y = 3(1 − cos t ),
3) ρ = cos ϕ, ρ = 2 cos ( ϕ − π ),
4
π
π
( − 4 ≤ ϕ ≤ 2 ).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе1) y =
x3
2x 2 − 5x + 1
dx
.
6)
∫ x 3 − 2x 2 + x dx .
x2 + 3
dx
7x − 10
3)∫ 2
.7)∫ 3
dx .
3x − 12x + 13
x +8
( 5x − 2 )dx
x3 − x − 1
4)∫ 2
. 8)∫
dx .
2x − 5x + 2
x4 + x2
3 sin 3 x
20.1)∫ tg3 x dx .
4)∫
dx .
2
cos4 x
sin 2x
2)∫ cos3 (x + 3)dx . 5)∫
dx .
4
sin x + cos4 x
dx
3)∫ cos 5x cos xdx . 6)∫
.
3 + 5 cos x
2)∫
ртанням
фігури,
обмеженої кривими
y = 0, x = 1 − y 2 , y = 3x, навколо осі Ox .
2
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 3x = y 3 (0 ≤ y ≤ 2)
навколо осі Oy.
21

25.

Варіант 10
1. Побудувати графіки функцій:
(
)
x2 − 1
2) lim sin x ⋅ ln ctg x .
(
)
3
2
1) α(x ) = 3x , β(x ) = 7x 2, x → 0.
2+x
2) α(x ) = arcsin(2 − x ), β(x ) = 4 − x , x → 4.
3) α(x ) =
1
, β(x ) = x1 , x → ∞.
x2 − x + 7
9. Дослідити функцію на неперервність:
1) f (x ) = x .
sin x
2x 2,
x ≤ 0,
2) f (x ) = x ,
0 < x ≤ 1,
2 + x , x > 1.
;
z1 та 4 z 2 , якщо:
z1 = 6 + 6i, z 2 = −1 +
x →∞
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
z
10
x →0 e x
x →0
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3 ;
2
б) тригонометричну форму z 3 ;
(z )
tg x − x
.
−x −1
4) lim x x .
; 3) lim
8. Визначити порядок і головну частину
3) y = 3 arctg(x + 2). 6) y = lg(x + 3).
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
5
x →1
1) y = 1 cos 3x + π . 4) y = ctg 1 x − π .
2
3
3
3
x +2
2) y = 3 arccos(x − 1). 5) y = 3 .
2. Знайти:
5x 3 − x − 2x
7.1) lim
3i, z 3 = −6 − 7i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z + 1 − i ≤ 3, π < arg z ≤ π.
2
2) z − 3 > z − i , Im z > 1.
1
3) f (x ) = 7 5−x + 1 у точках x1 = 4, x 2 = 5.
3) z 3 + 3z 2 + 4z + 2 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
Знайти границі (4—7):
10.1) y =
4.1) lim
(3n − 1)!+ (3n + 1)!
.
(3n )!(n − 1)
2) lim
5n + 2 − 3 8n 3 + 5
.
4 n + 7 −n
n →∞
n →∞
2) y =
3x 2 − 11x + 6
1 − cos2 x
.
6.1)
lim
.
x → 3 2x 2 − 5x − 3
x →0
x tg x
2x 2 + 7x − 4
sin 7x − sin 3x
2) lim
. 2) lim
.
2
2
x →−4
x → 2π
x 3 + 64
e x − e 4π
5.1) lim
6) y = (arccos 3x )tg 5x −
x 3 − 3x 2 + 10
arctg 2x
3) lim
. 3) lim
.
x →∞ 7x 3 + 2x + 1
x → 0 sin(2πx + 20π)
11.1) y = ey + 4x .
3x 4 + x 2 − 6
sin(x − 3)
. 4) lim 2
.
2
x →∞ 2x + 3x + 1
x → 3 x − 5x + 6
3x 2 − 7x + 5
e 7x − e −2x
5) lim
.
5)
lim
.
x →−∞ 4x 5 − 3x 3 + 2
x → 0 sin x − 2x
3x + 17 − 2
1 − x2
6) lim
.
6)lim
.
x →−5 x 2 + 8x + 15
x →1 sin πx
1
x − 7 2x
7) lim
.
7) lim (cos x )sin2 2x .
x → 2π
x →∞
x
8) lim
x →−∞
(
)
. 8) lim(1 + sin
x →0
(x + 2)3 (x − 7)4
.
(x + 1)2 3 (x − 1)4
2) cos xy = ln x .
x = et cos t, x = t − 1,
12.
: 1)
2)
t .
y = et sin t. y =
′′ = ?
yxx
t −1
2
(6)
13.1) y = (1 + x )sin(2x + 1), y = ?
2) y = 2x + 5 , y (n ) = ?
3x + 1
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
)
2
3
yx′ = ?
4) lim
x −1
ctg2 5x
.
ln(7x − 2)
4x 2 − 3 ctg 2 −
arctg 2x
.
sh2 x
2
arcsin(2x − 7)
4) y = 5−x arccos 5x 4 −
.
3(x + 2)4
5) y = cth2 x ⋅ arccos x1 + (sh 3x )arctg(2x +1).
n →∞
2x + 1
3x − 1
ctg 5x
x 7 − 74 + e
.
x
(x + 4)3
3) y = log4 x arcsin 4 x +
3) lim n 2 ( n(n 4 − 1) − n 5 − 8).
(
3
3
до кривої у заданій точці:
1
3x )ln cos x .
3
6
+ 2 , x 0 = 3.
x x
2) x = 1 t 2 − 1 t 4 , y = 1 t 2 + 1 t 3 , t0 = 0.
2
4
2
3
1) y = 1 −
22

26.

3) x = et , y = e −t , z = t 2, M 0 (e;e −1; 2).
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
2)∫
3
2
кції y = x + 3x − 5.
4
4
,[1;2].
x2
16. max
f
(
x
)
=
?
min
[a ,b ]
2) y = 2x 2 + 108
x ,[2; 4].
17. Дослідити функцію і побудувати її
1) y = x +
1) y = −
3
6 6x
.
x 2 + 4x + 12
x3
.
x −x +1
2) y = −(2x + 1)e 2(x +1).
6) y =
3) y =
7) y = xe x .
3
(x 2 − 2x − 3)2 .
2
2)∫
3)∫
dx
.
2
2x + 3x
4)∫
( 4x − 1 )dx
.
4x 2 − 4x + 5
20.1)∫ tg2 4xdx .
8)∫
(2x 2 − 7x + 10)dx
.
(x − 1)2 (x 2 + 4)
5)∫ ln(x + 1 + x 2 )dx .
3)∫ (x + 1)e −xdx .
6)∫ arccos 7xdx .
2) ∫
1
3
2
3)∫
1
2π
ln2 x
dx .
x2
x
4)∫ cos8 dx .
4
0
1
dx
x
2
(1 + x )
2 3
.
5)∫
0
2x + 3
dx .
(x − 2)3
4
x −5
dx
.
dx . 6)∫
2
1 + 2x + 1
x − 2x + 2
0
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
xdx
.
x
+
4
x
+
5
−1
1)∫
2
π
6
2)∫
0
cos 3xdx
6
(1 − sin 3x )5
dx .
25. Обчислити площу фігури, обмеженої
кривими:
1) y = arccos x , y = 0, x = 0.
x = 8 2 cos3 t,
2)
x = 4 (x ≥ 4).
y = 2 sin3 t,
3) ρ = sin ϕ, ρ = 2 cos ( ϕ − π ),
4
3
π
( 0 ≤ ϕ ≤ 4 ).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y = 0,
y = sin x , 0 ≤ x ≤ π, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої y = 1 x 3, x ∈ [−1;1]
3
навколо осі Ox .
4)∫ sin5 x cos4 xdx .
dx
.
cos x sin 3 x
dx
cos 2x cos 3xdx . 6)∫
.
2 sin x + 3 cos x + 3
2)∫ sin 3 4x dx .
5
3)∫
.
(x − 1)(x 2 + 2x + 5)
2)∫ x ctg2 xdx .
1
1
( 4x 2 + 3x + 17 )dx
7)∫
8)∫
4)∫ x arcctg xdx .
1)∫
5
4x 2 − 2x + 1
4x 4 + 8x 3 − x − 2
dx .6)∫
dx .
2x − 1
x (x + 1)2
6
22.1)∫ x sin 3xdx .
e
ln2 (x + 1)
dx .
x +1
sin xdx
ctg 7x
5)∫ 3
.
11)∫
dx .
cos x + 1
sin2 7x
4x 3
dx
6)∫
12)∫
.
4 dx .
7 + 2x
1 − x 2e arcsin x
( 37x − 85 )dx
1 − 5x
19.1)∫
.
2 dx . 5)∫
2
(x + 2x − 3)(x − 4)
1 − 25x
10)∫
dx
.
x −1 + 3 x −1
1+x
dx .
x2 x
7)∫
23. Обчислити інтеграли:
sin x − cos x
(x − 1)2
4) y = arctg
. 8) y =
.
2
x2
Знайти інтеграли (18—22):
dx
18.1)∫ 1 + 3xdx . 7)∫
.
4 − 3x
dx
2)∫ sin(3 + 4x )dx . 8)∫
.
3 − 5x 2
2xdx
dx
3)∫
.
9)∫ 2
.
2
5
x
−4
7 − 2x
4)∫ e10x +2dx .
dx .
x 2 + 3x − 4
dx
.
2
x x −x −1
. 6)∫
x2 + 4
dx .
x4
dx
.
x (x + 3)
4)∫
2
5) y = x − 6x + 4 .
3x − 2
2
3x 2 + 1
dx
5x + 2
dx . 5)∫
2x + 3 − x 2
3)∫
графік:
3x − 2
5)∫
23

27.

1
Варіант 11
1. Побудувати графіки функцій:
2
ex − 1
1 − 2 sin x
7.1) lim
. 3) limπ
.
2
x →∞ 2 arctg x − π
x→
cos 3x
6
1) y = −2 sin ( 3x − π ). 4) y = tg ( 1 x + π ).
4
4
16
2) y = 1 arcsin ( x + 1 ). 5) y = 4x −1.
2
3
3) y = 1 arcctg ( x − 1 ). 6) y = − lg(3 − x ).
2
2
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 6;
2
2) lim(sin x )2 sin x .
x →0
(z )
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
z1 = −9 − 9i, z 2 =
3
3
1) α(x ) = 2x 3, β(x ) = 5x , x → 0.
4−x
x
2) α(x ) = e − 1, β(x ) = x 2 , x → 0.
3) α(x ) = 10x 3 − 3x , β(x ) = x , x → 0.
;
9. Дослідити функцію на неперервність:
1) f (x ) = x .
x −2
sin x , x < 0,
2) f (x ) = x ,
0 ≤ x ≤ 2,
0,
x > 2.
3) f (x ) = x − 3 у точках x1 = −5, x 2 = −4.
x +4
Знайти похідні функцій (10—13):
z1 та 4 z 2 , якщо:
3 − i, z 3 = 2 + 3i.
3) z 3 + 5z 2 + 20z + 16 = 0.
Знайти границі (4—7):
(n + 1) ( + + ... +
n →∞
1 + 3 + ... + (2n − 1)
4.1) lim
2) lim
1
2
1
4
n 4 3n + 1 +
n →∞
1
2n
)
2
10.1) y = 2 x 3 − 25 − 2x x− x .
e
x
tg2 (x − 2)
2) y = 2x 2 + 1 cos tg 1 +
.
3
2
lg(x + 3)
.
81n 4 − n 2 + 1
(n + 3 n ) 5 − n + n 2
.
arcsin2 (4x − 1)
.
th(5x − 3)
2 lg(4x + 5)
4) y = arctg4 x ⋅ cos 7x 4 +
.
(x + 6)4
3) y = 3tg x arcsin 7x 4 −
3) lim n( 3 5 + 8n 3 − 2n ).
n →∞
x3 − 8
1
1
. 6.1) lim
−
.
2
x →2 x + x − 6
x → 0 tg x
sin x
4x 2 + 19x − 5
cos 3x − cos x
2) lim
. 2) lim
.
2
x →−5 2x + 11x + 5
x →0
tg 2x 2
5.1) lim
1
5) y = sh 4 2x ⋅ arccos x 2 − (ch 3x )ctg x .
(x + 1)2 5 (x + 4)3
.
(x − 1)2 (x + 3)5
a
x
11.1) xy = ctg y.
2) a y = xy .
yx′ = ?
x = ln t, x = t − 1,
12.
: 1)
2)
y = t ln t. y = 3 t − 1.
′′ = ?
yxx
6) y = (arctg 5x )log2 x +
4x 2 + 5x − 7
ln(1 − 7x )
. 3) lim
.
x →∞ 2x 2 − x + 10
x → 0 sin(π(x + 7))
3) lim
( )
2x + 5x + 7
sin 7πx
. 4) lim
.
4
2
x →∞ 3x − 2x + x
x →2 sin 8πx
7x 5 + 6x 4 − x 3
sin x − cos x
5) lim
.5) limπ
.
2
x →∞ 2x + 6x + 1
x→
ln tg x
4
2
4) lim
6) lim
x →0
x2 + 2 − 2
x +1 −1
2
( )
5x − 3
8) lim (
x +4 )
x −1
7) lim
x →∞ x + 4
3x +2
x →∞
35x − 27x
.
x → 0 arcsin 2x − x
tg πx
6
)
.
6−x
7) lim
x →3
3
.
π
8) lim tg − x
x →0
4
x +3
13.1) y = x 3 ln x , y (5) = ?
2) y = 23x +5 , y (n ) = ?
. 6) lim
(
( (
1
x
+ 2x ) .
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z > 4, π < arg z ≤ 3π .
4
4
2) z + 3 < z + i , Re z < 1.
2
2
8. Визначити порядок і головну частину
б) тригонометричну форму z 3 ;
10
( 3x
x →+∞
4) lim
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
.
до кривої в заданій точці:
))
ctg x
1) y =
x − 3 3 x , x 0 = 64.
2) x = at cos t, y = at sin t, t0 = π .
2
.
24

28.

3) x = 4 sin2 t, y = 4 sin t cos t,
3)∫ (1 − cos x )2 dx .
z = 2 cos2 t, t0 = π .
4
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 6x − 8x 3 .
1) y = xe x ,[−2; 0].
16. max
min f (x ) = ?
[a ,b ]
2) y = x +
4
,[−1;2].
(x + 2)3
17. Дослідити функцію і побудувати її
2 − x2 .
9x 2 − 4
1) y =
5) y = x 2 − 2 ln x .
1
2 x
2) y = ln(sin x − cos x ). 6) y = x e .
3) y =
3
x 2 (x + 4)2 .
7) y =
2
x
.
(x − 1)2
5 − 2x 2
dx
dx .
5)∫
.
6)∫
2x 2 − x + 7
dx
.
x 1 + x − x2
7)∫
x +3
dx .
1+ 3 x +3
2)∫
4x 2 − 8x + 3
3)∫
(4 − x 2 )3
dx .
x6
8)∫
22.1)∫ ln(x + 4)dx .
4)∫
2)∫ x 2e −xdx .
5)∫ (x + 5) sin xdx .
3)∫ x arctg xdx .
6)∫ x cos(x − 7)dx .
2(x +2)
4) y = 4x + 6 3 (x + 2)2 . 8) y = e
.
2(x + 2)
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
1)∫
e2
dx
.
3x + 4
dx
2)∫ sin(3 − 4x )dx . 8)∫ 2
.
3x − 7
dx
xdx
3)∫
.
9)∫ 2
.
2
2x − 7
5x + 3
18.1)∫
x ln xdx .
dx
2)∫
.
(x − 1)2 (x + 1)
2
π
2
3)∫
0
ln5 (x + 1)
4)∫ e
dx .
10)∫
dx .
x +1
2
cos x
5)∫ e 5x −3xdx .
11)∫
dx .
4 − sin x
5 ctg 3x
arccos3 2x
6)∫
dx
.
12)
∫ 1 − 4x 2 dx .
sin2 3x
( 3x 2 + 3x − 24 )dx
4x − 3
19.1)∫ 2
dx . 5)∫ 2
.
3x − 4
(x − x − 2)(x − 3)
cos xdx
.
sin2 x + 1
2x −10
1 − 4x 2
dx .
dx .
x
4)∫ 24 sin8 dx .
2
0
2
5)∫
x2 − 1
dx .
x
6)∫
xdx
.
2 + 3x
1
7
3
2
3
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
1)∫
0
arctg 2x
dx .
π(1 + 4x 2 )
2
3 3
2)∫
0
ln(2 − 3x )
dx .
2 − 3x
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) y = (x + 1)2 , y 2 = x + 1.
x4
4x − 1
2)∫ 2
dx .
6)∫
dx .
x −3
x (x − 1)2
( 3x + 13 )dx
dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
x − 5x + 6
(x − 1)(x 2 + 2x + 5)
x = 2 2 cos t,
2)
y = 3 (y ≥ 3).
y = 3 2 sin t,
3) ρ = 6 cos 3ϕ, ρ = 3 (ρ ≥ 3).
x 5 + 4x 3 + 4x + 2
dx .
x 4 + 4x 2
sin 3 x
20.1)∫ ctg3 xdx . 4)∫ 5
dx .
cos3 x
dx
2)∫ sin 5x sin 7xdx . 5)∫
.
1 + sin2 x
4)∫
x 8 x7
x arccos 2x
π
1
3
5 − 4xdx . 7)∫
4
(1 + x )3
.
1+x
dx .
x+ x
4)∫
графік:
x −1
dx
.
5 + 4 sin x
( x − 4 )dx
6)∫
( x + 1 )dx
. 8)∫
2x 2 + x + 1
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y 2 = 4x , x 2 = 4y, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої x = cos t, y = 1 + sin t
навколо осі Ox .
25

29.

x 20 − 2x + 1
e 2x − 1 − 2x
.
3)
lim
.
x →1 x 30 − 2x + 1
x → 0 ln(1 + 2x ) − 2x
Варіант 12
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
πx
1) y = 2 cos ( 2x + π ). 4) y = ctg ( 2x + π ).
3
3
x −1
2) y = 1 arccos(x − 1). 5) y = ( 1 ) .
3
4
3) y = − arctg(x + 1). 6) y = ln(2x − 5).
2)lim(1 − x )cos 2 .
x →1
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
x 2 , β(x ) = 4x 2 , x → 0.
5+x
x −1
2) α(x ) = ln(1 + x ), β(x ) = 1 + 3 x − 1,
1) α(x ) =
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 8 ;
2
б) тригонометричну форму z 3;
( )
10
д), е) всі значення
3
x → 0.
3) α(x ) =
;
z1 та
4
z 2 , якщо:
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z − 1 > 2, π < arg z ≤ 3π .
2
2
2) z + 3 > z − 3 , Im z < 2.
3) z 3 − 6z 2 + 16z − 16 = 0.
Знайти границі (4—7):
1 + 13 + ... +
n →∞ 1 + 15 + ... +
1
3n
1
5n
.
n + 3 − n2 − 3
2) lim
n →∞ 3
n5 − 4 − 4 n 4 + 1
.
ch2 (4x + 2)
.
arctg x 3
5 ln(5x + 7)
4) y = ctg 5x ⋅ arctg x 3 +
.
(x − 7)2
2
n →∞
x2 − x − 2
sin2 3x − tg x 2
.
6.1) lim
.
3
x →−1 x + 1
x →0
x2
x3 − x2 + x − 1
1 − cos 6x
2) lim
. 2) lim
.
x →1
x →0
x3 + x − 2
4x 2
cos(x + 52π) tg x
3x 4 + 2x + 1
3) lim 4
.
3)
lim
.
x →∞ x − x 3 + 2x
x →0
arcsin 2x 2
3x 3 + 4x 2 − 7x
ln(5 − 2x )
4) lim
. 4) lim
.
2
x →∞ 2x + 7x − 3
x → 2 10 − 3x − 2
4 − 3x − 2x 2
e 5x − e x
5) lim
.
5)
lim
.
x →−∞ 4x 4 + 5x
x → 0 arcsin x + x 3
7 −x − 7
a x − ab
6) lim
.
6) lim
.
x →0
x →b x − b
7x
1
2x + 1 x +2
7) lim
.
7) lim(1 − x 3 )ln(1+πx 3 ) .
x →∞ 2x − 1
x →0
x
ctg x
2x − 3
8) lim
.
8) lim (cos x )sin 4x .
x →−∞ 7x + 4
x → 4π
5.1) lim
5) y = ch3 x ⋅ arctg 3x − (arcsin 5x )tg
x
.
6) y = (arctg 7x )lg(x +1) +
(x + 2)2 3 (x − 1)7
.
(x + 1)5 (x − 5)3
y
11.1) ln y − x = 7.
2) 2y ln y = x .
cos t ,
x = t 4 , x =
1 + 2 cos t
12.
: 1)
2)
sin t .
y = ln t. y =
′′ = ?
yxx
1 + 2 cos t
13.1) y = (4x + 3)2−x , y (5) = ?
yx′ = ?
2) y = sin(x + 1) + cos 2x , y (n ) = ?
)
(
x + 2, β(x ) = x + 8, x → −8.
3) y = 5x arccos 2x 3 −
3) lim n 2 ( 3 5 + n 3 − 3 3 + n 3 ).
(
3
9. Дослідити функцію на неперервність:
x
1) f (x ) = arctg
.
x −1
cos x , x ≤ π ,
2
π
2) f (x ) = 0,
< x < π,
2
2,
x ≥ π.
3) f (x ) = x + 5 у точках x1 = 3, x 2 = 2.
x −2
Знайти похідні функцій (10—13):
e 3x
10.1) y = 5 x 2 + 62 −
.
x
3x 2 − 4x − 7
sin 3 (5x + 1)
2) y = 5 3x 2 + ln sin 1 +
.
2
tg(3x − 2)
z1 = −7 + 7i, z 2 = −2 3 − 2i, z 3 = 7 − 8i.
4.1) lim
x →+0
8. Визначити порядок і головну частину
2. Знайти:
z
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
4) lim ( arctg x )tg x .
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
)
до кривої в заданій точці:
3
1) y = x 3 + 2 , x 0 = 2.
x −2
26

30.

2) x = sin2 t, y = cos2 t, t0 = π .
6
2
3
4
1
1
1
3) x = t , y = t , z = t , M 0 ( 2; 8 ; 4 ).
2
3
4
3
15. Знайти проміжки монотонності фун-
2)∫
кції y = 16x 2 (x − 1)2 .
1) y = (x − 2)e x ,[−2;1].
16. max
min f (x ) = ?
2) y =
[a ,b ]
3
2x 2 (x − 3),[−1;6].
17. Дослідити функцію і побудувати її
3 3 6(x − 4)2
x
. 5) y =
2
x
+
2
x − 4x + 12
(
3
2) y = 4x 2− 3x .
4x − 1
6) y =
).
2
8
.
(x − 1)2 + 4
2)∫
3)∫
dx
.
4x − 2
dx
4 − 7x 2
dx
.
2
3x + 7
.
9)∫
2)∫
0
π
3
3)∫
( x 2 − 5x + 40 )dx
dx
.
7)
∫ (x + 2)(x 2 − 2x + 10).
2x − 3 − 4x 2
4)∫
( x + 1 ) dx
6)∫
3x 2 − 2x − 8
. 8)∫
20.1)∫ ctg2 5xdx .
4)∫
dx
3
(x 2 + 3)2
(1 + 3 x )3
x 12 x 7
dx .
4)∫ arccos 2xdx .
x ln(x + 1 + x 2 )
1 + x2
dx .
.
4)∫ 28 sin6 x cos2 xdx .
−π
5
5)∫
6) ∫
( x 2 + 2 )dx
.
(x + 1)2 (x − 1)
3
ln 3
π
4
dx
.
e − e −x
x
ln 2
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
1)∫
1
2
0
16dx
dx
. 2)∫ 3
.
2
1 + 3x
π(4x + 4x + 5)
1
−
3
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) y = 2x − x 2 + 3, y = x 2 − 4x + 3.
x = 6(t − sin t ),
2)
y ≥ 9 (0 < x < 12π).
y = 6(1 − cos t ),
1
3) ρ = + sin ϕ.
2
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе-
3x − x − 2
dx .
x (x + 1)2
2
x3 − x + 2
dx .
x4 − x2
3
4
.
0
3)∫ tg xdx .
ln (x + 1)
dx .
x +1
x + 5x
dx .
x2 + 1
7)∫
5)∫
4
2
2)∫
xdx
.
sin2 x
0
1
arctg7 3x
4)∫
10)∫
dx .
1 + 9x 2
sin 3x
5)∫ e 4x +3dx .
11)∫
dx .
cos2 3x
2
tg4 7x
6)∫ e1−4x xdx .
12)∫
dx .
cos2 7x
2x + 3
2x 4 − 7x 3 + 3x + 20
19.1)∫
dx
.
5)
∫ (x − 2)(x 2 − 2x − 3) dx .
1 − 3x 2
3
x x2 + x − 2
x +3x
dx .
x +6x
8)∫
1)∫ arctg xdx .
xdx
.
3x 2 + 8
7
xdx
.
x −1
1
7)∫ cos(4x + 3)dx .
8)∫
4)∫
. 6)∫
.
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
3
3)∫
x 2 − 3x + 4
dx
3)∫ x sin(x − 5)dx . 6)∫ (x − 5)cos xdx .
x2
x − 2.
7) y = x 3e − 2 .
x −2
1
4) y =
.8) y = 3 x 2 (x − 4)2 .
(cos x + sin x )2
18.1)∫
( 2x − 1 )dx
dx . 5)∫
1 + 2x − x 2
dx
.
(1 + x 2 )5
2)∫
3) y = ln
dx
.
5 + 3x
x2 − 6
dx
22.1)∫ x 2e 3xdx .
графік:
1) y =
5x + 1
21.1)∫
ртанням
фігури, обмеженої кривою
x + (y − 2)2 = 1, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої x 2 = 4 + y, y = 2
навколо осі Oy.
2
cos2 x sin 3 xdx .
dx
.
4 sin x (sin x + 2 cos x )
dx
3)∫ sin 4x cos 2xdx . 6)∫
.
8 + 4 cos x
2)∫ sin2 (2x − 1)dx . 5)∫
27

31.

7.1) lim
1) y = − 1 sin ( 1 x + π ). 4) y = tg ( 3x − 3π ).
2
2
3
4
1−x
2) y = 2 arcsin(x + 2). 5) y = e .
3) y = π + arcctg(x − 1).6) y = − lg(x + 2).
2
2. Знайти:
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) = sin 8x , β(x ) = arcsin 5x , x → 0.
2) α(x ) =
z
( )
z
10
3
4
9. Дослідити функцію на неперервність:
2
1) f (x ) = x 3 − 4 .
x +8
x − 1, x ≤ 0,
2) f (x ) = x 2 ,
0 < x < 2,
2x ,
x ≥ 2.
z 2 , якщо:
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z − i > 3, π < arg z ≤ 2π .
3
3
2) z − 4 < z − i , Re z > 3.
2
3) f (x ) = 5 x −3 у точках x1 = 3, x 2 = 4.
3) z 3 − 4z 2 + 8z − 8 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
Знайти границі (4—7):
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
n n2 + 1 + n + 1
n →∞
n5 + 3 − n − 3
2) lim
n →∞ 5
n5 + 3 + n − 3
x − 3, β(x ) = 27 − x , x → 27.
2
z1 = −2 − 2i, z 2 = 2 − 2 3i, z 3 = 8 + 9i.
4.1) lim
3
3) α(x ) = e 3x − cos x , β(x ) = x , x → 0.
;
z1 та
)
8. Визначити порядок і головну частину
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 7 ;
2
б) тригонометричну форму z 3;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
(
ln x
1
1
.
3) lim
−
.
x →+0 ln sin x
x →0 x
arcsin x
a x − 1 − sin x ln a
2) lim
. 4) lim(tg
x )2x −π .
x →0
x →π
e x − 1 − tg x
2
Варіант 13
1. Побудувати графіки функцій:
− sin 2x
10.1) y = 83 + 4 x − e
.
x
(x + 5)4
.
2) y =
.
3
5x 4 + 8 sin ctg 3 +
cos4 (7x − 1)
.
lg(x + 5)
5
4x .
3) y = sin 4 3x ⋅ arctg 2x 3 − arcsin
th 3 x
4 log3 (3x + 1)
4) y = e− cos x arcctg 7x 4 +
.
(x + 1)2
3) lim ( 3 (n + 2)2 − 3 (n − 3)2 ).
n →∞
x 2 − 16
sin 7x + sin 3x
. 6.1) lim
.
2
x → 4 x + x − 20
x →0
x + sin x
x 2 − 2x + 1
arctg 3x
2) lim 2
. 2) lim
.
x →1 2x − 7x + 5
x → 0 ln(1 + 2x )
5) y = th3 4x ⋅ arcctg x 4 − (arccos 5x )ln x .
3x 2 + 2x + 9
9 ln(1 − 2x )
. 3) lim
.
2
x →∞ 2x − x + 4
x → 0 4 arctg 3x
5x 3 − 3x 2 + 7
tg ln(3x − 5)
4) lim
.4) lim
.
2
x →−∞ 2x 4 + 3x 2 + 1
x → 2 e x + 3 − e x +1
6) y = (log4 2x )arcsin x +
(x + 3)3 (x − 1)4
.
(x + 1)2 (x + 2)7
11.1)y 2 + x 2 = cos xy.
2) y sin x = x sin y.
5.1) lim
3) lim
x = 5 cos t, x = t 3 − 1,
12.
: 1)
2)
y = 4 sin t. y = ln t.
′′ = ?
yxx
yx′ = ?
7 − 3x 4
4x − 27 x
.
5)
lim
.
x →−∞ 2x 3 + 3x 2 − 5
x → 0 tg 3x − x
5) lim
3x
.
1 + x −1
x − 2 2x −3
7) lim
.
x →∞ x + 1
6) lim
x →0
(
8) lim
x →−∞
)
(
x −5
3x + 4
)
2x
6) lim ( 2 − 5x
x →0
3
13.1) y = e1−2x sin(2 + 3x ), y (5) = ?
cosec2 x
)
x
2) y = lg(x + 4), y (n ) = ?
.
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
πx
7) lim(3 − 2x )tg 2 .
до кривої в заданій точці:
x →1
1) y = 2x 2 + 3, x 0 = −1.
1 − cos 2x + tg x
. 8) lim
.
x →0
x sin 3x
2
28

32.

t
2) x = arcsin
21.1)∫
, y = arccos t, t0 = 1.
2
1+t
3) x = ch t, y = a sh t, z = at, t0 = 0.
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 2x 3 + 3x 2 − 5.
−x
1) y = (x − 1)e ,[0; 3].
16. max
min
[a ,b ]
f (x ) = ?
x (x + 2).
2
2) y = x 2− x − 1 .
x − 2x
2 cos x
18.1)∫
2)∫
3)∫
5dx
.
2
3 − 4x
2xdx
.
3x 2 − 7
3
π
(x + 3)x 2 .
5)∫
6)∫
ctg 6x
dx .
sin2 6x
arccos 4x
(1 − 4x )
5
2)∫
.
0
π
2
11)∫ e
dx . 12)∫
2
2 − x 2dx .
3
4
dx
x − x2
1
2
.
24. Обчислити інтеграли або довести їх
ln 3 (x + 1)
dx .
x +1
3x 2 + 4
2
x 4 + 3x 3 − 1
dx . 5)∫
(x + 1)2
1
0
розбіжність:
∞
1)∫
xdx .
0
cos 3x
dx .
2 − sin 3x
xdx
.
2
4x + 4x + 5
1
2)∫
3
4
5
dx
.
3 − 4x
25. Обчислити площі фігур, обмежених
1 − 16x
( 3x 2 − 15 )dx
x −3
19.1)∫ 2
dx . 5)∫
.
9x + 7
(x − 1)(x 2 + 5x + 6)
2)∫
dx
.
x +3+6x +3
2
3)∫ cos x cos 3x dx . 6)∫
2
2
dx
.
6x 2 − 7
10)∫
3
π
0
1
dx
3
7)∫
1)∫ (x + 2)cos x dx . 4)∫ 28 sin 4 x cos4 xdx .
2
π
8)∫ cos(3 − 4x )dx .
9)∫
4)∫ e 4x +5dx .
5
7)∫
x2 − 9
dx .
x
.
(x + 1) x 2 − x + 1
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
dx
.
5 − 3x
3)∫
. 6)∫
3)∫ x cos(x + 4)dx . 6)∫ (x − 4)e x dx .
8) y =
.
4x 2 − x + 4
dx .
6) y = (x + 2)e1−x .
2
3) y = (2x + 5)e −2(x +2). 7) y = 122 − 3x .
x + 12
4) y = e −
2)∫
2 + x − x2
dx
2
5) y = 3x − 7 .
2x + 1
графік:
3
5x 2 + 2
dx
4x + 1
dx . 5)∫
4
xdx
(1 + 3 x 2 )3
dx .
4)∫
.
8)∫
x −1
x2 6 x
ln(sin x )
22.1)∫
dx . 4)∫ arctg xdx .
sin2 x
xdx
2)∫
.
5)∫ (x + 9)sin xdx .
cos2 x
2
2) y = 7x2 − x − 7 ,[1; 4].
x − 2x + 2
17. Дослідити функцію і побудувати її
1) y =
2x + 3
кривими:
1) y = x 36 − x 2 , y = 0 (0 ≤ x ≤ 6).
x = 32 cos3 t,
2)
x = 4 (x ≥ 4).
y = sin 3 t,
x 2 − 5x + 6
2x 3 + 1
dx . 6)∫ 2
dx .
2
x +4
x (x + 1)
dx
4x − x 2 − 12
.
7)
∫ x 3 + 8 dx .
3x 2 − 8x − 3
( 4x + 5 )dx
x 2 + 2x + 4
4)∫ 2
. 8)∫ 4
dx .
4x + 6x − 10
x + 5x 2 + 4
20.1)∫ tg 3 x dx .
4)∫ 3 sin2 x cos3 xdx .
3
sin 2xdx
2)∫ sin 3 6xdx .
5)∫
.
4 sin 4 x + cos4 x
dx
.
3)∫ cos 4x sin 5xdx . 6)∫
3 sin x − 4 cos x
3) ρ = cos ϕ, ρ = sin ϕ, ( 0 ≤ ϕ ≤ π ).
2
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обе-
3)∫
ртанням
фігури,
обмеженої
кривими
наx = 0, x = 1, y = 1 − x , x = y − 2,
вколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої x = 3(t − sin t ), y =
= 3(1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π) навколо осі Ox .
2
29

33.

Варіант 14
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim x −5e x .
1) y = 2 cos ( 2x − 2π ). 4) y = ctg ( 1 x + π ).
3
2
6
x +1
2) y = 2 arccos(x + 1). 5) y = e .
3) y = arctg(x + 1) − π . 6) y = − ln(2x + 5).
3
2. Знайти:
2) lim x 4 +ln x .
x →∞
3
x →0
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) = sin 3x + sin x , β(x ) = 10x , x → 0.
(z )
z1 = 3 − 3i, z 2 =
10
3
3) α(x ) = arcsin( 9 + x 2 − 3), β(x ) = x ,
x → 0.
;
z1 та
4
x − 2 , β(x ) = x − 4 , x → 4.
x +2
x +4
2) α(x ) =
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3;
2
б) тригонометричну форму z 3;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
(a + x )x − a x
.
x →0
x2
2 arctg x x .
4) lim ( π
)
x →∞
3) lim
9. Дослідити функцію на неперервність:
z 2 , якщо:
1
2
1) f (x ) = e x .
3 + i, z 3 = −9 + 8i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z > 4, π < arg z ≤ 2π .
2
3
2) z − 4i > z − 2 , Im z > 1.
x + 1, x < 0,
2) f (x ) = x 2 + 1, 0 ≤ x < 1,
−x ,
x ≥ 1.
3) z 3 + z 2 − z + 2 = 0.
3) f (x ) = 4 x −1 − 3 у точках x1 = 1, x 2 = 2.
Знайти границі (4—7):
Знайти похідні функцій (10—13):
4.1) lim
1 + 2 + ... + (2n − 1) + 2n
n2 + 3
n →∞
3
2) lim
n →∞ 3n
n − 9n 2
− 4 9n 8 + 1
2
e cos 5x
10.1) y = 93 + 3 x 4 −
.
x
x 2 − 5x − 2
sin 3 (4x + 3)
2) y = 7 cos ctg 3 − 7x 2 +
.
ln(7x + 1)
.
.
(n + 1)3 − n(n − 1)(n − 3)
3) lim
.
n →∞
n
4x 2 + 11x − 3
1 − cos 5x
5.1) lim
.6.1) lim
.
x →−3 x 2 + 2x − 3
x →0
2x 2
x3 − 8
arcsin 4x
2) lim 2
. 2) lim
.
x →2 2x − 9x + 10
x →0
tg 5x
3x 2 + 5x − 7
.
x →∞ 3x 2 + x + 1
4) y = 2− sin x
5) y = cth 4 7x ⋅ arcsin x − (arctg 3x )sin x .
(
(
(x − 2)5 (x + 3)2
.
(x + 1)4 (x − 7)3
2) x n + y n = a n ln y.
6) y = (log5 3x )arccos(2x −3) −
1 − 3x + 1
.
x → 0 cos π (x + 1)
(2
)
5x 2 − 3x + 1
ln cos x
4) lim
. 4) lim sin 2x
.
4
x →∞ 1 + 2x − x
x →2π 3
−1
8x 4 + 7x 3 − 3
e x − e −x
5) lim
.
5)
lim
.
x →∞ 3x 2 − 5x + 1
x → 0 tg 2x − sin x
2x + 1 − 3
sin 2x − 2 sin x
6) lim
.
6) lim
.
x →4 x − 2 − 2
x →0
x ln cos 5x
5
x x −5
7) lim
.
7) lim (cos x )tg 5x sin 2x .
x →∞ x − 3
x → 4π
2x
1
x +3
8) lim
. 8) lim(2 − cos 3x )ln(1+x 2 ) .
x →∞ 4x − 5
x →0
3) lim
arctg 3 (2x + 1)
.
ch x
7 log4 (2x − 5)
arcsin 3 x 4 +
.
(x − 1)5
3) y = cos3 4x ⋅ arcctg x −
3) lim
11.1) e y = 4x − 7y.
3
x = 5 cos2 t, x = sh t,
12.
: 1)
2)
y = 3 sin2 t. y = th2 t.
′′ = ?
yxx
3 +2 x
(5)
13.1) y = e
sin(2 + 3x ), y = ?
yx′ = ?
2) y = x + 3 , y (n ) = ?
x −7
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
)
до кривої в заданій точці:
29
1) y = x 4 + 6 , x 0 = 1.
x +1
1
2) x = + 2ln t , y = 3 + 2 ln t , t0 = 1.
t
t
)
30

34.

3) x = t 2 − 1, y = t + 5, z = t 3, M 0 (0;6;1).
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
2)∫
кції y = 2 − 12x 2 − 8x 3 .
1) y = x 2 ,[−2;2].
max
9−x
16. min f (x ) = ?
2) y = x − 4 x + 2,[−1;7].
[a ,b ]
1) y =
3−x
5) y = e
.
3−x
(x − 2)2
6) y =
.
x +1
x 2 + 4x + 3.
3
2) y = x + 16 .
9x 2 − 8
2
2)∫
2x 2 − 9
2xdx
3)∫
.
2x 2 + 5
.
4)∫ e 6x +2dx .
4)∫
dx
.
3+ x +5
8)∫
22.1)∫ x tg2 xdx .
4)∫
3)∫
( x − 13x + 40 )dx
dx
. 7)∫
.
2
8 − 2x − x
(x + 1)(x 2 − 4x + 13)
4)∫
6)∫
0
0
2)∫
−1
π
4
. 8)∫
x 2 − 4x + 1
20.1)∫ tg3 2xdx . 4)∫
x
2)∫ sin2 dx .
2
0
0
x 5 − 2x 2 + 3
dx .
2
−
(
x
2)
−1
dx
.
3
1+ x +1
5)∫
0
−1
2
0
2x − 8
1 − x − x2
dx .
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
1)∫
0
(x + 2)dx
3
(x 2 + 4x + 1)4
π
2
. 2)∫
0
e tg xdx
.
cos2 x
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) x = arccos y, x = 0, y = 0.
x −3
dx .
(x − 1)(x 2 − 1)
3
x = 3 cos t,
2)
y = 4 (y ≥ 4).
y = 8 sin t,
3) ρ = 2 cos ϕ − π , ρ = 2 sin ϕ − π ,
4
4
π ≤ ϕ ≤ 3π .
4
4
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
(
2x 5 − 2x 3 + x 2
dx .
1 − x4
5
4)∫ 24 sin2 x cos6 xdx .
3)∫ sin 3x cos 5xdx . 6)∫
2
( 5x + 1 )dx
1 + 4 x3
dx .
x2 8 x
arccos x
dx .
1−x
π
1)∫ x sin 4xdx .
4
x −1
dx .
x +3
x5 + x + 1
dx .
6 5
x (1 + 3 x )
7)∫
2
dx
9)∫ 2
.
7x + 6
dx
10)∫
.
(x + 1)5 ln(x + 1)
2)∫
3
6
.
(x 2 − 1)3
π
8
tg 4x
arcsin x
dx . 11)∫
dx .
2
cos 4x
1 − x2
cos 4x
sin 2x
6)∫
dx . 12)∫
dx .
3
sin 4x
1 + cos2 x
(x − 3)dx
(x 2 − 19x + 6)dx
19.1)∫
.
5)
∫ (x − 1)(x 2 + 5x + 6).
4x 2 + 1
5)∫
dx
.
(x + 1) x 2 − x − 1
23. Обчислити інтеграли:
8)∫ cos(2 + 5x )dx .
5
3
. 6)∫
dx .
3)∫ x cos(x − 2)dx . 6)∫ xe−6xdx .
3
dx
2 + 4x − 3x 2
2x 2 + 4x − 5
dx
2)∫ x 2 ln(x + 1)dx . 5)∫ (x + 7)sin 2xdx .
2
(x − 1)(x + 2)2 .7) y = 9 2+ 6x − 3x .
x − 2x + 13
4) y = − arctg cos x .
8) y = lnx x .
Знайти інтеграли (18—22):
dx
dx
18.1)∫
.
7)∫
.
3 (3 − 4x )2
4 − 7x
3) y =
4 − 3x
dx
5x − 3
dx . 5)∫
2
3)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
5 − 3x
(
cos3 2x sin 3 2xdx .
dx
.
1 + 4 cos x (cos x − sin x )
dx
3)∫ cos x cos 5xdx .6)∫
.
7 sin x − 3 cos x
)
(
)
)
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = x 2 , y = 1, x = 2, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої x = cos3 t, y = sin 3 t
навколо осі Ox .
5)∫
31

35.

1−x
x (e x + 1) − 2(e x − 1)
;
3)
lim
.
x →1 1 − sin πx
x →0
x3
2
tg πx
2) lim ( tg πx ) 2 . 4) lim x tg x .
4
x →1
x →+0
Варіант 15
1. Побудувати графіки функцій:
(
)
7.1) lim
(
)
1) y = 3 sin 3x + π . 4) y = tg 1 x − π .
3
3
12
x +2
2) y = 3 arcsin(x − 2). 5) y = −2 .
8. Визначити порядок і головну частину
3) y = arcctg(x + 2). 6) y = lg(x − 3).
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) = cos 7x − cos x , β(x ) = 2x 2 , x → 0.
2. Знайти:
2) α(x ) = x sin x , β(x ) =
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 + i 9;
2
б) тригонометричну форму z 3;
(z )
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
10
3
3) α(x ) = arctg( 3 27 − 2x 2 − x − 3),
β(x ) = x , x → 0.
;
z1 та
4
9. Дослідити функцію на неперервність:
z 2 , якщо:
1
x
1) f (x ) = 21 − 1 .
2x + 1
x < 0,
−x ,
2) f (x ) = x 2 + 1, 0 ≤ x < 1,
x + 1, x ≥ 1.
z1 = 4 + 4i, z 2 = −3 + 3 3i, z 3 = −8 − 7i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z + 3 > 4, π < arg z ≤ π .
4
2
2) z + 4 < z − i , Re z < 2.
3) z 3 + 5z 2 + 15z + 18 = 0.
5
3) f (x ) = 21−x − 1 у точках x1 = 0, x 2 = 1.
Знайти границі (4—7):
3
Знайти похідні функцій (10—13):
4n + 1 − 3 27n 3 + 4
(2x + 5)
10.1) y = 45 − 5 x 2 −
.
e tg x
x
ctg3 (2x − 3)
2) y = 4 4x 5 − cos tg 1 +
.
3
log3 (x + 2)
n 3 + 5 − 3n 4 + 2
4.1) lim
.
n →∞ 1 + 3 + ... + (2n − 1)
2) lim
n →∞
4
n − 3 n5 + n
3
.
3) lim ( n 2 + 3n − 2 − n 2 − 3).
3
n →∞
4x .
3) y = tg3 2x ⋅ arcsin x 5 − arccos
4
sh x
ln(7
x
+ 2)
4) y = 2sin x arcctg x 4 +
.
2(x − 6)4
3x − 7x − 6
cos 2x − cos 4x
. 6.1) lim
.
2
x → 3 2x − 7x + 3
x →0
3x 2
9x 2 + 17x − 2
e 5x − 1
2) lim
.
2)
lim
.
x →−2
x → 0 sin 2x
x 2 + 2x
2x 3 + 7x − 2
sin 7x
3) lim
. 3) lim 2
.
3
x →∞ 3x − x − 4
x → 0 x + πx
2
5.1) lim
5) y = sh 3 2x ⋅ arcsin 7x 2 − (lg x )arctg 2x .
x − 8(x + 2)6
.
(x − 1)5 (x + 3)2
11.1) 4 sin2 (x + y ) = y.
2) tg xy = x .
tg y
x = t − 1,
yx′ = ?
x = arctg t,
12.
: 1)
2)
2
y = ln(1 + t ). y = 1 .
′′ = ?
yxx
t
3
(5)
13.1) y = (2x + 1) cos x , y = ?
6) y = (ln(x + 7))ctg 2x +
2
2x 3 + 3x 2 + 5
35x −3 − 32x
4) lim
.
4)
lim
.
x →∞ 3x 2 − 4x + 1
x →1
tg πx
3
3x + 7
1 + ln2 x − 1
.
5)
lim
.
x →∞ 2 − 3x + 4x 2
x →1 1 + cos πx
5+x −2
102x − 7−x
6) lim
. 6) lim
.
x →−1 8 − x − 3
x → 0 2 tg x − arctg x
5) lim
( 33xx −+ 42 ) .
x −2
8) lim (
.
3x + 1 )
2x
7) lim
x →∞
5x
x →−∞
x 3 , x → 0.
ctg πx
7) lim ( 2 − e sin x )
x →0
(
9 − 2x
8) lim
x →3
3
tg πx
6
)
4
2) y = lg(3x + 1), y (n ) = ?
.
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
.
до кривої в заданій точці:
1) y = 2x + x1 , x 0 = 1.
32

36.

2) x = 1 +2 t , y = 32 + 2 , t 0 = 2.
t
t
2t
3) x = e t , y = cos t, z = t 2 + 1, M 0 (1;1; −1).
21.1)∫
2)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = (2x + 1)2 (2x − 1)2 .
16. max
min
[a ,b ]
f (x ) = ?
2) y =
(x − 2) (5 − x ),[1;5].
3
2
1) y = x + 3x − 2x − 2 . 5) y = 2 ln x .
x +1
x2 − 2
6) y = − ln 1 + x .
1−x
4)∫ e
5)∫
3
(
5−2x
(x − 1)2 − 3 x 2 .
dx .
4
ctg 3x
dx .
sin2 3x
2
6)∫ e 4−x xdx .
10)∫
)
3)∫ x cos(x + 3)dx .
6)∫ arctg 7xdx .
2π
1)∫ x ln xdx .
1
1
4)∫ cos8 xdx .
0
6
2)∫
xdx
.
x + 3x + 2
5) ∫
3)∫
sin 3 x
dx .
cos4 x
6)∫
0
π
3
0
2
2
11
8
dx
3x
x2 − 9
2
.
dx
2 + 3x − 2x 2
3
4
.
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
1)∫
0
3 − x2
dx .
x2 + 4
1
2)∫
0
2e1−
2 arcsin x
π
π 1 − x2
dx .
25. Обчислити площі фігур, обмежених
3
кривими:
dx .
1) y = x arctg x , y = 0, x =
1 − 4x
x −3
6xdx
19.1)∫
.
2 dx . 5)∫ 3
1 − 4x
x + 2x 2 − x − 2
x3
x 2 − 3x + 2
2)∫ 2
dx .
6)∫ 3
dx .
x −1
x + 2x 2 + x
dx
3 − 9x
3)∫
. 7)∫ 3
dx .
2
5x − x − 6
x −1
xdx
x 4dx
4)∫ 2
. 8)∫ 4
.
2x + 2x + 5
x + 5x 2 + 4
cos3 x
20.1)∫ tg5 2xdx .
4)∫ 5
dx .
sin3 x
dx
2)∫ sin2 ( x + 1 )dx . 5)∫
.
2
2
4 cos x + 3 sin2 x
dx
3)∫ cos x sin 9xdx . 6)∫
.
2 + 4 sin x + 3 cos x
2
5)∫ (x + 4) sin 3xdx .
2
ln7 (x + 1)
dx .
x +1
arcsin 2x
2)∫ (x 2 + 2)e −x dx .
2
11)∫ sin 3 4x cos 4xdx .
12)∫
.
(x + 1) x 2 + x + 1
x −1
dx .
7)∫ 3
( x + 1) x
23. Обчислити інтеграли:
2
7) y = x − 2 .
x +1
8x .
4) y = ln(− 2 cos x ).
8) y = −
2
x +4
Знайти інтеграли (18—22):
dx
dx
18.1)∫
.
7)∫ 3
.
5x − 3
2 − 5x
dx
2)∫ 2
.
8)∫ cos(3x + 5)dx .
2x + 7
xdx
dx
3)∫
.
9)∫
.
2
7 − 3x
7 − 3x 2
3) y =
. 6)∫
dx .
3
dx
1 + 4 x3
.
8)∫
dx .
1+ x −1
x2
x arccos x
ln x ln(ln x )
dx . 4)∫
dx .
22.1)∫
2
x
1−x
графік:
3 3 6(x + 1)2
.
x 2 + 6x + 17
4x 2 + 2x + 4
4 + 2x − x 2
dx
4)∫
2
17. Дослідити функцію і побудувати її
2) y =
1 − 4x 2
dx
3x + 2
dx . 5)∫
3)∫ x 3 9 − x 2dx .
1) y = 1 +xln x , e1 ;e .
3
4 − 2x
3.
x = 6(t − sin t ),
2)
y ≥ 6 (0 < x < 12π).
y = 6(1 − cos t ),
3) ρ = 4 sin 3ϕ, ρ = 2 (ρ ≥ 2).
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = x 3 , y = x , навколо осі Ox .
27. Знайти площу поверхні, утвореної
обертанням кривої ρ = 2 cos 2ϕ навколо
полярної осі.
33

37.

πx
ln x
πx tg 2 .
.
3)
lim
ctg
(
)
4
x →∞ 3 x
x →1
arcsin 2x − 2 arcsin x
2) lim
.4) lim ( ctg x )sin x .
x →0
x →+0
x3
8. Визначити порядок і головну частину
Варіант 16
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
1) y = −2 cos ( 1 x − π ).4) y = 3x −1.
2
4
2) y = 1 arccos ( x + 1 ).5) y = 2 arctg(x − 3).
2
2
3) y = ctg ( 1 x + π ). 6) y = ln(x + 5).
4
24
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3;
2
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
(x − 1)3
, β(x ) = e x −1 − 1, x → 0.
ln x
2) α(x ) = x − sin x , β(x ) = x , x → 0.
1) α(x ) =
3) α(x ) = tg( x − 2), β(x ) = x − 4, x → 4.
б) тригонометричну форму z 3;
( )
z
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
10
3
9. Дослідити функцію на неперервність:
1) f (x ) = arctg x .
x −1
x + 3, x ≤ 0,
2) f (x ) = 4 − x , 0 < x ≤ 2,
x 2 − 2, x > 2.
;
z1 та
4
z 2 , якщо:
z1 = −5 + 5i, z 2 = −2 3 − 2i, z 3 = 7 − 6i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z − 2i > 3, 3π < arg z ≤ π.
4
2) z + 4i > z − 3 , Im z < 3.
4
3) f (x ) = 8 x −2 − 1 у точках x1 = 2, x 2 = 3.
3) z 3 − 2z − 4 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
− tg 3x
10.1) y = 83 − 4 x 3 + 2e
.
x
4x − 3x + 5
lg 3 x
2) y = 5 x 3 + sin tg 1 −
.
7 sin 5x 2
cth2 (x − 2)
3) y = ctg7 x ⋅ arccos 2x 3 +
.
arccos 3x
2
4 lg(3x + 7)
4) y = 3−x arctg 2x 5 −
.
(x + 1)7
Знайти границі (4—7):
(3n )!− n(3n − 1)!
.
n →∞ (3n − 1)!+ (3n − 2)!
4.1) lim
2) lim
n →∞
n 3 7n − 4 81n 8 − 1
(n + 4 n ) n 2 − 5
.
n ( n + 2 − n − 3).
3) lim
n →∞
4x 2 + 7x − 2
arctg 2x
. 6.1) lim
.
2
x →−2 3x + 8x + 4
x → 0 tg 3x
x3 + x − 2
tg(x + 2)
2)lim 3
. 2) lim
.
x →1 x − x 2 − x + 1
x →−2 x 2 − 4
18x 2 + 5x
4 +x −2
3) lim
. 3) lim
.
x →∞ 8 − 3x − 9x 2
x → 0 3 arctg x
5.1) lim
5) y = th5 4x ⋅ arccos 3x 4 + (ctg 7x )
6) y = (ln(5x − 4))arcctg x −
6x 2 − 5x + 2
2x − 16
.
4)
lim
.
x →∞ 4x 3 + 2x − 1
x → 4 sin πx
2x 3 − 3x + 1
e 2x − e x
5) lim
. 5) lim
.
x →−∞
x → 0 sin 3x − sin 5x
7x + 5
x +4−3
1−x
6) lim
.
6) lim
.
x →5 x − 1 − 2
x →1 log x
2
(
)
(
)
x + 1(x − 3)7
.
(x − 2)4 (x + 8)3
5
2) y = sin 2x + cos(x + 1), y (n ) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
1
7) lim(cos x )ln(1+ sin2 x ) .
x →0
до кривої в заданій точці:
1) y =
8) lim(sin
x )tg x tg 3x .
π
x→
.
11.1) sin y = x7 + 3xy. 2) y 2 = 2x sin y.
x = arcsin t, x = cos2 t,
yx′ = ?
12.
: 1)
2)
2
2
′′
yxx = ?
y = 1 − t . y = tg t.
13.1) y = (x 2 + 3) ln(x − 3), y (5) = ?
4) lim
2x − 1 3x
7) lim
.
x →∞ 2x + 4
3x − 4 x −1
8) lim
.
x →−∞ x + 6
x +3
−2(x 8 + 2)
, x = 1.
3(x 4 + 1) 0
2) x = a sin 3 t, y = a cos3 t, t0 = π .
6
2
34

38.

3) x = t 3 , y = (t + 1)2 , z =
t 2 + 1,
21.1)∫
M 0 (−8;1; 5).
2)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 2x 3 + 9x 2 + 12x .
16. max
min f (x ) = ?
[a ,b ]
1) y = e
2) y =
4 x −x 2
,[1; 3];
4x ,[−4;2].
4 + x2
17. Дослідити функцію і побудувати її
5−x
x2 + 2
dx
x −7
dx . 5)∫
2 + 3x − 2x 2
3x 2 − 2x + 1
dx
. 6)∫
.
(x + 1) x 2 + x − 1
( 3x + 1 + 2 )dx
dx
3)∫
x2
4)∫
dx
.
x x −7
. 7)∫
(x 2 − 1)3
.
3x + 1 + 2 3 3x + 1
8)∫
22.1)∫ ln(x 2 + 1)dx . 4)∫
графік:
1+ x
dx .
x7
arccos x
dx .
1−x
4
2)∫ x 2 sin2 xdx .
5)∫ (x + 3)sin 5xdx .
3)∫ xe x +2dx .
6)∫ arcsin 5xdx .
2
1) y = 6 3 (x − 2)2 − 4x . 5) y = 21 − x .
7x + 9
3
2) y = 3 (x + 6)x 2 .
6) y = x 2 .
9−x
2
3) y = (4 − x )e x −3 .
7) y = x − 1 .
x +1
1
4) y =
. 8) y = ln(x 2 + 1).
2
(sin x − cos x )
23. Обчислити інтеграли:
1)∫
ln(x + 1)
dx .
(x + 1)2
Знайти інтеграли (18—22):
2)∫
x2 + 3
dx
dx . 5) ∫
.
3
2
2
2
x − x − 6x
x
1
+
x
1
(
18.1)∫
5
2)∫
dx
3)∫
3 − 2xdx .
.
3x 2 + 1
xdx
.
2x 2 + 9
4)∫ e 4−3x dx .
5)∫
6)∫
7)∫
)
2
1
10
dx
.
3 − 2x
8
π
6
8)∫ sin(5x − 3)dx .
3)∫
0
dx
9)∫ 2
.
6x + 1
dx
10)∫
.
3
(x + 2) ln(x + 2)
5)∫
0
1
6
dx
.
3x − x + 1
2
2
arctg 2xdx
. 2)∫
1 + 4x 2
1
dx
5
4x − x 2 − 4
.
1) y = (x − 2)3 , y = 4x − 8.
x = 4 2 cos3 t,
2)
x = 2 (x ≥ 2).
y = 2 2 sin3 t,
3) ρ = 4 cos 3ϕ, ρ = 2 (ρ ≥ 2).
x4 + 1
x +2
dx .
6)∫ 3
dx .
x2 + 1
x − 2x 2 + x
dx
6 − 9x
3)∫ 2
. 7)∫ 3
dx .
x + 4x + 25
x +8
(x − 3)dx
x 4 + x 3 − 2x + 4
4)∫ 2
. 8)∫
dx .
x − 5x + 4
x4 −1
3)∫ sin 4x cos 2xdx . 6)∫
6)∫
кривими:
2)∫
5)∫
2
25. Обчислити площі фігур, обмежених
.
(x 2 + 6x + 5)(x + 3)
2)∫ cos2 2xdx .
dx
.
cos x
∞
( 4x + 32x + 52 )dx
4)∫ cos4 2x sin2 2xdx .
0
1
3
2
1) ∫
π
2
20.1)∫ tg3 7xdx .
x
4)∫ sin8 dx .
4
розбіжність:
tg x
3x − 1
dx .
4 − x2
2π
24. Обчислити інтеграли або довести їх
e
11)∫ sin 2x 3 cos 2xdx .
2 dx .
cos x
dx
dx
.12)∫
.
2
2
cos 4x tg 4x
(1 + x )arctg7 x
19.1)∫
dx .
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y 2 = 4 − x , x = 0, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої y 2 = 4 + x , x = 2
навколо осі Ox .
dx
.
3 cos2 x − 2
dx
.
4 cos x + 3 sin x
35

39.

Варіант 17
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
ln ( x − π ) ctg x . 3) lim
2
x →0
x → π +0
2
1) y = −3 sin ( 2x + π ). 4) y = tg ( 1 x − π ).
3
3
3
2) y = 1 arcsin ( x − 1 ). 5) y = 3x +2.
2
3
1
3) y = arcctg(x + 3). 6) y = − lg(3x − 2).
2
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 5;
2
tg x
2) lim ( x1 ) .
x →0
(z )
10
3
4
2
1) α(x ) = 2x − 1, β(x ) = tg x , x → 0.
(x − 1)3
, β(x ) = e x −1 − 1, x → 1.
ln x
3) α(x ) = 4 sin x 4 − x 5, β(x ) = ln(1 + x ),
2) α(x ) =
x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
x +1
1) f (x ) =
.
x −2
x ,
x ≤ 1,
2) f (x ) = (x − 2)2, 1 < x ≤ 4,
3 − x ,
x > 4.
z 2 , якщо:
z1 = −6 − 6i, z 2 = 1 − 3i, z 3 = 6 + 5i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z + 2i > 4, π < arg z ≤ π.
3
2) z − 5i < z + 2 , Re z > 1.
3) z 3 + 2z 2 + 8z − 32 = 0.
4
3) f (x ) = 5 3−x + 1 у точках x1 = 2, x 2 = 3.
Знайти границі (4—7):
(
Знайти похідні функцій (10—13):
)
n +2
2
4.1) lim
− .
n →∞ 1 + 2 + ... + n
3
3
2) lim
n →∞
n 3 − 7 + 3 n2 + 4
4
n5 + 5 + n
10.1) y =
2) y =
n(n 5 + 9) − (n 4 − 1)(n 2 + 5)
.
n →∞
n
5x 2 + 4x − 1
tg 3x − sin 3x
5.1) lim
. 6.1) lim
.
x →−1 3x 2 + x − 2
x →0
2x 2
4x 3 − 2x 2 + 5x
sin(x + 2)
2) lim
. 2) lim
.
2
x →0
x
→−
2
3x + 7x
x3 + 8
3x 4 − 6x 2 + 2
2 sin(π(x + 1))
3) lim 4
. 3) lim
.
x →∞ x + 4x − 3
x →0
ln(1 + 2x )
(x − 1)3 7 (x − 2)4
+ (log2 6x )arcsin 2x .
(x + 1)2 (x − 6)5
11.1) tg y = 4y − 5x . 2) sin(x + y ) = y 2 .
6) y =
11x 3 + 3x + 1
ln 2x − ln π
. 4) limπ
.
x →∞ 2x 2 − x − 7
x → sin 5x cos x
2
2
e sin 2x − e sin x
10x − 7
5) lim 4
. 5) lim
.
x →∞ 3x + 2x 3 + 1
x →0
tg x
( )
x −2
8) lim (
3x + 10 )
2
2 πx
− e x )ln(1+ tg 3 ) .
.
7) lim(2
.
8) lim(2e x −1 − 1)x −1 .
x →0
yx′ = ?
x = 3(t − sin t ), x = t ,
: 1)
2)
′′ = ?
y = 3(1 − cos t ). y = ln t.
yxx
13.1) y = (1 − x − x 2 )e 2x , y (5) = ?
x
2) y =
, y (n ) = ?
9(4x + 9)
1
3x
x →∞
12.
7 3x − 32x
6) lim
.
x → 0 tg x + x 3
−3 x
3
5) y = ch2 5x ⋅ arctg x − (th x )arctg 2x .
4) lim
2x − 4
7) lim
x →∞
2x
− sin 4x
4
− 3 x7 − e
.
3
x
(2x − 5)4
ln2 (x + 1)
ctg sin 1 − x 4 +
.
3
cos 3x 4
th 3 (2x + 2)
3) y = 3cos x arcsin2 3x −
.
arcsin 5x
log2 (x 2 + 1)
4) y = ln x ⋅ arccos 3x 4 +
.
5(x − 3)4
.
3) lim
x −3 −2
6) lim
.
x →7 x + 2 − 3
x →+0
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
;
z1 та
4) lim ( sin 2x )tg x .
8. Визначити порядок і головну частину
б) тригонометричну форму z 3;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
a x − a sin x
.
x3
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
до кривої в заданій точці:
x
x →1
1) y =
36
x5 + 1
, x = 1.
x4 + 1 0

40.

2 − sin x + 3 cos x
dx .
1 + cos x
1 + 3x
x +5
21.1)∫
dx . 5)∫
dx .
2
1 + 4x
3 − 6x − x 2
dx
dx
2)∫
. 6)∫
.
2
2x − 8x + 1
(x + 1) 1 + x − x 2
dx
dx
3)∫ 2 2
.
7)∫
.
3 (2x + 1)2 − 2x + 1
x x −1
2) x = a(t sin t + cos t ), y = a(sin t − t cos t ),
π
t0 = .
4
3) x = (t + cos t )2, y = t, z = sin t, M 0 (1; 0; 0).
3)∫ sin 3x cos 2xdx . 6)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 12x 2 − 8x 3 − 2.
5
8 ,[−3; −1].
1) y = x −
4
x
16. max
min f (x ) = ?
2
[a,b ]
2) y = − x + x8 ,[−4; −1].
2
17. Дослідити функцію і побудувати її
x +1
dx .
x x −1
ln x
22.1)∫ 3 dx .
x
4)∫
графік:
3 3 6(x − 5)2
.
x 2 − 6x + 17
2
2) y = 2x 2 − 1 .
x −2
1) y =
2
5) y = x 2 + 6 .
x +1
6) y = (x + 1)e .
2x
dx
.
3x + 5
2)∫
4
3)∫
dx
.
3x 2 + 2
5xdx
4)∫
5)∫
1 + 3xdx .
3 − 5x
dx
2
.
.
5x 2 − 1
6)∫ e 3−5x dx .
19.1)∫
5x − 2
dx .
x2 + 9
6)∫ ln(x − 7)dx .
π
0
2)∫
1
dx
.
4
x + x2
π
2
3)∫ ctg xdx .
π
6
x
x
cos2 dx .
2
2
3
2
5) ∫
1 − x 2dx .
1
2
4
3
6)∫
3
x 2dx
.
x 2 − 6x + 10
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
cos3 2x sin 2xdx .
∞
1)∫
dx
.
sin2 3x ctg3 3x
1
4dx
.
x (1 + ln2 x )
π
2)∫
π
2
sin xdx
7
cos2 x
.
25. Обчислити площі фігур, обмежених
3
arctg 2x
dx .
1 + 4x 2
( 2x 2 + 41x − 91 )dx
5)∫
.
(x − 4)(x 2 + 2x − 3)
12)∫
4)∫ (x − 4) cos 2xdx .
3)∫ xe −7x dx .
3
ln 4 (3x + 1)
8)∫
dx .
3x + 1
e 3x
9)∫ 3x
dx .
e −5
11)∫
dx .
5)∫ x 2 (cos 2x + 3)dx .
3
2
7)∫ sin(5 − 3x )dx .
10)∫
x 3 x2
1)∫ arctg(2x − 3)dx . 4)∫ 24 sin6
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫
1+ x
2)∫ arctg 2xdx .
2
4
3
3
23. Обчислити інтеграли:
(x − 4)(x + 2)2 . 7) y = 3x 3+ 1 .
x
−2(x +2)
4) y = e − sin x −cos x .
8) y = − e
.
2(x + 2)
3) y =
8)∫
кривими:
1) y = x 9 − x 2 , y = 0, x ∈ [0; 3].
x = 2 cos t,
2)
y = 2 (y ≥ 2).
y = 2 2 sin t,
3) ρ = cos 2ϕ.
4x 4 + 8x 3 − 1
x 4 − 2x 2 − 1
2)∫
.
6)
dx
∫ (x 2 + x )(x + 1) dx .
x2 + 1
( 4x − 10 )dx
dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
2x − 8x + 30
(x + 2)(x 2 − 2x + 10)
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
2x − 1
x 3 + 4x − 3
4)∫ 2
dx .8)∫
dx .
2x + 8x + 6
x 4 + 4x 2
2x
sin 3 x
20.1)∫ tg4 dx .
4)∫ 3
dx .
3
cos2 x
x
dx
.
2)∫ cos4 dx .
5)∫
2
2
7 cos x + 16 sin2 x
обертанням фігури, обмеженої кривими
x + y = 2, x = 0, y = 0, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої y 2 = 2x , x = 3 на2
вколо осі Ox .
37

41.

ex − 1 − x
.
x →0
sin 2x
Варіант 18
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim sin x ⋅ ln ctg x . 3) lim
1) y = 1 cos ( 3x − π ). 4) y = ctg ( 3x + 3π ).
2
3
4
x −1
2) y = 2 arccos(x + 2). 5) y = ( 1 ) .
5
3) y = 1 arctg(x − 1). 6) y = − ln(2 − x ).
3
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 + i 5;
2
2) lim(tg
x )tg 2x .
π
x →0
x→
(z )
10
3
1) α(x ) =
2
2) α(x ) = e 2x − cos 2x , β(x ) = arctg x , x → 0.
3) α(x ) = tg 2x − sin 2x , β(x ) = x ln(1 + x 2 ),
x → 0.
z1 та
4
9. Дослідити функцію на неперервність:
1
1) f (x ) =
x .
1 + e x −1
x ≤ −1,
x − 2,
2) f (x ) = x 2 − 1, −1 < x ≤ 2,
−x + 5, x > 2.
3x
3) f (x ) =
у точках x1 = 4, x 2 = 5.
x −4
Знайти похідні функцій (10—13):
z 2 , якщо:
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z − 1 + i > 2, 2π < arg z ≤ π.
3
2) z − 5 > z + 3i , Im z > 2.
3) z 3 − 2z 2 + 16 = 0.
Знайти границі (4—7):
3n + 2n
5 13
4.1) lim +
+ ... +
n →∞ 6
36
6n
n6 + 6 − n − 6
3) lim ( n(n + 5) − n ).
n →∞ 5
.
2
10.1)y = 3 x 5 − 54 + 3x −2 5x .
x
e −x
log2 (7x − 5)
2) y = 4x 2 + 5 ctg 2 −
.
tg x
.
cth2 (3x − 1)
.
arccos x 2
6 log3 (2x + 9)
4) y = log2 x arctg3 4x −
.
(x + 4)2
n →∞
3) y = e cos x ctg 8x 3 +
x 2 − 4x − 5
1 − sin 2x
. 6.1) limπ
.
x →−1 3x 2 + 2x − 1
x→
4 π − 4x
5.1) lim
4x 4 − 5x 2 + 1
arcsin 2x
. 2) lim
.
2
x →1
x
→
0
tg 4x
x −1
2) lim
arcsin 7x
5) y = cth 4 2x ⋅ arctg 3 x + ( cth x1 )
.
8x 2 + 4x − 5
cos 2x − cos x
. 3) lim
.
x →∞ 4x 2 − 3x + 2
x →0
1 − cos x
8x 2 + 3x + 5
ln tg x
4) lim
. 4) limπ
.
3
2
x →∞ 4x − 2x + 1
x → cos 2x
4
3) lim
11.1) y = 7x − ctg y. 2)
e 4x − e 2x
5x 4 − 3x 2
. 5) lim
,
2
x →−∞ 1 + 2x + 3x
x → 0 2 tg x − sin x
4x − 3 − 3
2x − 2
6) lim
.
6)lim
.
x →3
x →1 ln x
x2 − 9
2
x + 5 3x + 4
7) lim
. 7) lim(3 − 2 cos x )cosec x .
x →∞
x →0
x
6x +1
1
2x − 3
π
8) lim
. 8) limπ ( tg x )x − 2 .
2
x →−∞ x + 4
x→
2
12.
yx′ = ?
x = sin t − t cos t, x = sin t,
: 1)
2)
y = cos t + t sin t. y = ln cos t.
′′ = ?
yxx
13.1) y = (x 2 − 2x )sin 5x , y (6) = ?
2) y = lg(1 + x ), y (n ) = ?
)
(
(x − 2)2 5 (x + 1)2
.
(x − 3)4 (x − 4)3
x + y = arcsin y .
6) y = (lg(4x − 3))arccos 4x −
5) lim
(
1 + tg2 2x − 1, β(x ) = arctg x ,
x → 0.
;
n6 + 4 + n − 4
x →1
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
z1 = 7 − 7i, z 2 = 2 3 + 2i, z 3 = −5 + 4i.
2) lim
4
8. Визначити порядок і головну частину
б) тригонометричну форму z 3;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
1
4)lim(x − 1)e 2x −1.
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
)
до кривої в заданій точці:
1) y =
38
x 16 + 9
, x = 1.
1 − 5x 2 0

42.

2) x = t + 1 , y = 1 − t , t0 = −1.
t
t
3) x = sin t, y = cos2 t, z = sin t cos t,
(
M0
21.1)∫
2)∫
)
1 ;1;1 .
2 2 2
кції y = (2x − 1)2 (2x − 3)2 .
16. max
min f (x ) = ?
[a ,b ]
x2 − 9
dx .
x2
x 3dx
.
x −7
1) y = e x + e−x ,[−1;2].
4)∫
2) y =
22.1)∫
3
2x 2 (x − 6),[−2; 4].
17. Дослідити функцію і побудувати її
. 6)∫
3x 2 + x − 5
dx
.
(x − 1) x 2 + x + 1
x −3x
dx .
3 x − 6 x −1
1+ 3 x
dx .
8)∫
x x
x arctg x
x ln2 xdx ; 4)∫
dx .
1 + x2
7)∫
5) y = x ln x .
3)∫ arcsin 2xdx .
6)∫ x cos(x + 6)dx .
4x .
4 + x2
3
3) y = 3 (x − 1)2 − 3 (x − 2)2 .7) y = 2 ln x +
x .
4x .
4) y = 3 sin x .
8) y =
(x + 1)2
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
2)∫
2) y = 2 + 3 8x (x + 2).
dx
.
3 − 5x
2dx
.
7 − 2x 2
xdx
.
3x 2 + 8
6) y =
18.1)∫
7)∫
2)∫
8)∫ sin(3x + 6)dx .
3)∫
4)∫ e1−4x dx .
5)∫
tg 6x
dx .
cos2 6x
9)∫
10)∫
3
3
2
x 7dx
1)∫
.
1 − x4
2
3
0
3)∫
4)∫
4)∫
2)∫ cos 4 3xdx .
5)∫
3)∫ cos x cos 7xdx . 6)∫
−π
2
2
2
dx
x + 1 + (x + 1)3
.
розбіжність:
∞
dx .
1)∫
0
dx
3
x +5
2
0
.
2)∫
−3
4
dx
.
4x + 3
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) y = 4 − x 2, y = x 2 − 2x .
x = 4(t − sin t ),
2)
y = 4(1 − cos t ),
y = 4, (0 < x < 8π, y ≥ 4).
4x 4 + 8x 3 − 1
dx .
(x 2 − 1)(x + 1)
5
5) ∫ 28 sin 4 x cos4 xdx .
24. Обчислити інтеграли або довести їх
dx
(x 2 + 23)dx
.
7)
∫ (x + 1)(x 2 + 6x + 13).
3x 2 − 9x + 6
( 2 − x ) dx
7x − 2
. 8)∫
dx .
2
4x + 16x − 9
(x − 1)2 (x 2 + 4)
20.1)∫ ctg 4 2xdx .
(9 +
3.
x 2 )2
xdx
. 6)∫
−
7
+
13
x
x
3,5
0
cos 4x
dx
11)∫
.
(x − 3) ln 4 (x − 3)
6)∫
0
0
dx
3)∫
x2
6)∫
12)∫
dx .
7 + 3x 3
( 2x 2 + 5x + 5 )dx
10x + 5
19.1)∫
dx
.
5)
∫ (x + 2)(x 2 + 2x − 3).
5x 2 + 1
x4 + 2
dx .
x2 − 4
4)∫ (x + 3)sin xdx .
5
arctg6 3x
dx .
1 + 9x 2
2)∫
π
2
3
1 + 3xdx .
dx
.
3x 2 − 5
sin 4x
dx .
2)∫ (x 2 + 2)e −xdx . 5)∫ (x − 4)cos 2xdx .
графік:
3
2
1) y = 2x − 3x −22x + 1 .
1 − 3x
1−x
dx
2x + 4
dx . 5)∫
2
x 2 − 5x + 6
3)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
5 − 4x
3) ρ =
3 cos ϕ, ρ = sin ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ π ).
2
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = 3 sin x , y = sin x , y = 0, 0 ≤ x ≤ π, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої 3y = x 3 (0 ≤ x ≤ 1)
cos4 x sin 3 xdx .
dx
.
1 + 3 cos2 x
dx
.
5 + sin x + 3 cos x
навколо осі Ox .
39

43.

sec2 x − 2 tg x
. 3) lim x ln x .
x →+0
x→
4 1 + cos 4x
Варіант 19
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) limπ
1) y = − 1 sin ( 3x − 2π ).4) y = tg ( 1 x − π ).
2
3
2
12
x +1
2) y = 2 arcsin(x − 2). 5) y = ( 1 ) .
3
3) y = 3 arcctg(x + 1). 6) y = − lg(3x + 2).
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
2. Знайти:
1) α(x ) = e 3x − cos2 x 3, β(x ) = arcsin x , x → 0.
2) lim(ctg x )sin x .
4) lim
x →0
x →0
1
x2
( )
tg x
x
.
8. Визначити порядок і головну частину
5
z
2) α(x ) = ln(2x 2 − 3x − 8), β(x ) = x − 3,
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 7 ;
2
б) тригонометричну форму z 3 ;
( )
z
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
10
x → 3.
3) α(x ) = ln(1 + x 3 sin 3 x ), β(x ) = tg x , x → 0.
;
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
9. Дослідити функцію на неперервність:
x
1) f (x ) =
.
tg x
x + 2, x ≤ −2,
2) f (x ) = x 2,
−2 < x ≤ 1,
2,
x > 1.
3) z 3 − 5z 2 + 10z − 12 = 0.
3) f (x ) =
3
z1 та
4
z 2 , якщо:
z1 = 2 + 2i, z 2 = −2 + 2 3i, z 3 = −4 − 3i.
1) z − 1 + i > 3, π < arg z ≤ π.
2
2) z + 5i < z − 2 , Re z < 3.
Знайти границі (4—7):
Знайти похідні функцій (10—13):
2 + 5 + ... + 2n + (2n + 3)
4.1) lim
.
n →∞
n(n + 3)
2) lim
n →∞ 3
3) lim
n →∞
4n 2 − 4 n 3
n 6 + n 3 + 1 − 5n
2x
у точках x1 = 1, x 2 = 2.
x −1
2
−x
x 5 + 43 + 2 e
.
x
(x − x + 4)2
log3 (4x − 2)
tg ln 2 − 2x 2 −
ctg 2x
10.1) y =
.
2) y =
n 3 + 8( n 3 + 2 − n 3 − 1).
sh5 x .
arccos 4x
3 log2 (5x − 4)
4) y = lg(x − 2) ⋅ arcsin5 x −
.
(x − 3)5
3) y = cos5 x ⋅ arccos 4x +
7x 2 + 4x − 3
cos 4x ⋅ sin2 4x
.
6.1)
lim
.
x →−1 2x 2 + 3x + 1
x →0
3x 2
3x 2 − 5x − 12
x 3 − 64
2) lim 2
. 2) lim
.
x → 3 x − 5x + 6
x → 4 tg(x − 4)
5.1) lim
5) y = sh 4 5x ⋅ arccos 3x 2 + (cos x )arcsin(3x −2).
8x 4 − 4x 2 + 3
1 + x −1
. 3) lim
.
x →∞
x → 0 sin(π(x + 2))
2x 4 + 1
3) lim
6) y = (ln x )arctg 5x −
6x 3 + 5x 2 − 3
eπ − ex
.4) lim
.
2
x →−∞ 2x − x + 7
x →π sin 5x − sin 3x
5x + 3
32x − 7x
5) lim 3
.
5)
lim
.
x →∞ x − 4x 2 − x
x → 0 arcsin 3x − 5x
5x + 1 − 4
e sin 2x − e tg 2x
6) lim 2
.
6) limπ
.
x → 3 x + 2x − 15
x→
ln ( 2πx )
2
11.1) xy − 6 = cos y.
4) lim
( xx −+ 71 )
x +3
8) lim (
3x − 1 )
4x −2
7) lim
x →∞
7) lim ( 2 − 3
.
8) lim ( 2e x −1 − 1 ) x −1
2x
x →−∞
x = sin 2t, x = t + sin t,
: 1)
2)
2
y = 2 + cos t.
′′
yxx = ?
y = cos t.
yx′ = ?
)
2) y =
.
x
, y (n ) = ?
x +5
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
3x −1
x →1
2) y 3 − 3y + 4x = 0.
13.1) y = (x + 7)ln(3x + 4), y (5) = ?
1
sin2 x ln cos x
.
x →0
12.
(x + 1)2 x 2 + 2x
.
(x + 3)7 (x − 4)2
до кривої в заданій точці:
.
1) y = 3( 3 x − 2 x ), x 0 = 1.
2) x = 1 − t 3, y = t − t 3, t0 = 2.
40

44.

3) x = 2t − 1, y = −3t + 2, z = t 2 + 1,
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності функції y = 27 (x 3 − x 2 ) − 4.
4
1) y = x ln x , [ e −2 ;1 ].
16. max
min f (x ) = ?
2x (2x + 3)
[a ,b ]
2) y = 2
,[−2;1].
x + 4x + 5
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
2
1) y = 6x − 6 − 9 3 (x − 1)2 . 5) y = x − 11 .
4x − 3
3
(x + 1)(x − 2)2 .
3)∫
14dx
.
2x 2 − 7
5xdx
5x 2 + 3
4)∫ e 2−5xdx .
5)∫
1)∫ x ln xdx .
1
(3 − x )5
.
.
2
3)∫
4)∫
(2x − 1)dx
x + 2x + 4x − 2
.8)∫
dx .
2
3x − 6x − 9
x 4 + 3x 2 − 4
3)∫
sin 2x
dx .
cos3 2x
6)∫
3x − 2
1 − ex
dx
.
6)
∫ 1 + e x dx .
x 2 − 4x + 5
ln 3
5)∫
2
0
2
7dx
1) ∫ 2
. 2)∫
(
x
−
4
x
)ln
5
−∞
1
xdx
.
(x − 1)3 ln 2
2
25. Обчислити площі фігур, які обмежені
кривими:
(
)
1) y = sin x cos2 x , y = 0 0 ≤ x ≤ π .
2
3
x = 16 cos t,
2)
x = 2 (x ≥ 2).
y = 2 sin 3 t,
3) ρ = 4 sin 3ϕ, ρ = 2 (ρ ≥ 2).
6)∫
5)∫
x2 − 4
dx .
x
3)∫
−1
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
2
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = 5 cos x , y = cos x , x = 0, x ≥ 0, навколо
осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої ρ2 = 4 cos 2ϕ навколо полярної осі.
20.1)∫ ctg4 2xdx . 4)∫ sin 4 2x cos2 2xdx .
2)∫ sin 4 2xdx .
π
2
4
розбіжність:
arctg3 x
6)∫ e
xdx .
12)∫
dx .
1 + x2
1 − 2x
(x 2 + 10x + 17)dx
19.1)∫ 2
dx . 5)∫ 2
.
3x + 2
(x + 8x + 15)(x + 1)
2x 4 + x 3 − x 2 − 1
dx .
x3 + x2
dx
(2x 2 + 7x + 7)dx
.
7)
.
2x 2 − 2x + 5 ∫ (x − 1)(x 2 + 2x + 5)
4)∫ 28 sin2 x cos6 xdx .
24. Обчислити інтеграли або довести їх
2 − 3x
dx
10)∫
.
(x + 5)ln 3 (x + 5)
3
5)∫ (x + 4) cos 3xdx .
dx
.
4
x −1
2
dx
dx
. 11)∫ sin3 5x cos 5xdx .
2
sin x ctg3 x
x3 − 3
dx .
x +5
dx .
2)∫
2
3
5x 2 − 3
2)∫
x 9 x4
π
2
3
dx
9)∫
1+ 3 x
3
4)∫ arcsin 2xdx .
e
8)∫ cos(5x − 8)dx .
.
8)∫
23. Обчислити інтеграли:
3
Знайти інтеграли (18—22):
2)∫
.
(x − 1) x 2 − x + 1
xdx
7)∫
.
1− 4 x
x4 .
x −1
8(x − 1)
8) y =
.
(x + 1)2
7) y =
7)∫
6)∫
dx .
3)∫ x sin(x + 7)dx . 6)∫ (x 2 + 3) sin xdx .
4) y = ln(− sin x − cos x ).
18.1)∫
x 2 − 5x + 1
dx
6) y = (x − 1)e 3x +1.
3) y = (2x − 1)e 2(1−x ).
dx
.
5 + 4x
7x − 2
dx . 5)∫
x2 − 3
dx
2)∫
.
3x − 2x 2
dx
3)∫ 3 2
.
x x −1
x 2dx
4)∫
.
x −4
1−x
22.1)∫ ln
dx .
1+x
x
2)∫ arctg dx .
2
M 0 (9; −13;26).
2) y =
5x − 1
dx
.
2 sin x + 3 sin x cos x − 1
dx
.
5 + 3 cos x + 4 sin x
2
41

45.

(
7.1) lim
1) y = 2 cos ( 2x + π ). 4) y = ctg ( 1 x + π ).
4
3
12
x
+
2
2) y = 1 arccos(x + 3). 5) y = 2 .
3
3) y = 1 arctg(x + 2). 6) y = ln(2x + 3).
2
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z1 + 2z 3 − i 3 ;
2
2) lim (ln x )x .
1
( )
z
в), г) (z1z 2 ) та z1
2
10
д), е) всі значення
3
4
x →0
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) =
1 + x 6 − 1, β(x ) = e 6x − 1, x → 0.
2) α(x ) = x1 sin x1 , β(x ) = arctg 1 , x → ∞.
x +1
x
3) α(x ) = ln cos 6x , β(x ) = e − 1, x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
x
1) f (x ) =
.
arctg x
;
z1 та
4) lim ( 4x − 1 )x .
x →∞
б) тригонометричну форму z 3 ;
8
z 2 , якщо:
x ≤ 1,
x ,
2) f (x ) = (x − 2)2 , 1 < x ≤ 3,
−x + 6, x > 3.
z1 = −3 + 3i, z 2 = − 3 − i, z 3 = 3 − 2i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) z + 1 − i > 2, π < arg z ≤ 3π .
4
4
2) z + 5 > z + i , Im z < 1.
3
3) f (x ) = 2x +2 у точках x1 = −2, x 2 = −1.
3) z 3 + 2z 2 − 2z + 3 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
Знайти границі (4—7):
4x
10. a)y = 74 + 3 x 7 − e
.
x
(3x + 5)3
(2n + 1)!+ (2n + 2)!
.
n →∞ (2n + 3)!− (2n + 2)!
4.1) lim
2) lim
n 4 11n + 25n 4 − 81
n →∞ (n
− 7 n ) n2 − n + 1
2) y =
5) y = ch 3 9x ⋅ arctg 3x − x arccos(3x −1).
6) y = (lg 2x )arcsin x −
)
)
2) x 3 + cos3 xy = 3.
x = e 3t ,
x = t − sin t,
11.
: 1)
2)
3t
′′
yxx = ?
y = 3t + e . y = 2 − cos t.
14.1) y = (3x − 7)3−x , y (5) = ?
yx′ = ?
2) y =
5x + 1
, y (n ) = ?
13(2x + 3)
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі
2
7) lim x 2 − cos x .
x →0
до кривої в заданій точці:
8) lim(1
+ cos 3x )
π
sec x
x→
(x + 1)2 3 (x − 2)4
.
(x − 5)3 (x + 1)7
11.1) 3y = 7 + xy 3 .
x +2− 2
.
sin 3x
x →0
ch3 x .
arctg 5x
log5 (x 2 + x )
4) y = log 3 x arctg 7x +
.
7(x + 3)3
e 2x − e −5x
3x 4 + 5x
.
5)
lim
.
x →−∞ 2x 2 − 3x − 7
x → 0 2 sin x − tg x
6) lim
ln3 (5x − 5)
.
tg x1
5
5) lim
(
(
ctg cos 5 − 4x 2 +
3) y = sin 3 7x ⋅ arcctg 5x 2 −
(n 3 + 1)(n 2 + 3) − n(n 4 + 2)
.
n →∞
2 n
3x 2 − 3x − 4
1
1
5.1) lim 2
.6.1) lim
−
.
x → 4 x − x − 12
x → 0 sin 2x
tg 2x
x 2 − x − 30
cos 2x − cos 4x
2) lim
. 2) lim
.
3
x →−5 x + 125
x →0
3x 2
3x 2 − 4x + 2
sin(5(x + π))
3) lim 2
. 3) lim
.
x →∞ 6x + 5x + 1
x →0
e 3x − 1
3x 2 + 4x − 7
ln(9 − 2x 2 )
4) lim 4
.
4)
lim
.
x →∞ x − 2x 3 + 1
x →2 sin 2πx
2 − x2 + 4
.
x →0
3x 2
x + 2 3−2x
7) lim
.
x →∞
x
6x + 5
8) lim
.
x →∞ x − 10
3
.
3) lim
6) lim
)
3 + ln x
1
1
. 3) lim
− 2 .
x →+0 2 − 3 ln sin x
x → 0 x sin x
x
Варіант 20
1. Побудувати графіки функцій:
.
1) y =
2
42
1
, x = 2.
3x + 2 0

46.

2) x = ln(1 + t 2 ), y = t − arctg t, t0 = 1.
3) x = cos t, y = sin t, z = ln cos t, M 0 (1; 0; 0).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 1 x (12 − x 2 ).
8
16. max
min f (x ) = ?
[a ,b ]
1) y = x 3e x +1,[−4; 0].
2) y =
2(x 3 + 2)
,[−5;1].
x 2 + 2x + 5
2
2) y = 2x 2 − 9 .
x −1
4)∫
ln (x − 5)
dx . 10)∫
x −5
5)∫
ctg 4x
dx .
sin2 4x
6)∫ e
19.1)∫
dx .
1)∫ (x
8 − 3x
cos 5x
3
2
xdx
.
x3 −1
−1
2)∫
1 + 3 x2
x 9 x8
dx .
dx .4)∫ (x 2 − x + 1)ln xdx .
4)∫ 24 cos8 xdx .
dx
2
3
)2
.
2
3)∫ sin xdx .
.
π
(1 − x
−1
2
(x − 1)2 dx
.
x 2 + 3x + 4
3
6)∫
5
−
2
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
dx .
1
3
∞
πdx
dx
1)∫
. 2)∫ 2
.
2
2
(1 + 9x )arctg 3x
9
x
−
9
x
+
2
1
0
3
25. Обчислити площі фігур, обмежених
xdx .
кривими:
1 − 3x
6x 2dx
.
5)
dx
∫ (x 2 + 3x + 2)(x − 1).
4x 2 − 1
1) y =
4 − x 2 , y = 0, x = 0, x = 1.
x = 2 cos t,
2)
y = 3 (y ≥ 3).
y = 6 sin t,
x3 + 1
x 3 − 4x 2 + 2x − 1
dx .
6)∫
dx .
2
x +1
x 3 − x2
dx
(x 2 + 3x − 6)dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
2x − 3x − 2
(x + 1)(x 2 + 6x + 13)
(2x − 1)dx
.
3 + x − 2x 2
3
8)∫
5)∫
π
2
2)∫
3) ρ = 2 cos ϕ, ρ = 2 3 sin ϕ, ( 0 ≤ ϕ ≤ π ).
2
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
4x 2 − 2
dx .
x4 − x2
cos3 2xdx
20.1)∫ ctg3 3xdx . 4)∫ 3
.
sin2 2x
sin 2xdx
2)∫ cos3 (1 − x )dx . 5)∫
.
sin2 x + 4 cos2 x
2 + sin x
dx .
3)∫ cos 3x cos 5xdx . 6)∫
1 + cos x
4)∫
.
3x + 1 − 3 3x + 1
0
1
2
0
sin 5x
dx
11)∫
.
2
(1 + x ) arctg x
12)∫ e
−x
− 2)e 3dx .
0
dx
5−2x 2
2
−3
8)∫ cos(3x − 7)dx .
3
6x − 4
0
dx
.
6 − 3x
9)∫
( 6 3x + 1 + 1 )dx
7)∫
x +4
dx .
x
x arcsin 2x
1 − 4x
.
(x − 1) x 2 + x − 1
23. Обчислити інтеграли:
3) y = ln(x 2 − 2x + 6). 7) y = − e
.
x +2
sin x − cos x
4) y =
. 8) y = 3 (x − 3)x 2 .
2
Знайти інтеграли (18—22):
7)∫
9 − x2
dx .
x4
6)∫
dx .
3)∫ x cos(x − 4)dx . 6)∫ ln(x + 8)dx .
−(x +2)
dx
18.1)∫ 3
.
3+x
dx
2)∫ 2
.
8x + 9
xdx
3)∫ 2
.
3x − 6
3)∫
.
4x 2 + x − 5
dx
2)∫ (x 2 − 3)cos xdx . 5)∫ (x + 8)sin 3xdx .
2
5) y = x − 3x + 2 .
x +1
3
6) y = 1 − 22 x .
x
x 2 + 6x + 8.
2x 2 − x + 3
22.1)∫
графік:
3
16 − x
dx
x −8
dx . 5)∫
2
2)∫
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
1) y =
2x − 4
21.1)∫
8)∫
обертанням фігури, обмеженої кривими
π
y = sin2 x , x = , y = 0, навколо осі Ox .
2
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
ної обертанням кривої ρ = 6 sin ϕ навколо полярної осі.
43

47.

6
x 50 − 50x + 49
1+2 ln x .
.
3)
lim
x
x → 0 x 100 − 100x + 99
x →∞
Варіант 21
7.1) lim
1. Побудувати графіки функцій:
cos πx
2 .
2) lim(1 − e 2x − 2x ) ctg x . 4) lim(1 − x )
1) y = −3 sin ( 1 x + π ).4)y = tg ( 1 x − π ).
2
3
4
24
x −2
2) y = 2 arcsin(x − 3). 5) y = 2 .
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
3) y = − arcctg(x − 2). 6)y = − ln(3x − 2).
1) α(x ) = e x − cos 2x 5 , β(x ) = arctg x , x → 0.
2. Знайти:
2) α(x ) =
x →0
9
z
(z )
10
3
x + 1 − x , β(x ) =
x → ∞.
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 9 ;
2
б) тригонометричну форму z 3 ;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
x →1
1 ,
x +1
3) α(x ) = ln 1 + x 4 sin6 x , β(x ) = tg x , x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
;
2
.
1 − 2x
cos x ,
2) f (x ) = 1,
2x − 5,
1) f (x ) =
z1 та 4 z 2 , якщо:
z1 = −4 − 4i, z 2 = 3 − 3 3i, z 3 = 2 + i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z − 1 < 3, π < arg z < 3π .
4
4
2) z − i < z + 2 , Re z > 2.
x < π,
4
π < x < 3,
4
x ≥ 3.
3
3) f (x ) = 4 x −2 + 2 у точках x1 = 2, x 2 = 3.
3) z 3 + z 2 + 3z − 18 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
Знайти границі (4—7):
ctg 5x
10.1) y = 3 x + 45 + e
.
x
(3x − 5)4
4.1) lim
n →∞
n →∞
n →∞
lg(x + 2)
.
sin 2x 5
th2 (x + 3)
3) y = ln(x + 9)arcctg 3 2x 2 +
.
arcctg x
2) y =
n + 3 − 3 8n 3 + 3
.
4 n + 4 − 5 n5 + 5
2) lim
3) lim
1 + 2 + ... + n
.
n − n2 + 3
(
n 4 + 3n 2 − (n 2 − 1)(n 2 − 2) ) .
log7 (2x 2 + 5)
4) y = x − 4 arcsin 5x −
.
(x − 4)2
1
5) y = th 4 x ⋅ arcctg x1 + (cos(2x − 1))arctg x .
2x 2 − 9x + 10
ln(1 + 4x 3 )
.
6.1)
lim
.
x →2 2x 2 + 3x − 10
x →0
2x 3
x 2 + 3x − 28
cos2 x − cos2 2x
2) lim
.
2)
lim
.
x →4
x →0
x 3 − 64
x2
7x 3 + 4x
1 − cos x
3) lim 3
.
3) lim
.
x →0
x →∞ x − 3x + 2
x sin x
8x − 4x + 3
1−2
.4) lim
.
3
x →−∞ 2x + x − 7
x →2 2( 2x − 2)
x = t 3 ln t, x = cos t,
12.
: 1)
2)
2
′′ = ?
yxx
y = t ln t. y = ln sin t.
13.1) y = (x 2 − 3) ln(2x + 5), y (5) = ?
yx′ = ?
1
2x 2 − 5x + 3
2
x 2 +1 .
.
5)
lim(ln
ex
)
x →∞ 3x 4 − 2x 2 + x
x →1
5) lim
x2 + 4 − 2
x 2 + 16 − 4
2 − 3x x
7) lim
.
x →∞ 5 − 3x
x →0
(
8) lim
x →−∞
.
)
(
3x + 7
x +4
)
45x − 9−2x
.
x → 0 sin x − tg x 3
6) lim
.
2) y = a 2x + 3, y (n ) = ?
2
5 ctg
7) lim ( 6 − cos
x)
x
x →0
4x
8) lim(2e
x →2
x −2
(x + 4)3 (x − 2)4
.
(x + 1)2 3 (x − 2)5
y
11.1) y 2 = x + ln x . 2) e x + y = e y + x .
4) lim
6) lim
4
6) y = (sin 8x )cth(x +3) −
4−x 2
3
5x 2 − tg 4 −
3
5.1) lim
5
4
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
.
3x + 2
− 1) x −2 .
1) y =
44
x
, x = −2.
x +1 0
2

48.

2) x = t(1 − sin t ), y = t cos t, t0 = 0.
21.1)∫
3) x = 20t, y = 16t 2, z = t 3, M 0 ( 10; 4; 1 ).
8
15. Знайти проміжки монотонності функції y = 1 x 2 (x − 4)2 .
16
2)∫
3)∫
1) y = x − 2x + 2 ,[−1; 3].
x −1
max
16. min f (x ) = ?
2
3
[a ,b ]
2) y = 2(x − 1) (x − 4),[0; 4].
2
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
3 3 6(x + 1)2
.
x 2 + 8x + 24
3
2
2) y = x − 2x − 3x + 2 .
1 − x2
(
)
3)∫
4)∫
dx
.
7x 2 − 4
dx
.
5x 2 + 1
5)∫ e
6)∫
5x −7
dx .
3
tg 5x
dx .
cos2 5x
19.1)∫
1)∫ (x − 1) ln xdx .
1
3
2)∫
x 9 x5
arccos x
dx .
1+x
4)∫
dx .
5)∫ (x + 6) cos 4xdx .
.
4x 2 + 3
ln(2x − 1)
9)∫
dx .
2x − 1
sin x
10)∫ cos x dx .
e
3 − x dx .
0
3x 2 + 2x − 3
dx .
x3 − x
5)∫
2
dx
3)∫ 2
.
4x + 4x + 5
1
−
4)∫ sin 8 xdx ;
3
2
0
1
2
4xdx
2
ln 5 x
6) ∫
0
e
ex − 1
dx .
ex + 3
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
11)∫ cos 2x sin 2xdx .
1)∫
7
0
dx
.
2
(1 + x )arctg3 x
x 2dx
.
3 (x 3 + 8)4
1
2)∫
1
4
dx
.
20x − 9x + 1
2
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
x −5
6x 4dx
dx
.
5)
∫ (x 2 − 1)(x + 2).
3 − 2x 2
1) y = x 2 4 − x 2 , y = 0 (0 ≤ x ≤ 2).
x = 2(t − sin t ),
2)
y ≥ 3 (0 < x < 4π).
y = 2(1 − cos t ),
3) ρ = sin 3ϕ.
1 − 2x 4
6x − 2x 2 − 1
dx
.
6)
∫ x 3 − 2x 2 + x dx .
x2 + 1
dx
(4x 2 + 38)dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
2x − 6x + 11
(x + 2)(x 2 − 2x + 10)
(x − 4)dx
.
3x 2 + x − 2
(1 + 3 x )2
3
8)∫
2π
2
2)∫
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
x = 3 y − 2, x = 1, y = 1 , навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої x = t − sin t,
y = 1 − cos t (0 ≤ t ≤ 2π) навколо осі Ox .
2x 3 − 2x − 5
dx .
x 4 + 3x 2 − 4
sin3 2x
20.1)∫ ctg 4 xdx .
4)∫ 3
dx .
cos2 2x
dx
2)∫ sin4 4xdx .
5)∫
.
2
7 cos x + 16 sin2 x
dx
3)∫ cos 2x cos 5xdx . 6)∫
.
3 + cos x + sin x
4)∫
x ln xdx .
.
(x − 1) x 2 − x − 1
xdx
7)∫
.
x − 43 x2
23. Обчислити інтеграли:
7)∫ sin(4 − 2x )dx .
12)∫
x 3dx
.
x +2
dx .
x
3)∫ x sin(x + 4)dx . 6)∫ arctg dx .
5
Знайти інтеграли (18—22):
8)∫
2 + 3x − x 2
dx
. 6)∫
2)∫ (x 2 + 1)e −xdx .
6) y = ln 1 − 12 .
x
3) y = 3 (x − 2)2 − 3 (x − 3)2 .7) y = 2 4
x + 2x − 3
− 2 sin x
4). y = e
.
8) y = 2 ln 2 .
x −4
dx
18.1)∫ 3
.
2+x
dx
2)∫
.
2 − 5x
3x 2 + 1
dx
3x + 4
dx . 5)∫
2 − x − 2x 2
dx
.
x2 x2 + 9
22.1)∫
2
5) y = x − 3x + 2 .
x +1
1) y = −
5−x
8)∫
45

49.

ln x − x + 1
. 3) lim x 2e−0,01x .
x →1
x →∞
xx − 1
Варіант 22
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
1) y = −3 cos ( 2x − π ). 4) y = ctg ( 1 x + 2π ).
6
2
3
x +1
2) y = 3 arccos(x + 1). 5) y = 5 .
1
2) lim ( 1 − e x )x .
x →∞
1
4) lim ( arcsin x )2 +ln x .
x →0
3) y = −2 arctg(x + 3).6) y = 2 lg(2x − 4).
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
2. Знайти:
1) α(x ) =
x → 0.
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 6;
2
б) тригонометричну форму z 3;
(z )
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
10
3
x +1
1
, β(x ) = , x → ∞.
4
x
x +1
3) α(x ) = 2x sin 3 x , β(x ) = e x − 1, x → 0.
2) α(x ) =
;
9. Дослідити функцію на неперервність:
z1 та 4 z 2 , якщо:
x
.
cos x
−x ,
x ≤ 0,
2) f (x ) = x 3,
0 < x ≤ 2,
x + 4, x > 2.
1) f (x ) =
z1 = 5 − 5i, z 2 = 2 3 + 2i, z 3 = −2 − 3i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z + 1 < 4, π < arg z < π.
2
2) z + i > z − 2 , Im z > 3.
3) z 3 + 4z 2 + 6z + 4 = 0.
2
3) f (x ) = 3x +1 − 2 у точках x1 = −1, x 2 = 0.
Знайти границі (4—7):
Знайти похідні функцій (10—13):
n2 + n − 1
4.1) lim
.
n →∞ 2 + 7 + ... + (5n − 3)
3
2) lim
n →∞ 5
n2 − n2 + 5
n7 − n + 1
.
2) y =
(n 5 + 1)(n 2 − 1) − n n(n 4 + 1)
.
n →∞
n
4x 2 + x − 5
arcsin 5x
5.1) lim 2
. 6.1) lim 2
.
x →1 x − 2x + 1
x →0 x − x
8x 3 − 1
arctg 5x
2) lim
.
2) lim
.
2
1
1
x
→
0
x
tg
2
x→ x −
2
4
1 + 4x − x 4
arcsin 2x
3) lim
. 3) lim −3x
ln 2.
2
4
x →∞ x + 3x + 2x
x →0 2
−1
3 x −1
2x 2 − 7x + 1
4) lim 3
.
4)lim
.
x →∞ x + 4x 2 − 3
x →1 4 x − 1
2
4) y = lg(x + 2)arcsin2 3x +
( )
x −1
8) lim (
4x + 5 )
)
.
.
ln(2 + cos x )
8) lim sin x
.
x →π (3
− 1)2
3x
x →∞
(
1
sin2 x
2 ln(3x − 10)
.
(x + 5)7
5) y = cth 3 4x ⋅ arcsin(3x + 1) − (tg 3x 4 ) x .
6) y = (cos 4x )th(x −7) +
(x − 1)6 (x + 2)3
(x + 1)2 5 (x + 3)2
.
11.1) xy 2 − y 3 = 4x − 5. 2) tg xy = e x + e y .
12.
2x 5 − x 3
e 3x − e 2x
.5)
lim
.
x →−∞ 4x 2 + 3x − 6
x → 0 sin 3x − tg 2x
3x
1 − cos x
6) lim
. 6) lim
.
x →0 5 − x − 5
x → 0 1 − cos x
2
7) lim 3 −
x →0
cos x
5
3) y = cos 5 x ⋅ arctg x 4 − arcsin 3x .
ch(x − 5)
5) lim
3x −1
(2x − 3)7
x 3 − 45 −
.
x
e − 2x
tg 3 7x
cos ln13 + x 2 +
.
ln(3x + 2)
10.1) y =
3) lim
1−x
7) lim
x →∞ 2 − x
1 + x sin 4 x − 1, β(x ) = ln(1 + x ),
x = arccos t, x = cos t + t sin t,
: 1)
2)
y = 1 − t 2 . y = sin t − t cos t.
′′ = ?
yxx
yx′ = ?
x
13.1)y = e 2 sin 2x , y (5) = ?
2) y = sin(3x + 1) + cos 5x , y (n ) = ?
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
.
1) y =
46
x 2 − 3x + 3
, x 0 = 3.
3

50.

3
2) x = 12+ t , y = 2 t , t0 = 2.
t −1
t −1
3) x = a cos t, y = a sin t, z = a ln cos t,
21.1)∫
2)∫
M 0 (a; 0; 0).
4)∫
6) y = x e
3
(x + 2)(x − 4)2 .7) y =
4) y =
3
cos x .
.
2)∫
3)∫
4)∫
5)∫
3
dx
.
1 − 7x
5 − 2xdx .
dx
.
4x + 3
dx
9)∫
2
3x 2 + 2
5xdx
.
5x 2 − 3
.
10)∫
11)∫
2
(1 + 3 x 2 )
dx .
x2 9 x
2π
∫ xe
1)
−1
2
1
2
2)
3)
0
∫
dx
−1
2
4)∫ sin6
dx .
∫
1
3
1
ln (x − 7)
dx .
x −7
3 tg 7x
dx .
cos2 7x
− 2x
xdx
.
(x − 1)3
5
x
x
cos2 dx .
4
4
3
5)∫ x 2 9 − x 2dx .
−3
2 ln 2
8 + 2x − x
2
. 6) ∫
dx
.
e −1
x
ln 2
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
cos 7x sin 7xdx .
∞
arccos7 x
3
dx
. 8)∫
(x + 1) x + 4
0
7)∫ cos(7x + 1)dx .
8)∫
x + 6 x +1
dx .
x + 6 x5
7)∫
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫
. 6)∫
.
x 2 + 3x − 1
(x − 1) 1 + x − x 2
3)∫ x cos(x + 9)dx . 6)∫ ln(x + 12)dx .
4
.
3 + 2x − x 2
8) y = −(x + 1)e x +2 .
3) y =
dx .
ln(sin x )
dx . 4)∫ x 2 arctg xdx .
cos2 x
x
2)∫ (x 2 − 1)e x dx .
5)∫ (x − 6) sin dx .
2
x5 .
x4 −1
3 x +1
3 − 2x − x 2
dx
22.1)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
5) y =
2x 2 + 1
dx
x −6
dx . 5)∫
3)∫ x 2 1 − x 2dx .
15. Знайти проміжки монотонності функції y = 27 (x 3 + x 2 ) − 5.
4
1) y = (x + 1)3 x 2 , − 4 ; 3 .
5
max
16. min f (x ) = ?
2
[a ,b ]
2) y = x − 2x + 16 ,[2; 5].
x −1
2
1) y = x +22x − 1 .
x −1
2) y = 3 4x (x − 1).
5 − 3x
1)∫
dx .
1 − x2
x 5dx
6)∫ e 2−6x dx .
12)∫ 6
.
3x − 7
2x − 1
(2x 2 − 26)dx
19.1)∫ 2
dx . 5)∫
.
3x + 5
(x + 5)(x 2 + 4x + 3)
0
1
xdx
4
(16 + x )
2 5
.
2)∫
1
2
ln 2
dx .
(1 − x )ln2 (1 − x )
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) y = cos x sin2 x , y = 0 ( 0 ≤ x ≤ π ).
2
3
x = 16 cos t,
2)
x = 6 3 (x ≥ 6 3).
y = sin 3 t,
3) ρ = 6 sin 3ϕ, ρ = 3 (ρ ≥ 3).
2x 3 − 3
2x 3 + 2x 2 + 4x + 3
dx .
6)∫
dx .
x −2
x3 + x2
dx
8dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
2x − 3x + 2
(x + 1)(x 2 + 6x + 13)
2)∫
(3x + 1)dx
3x − 8
dx .
. 8)∫
2
x − 4x − 5
(x − 1)2 (x 2 + 4)
x
20.1)∫ tg3 dx .
4)∫ sin 4 x cos3 xdx .
2
2x
dx
2)∫ cos2 dx .
5)∫
.
5
2 cos2 x + 3
6 sin x + cos x
dx .
3)∫ sin2 2x cos xdx .6)∫
1 + cos x
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = xe x , y = 0, x = 1, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої ρ = 2 sin ϕ навколо полярної осі.
4)∫
47

51.

Варіант 23
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim(1 − x ) tg πx .
2
x →1
1) y = 2 sin ( 3x + 2π ). 4) y = tg ( 1 x − π ).
3
3
4
1−x
2) y = 1 arcsin(x − 1). 5) y = ( 1 ) .
2
3
1
3) y = arcctg(x − 1). 6) y = − ln(2x − 3).
3
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 + i 5 ;
2
1
2) lim (x − 1)ln(2x −2) .
x →∞
( )
10
д), е) всі значення
3
10
2) α(x ) =
arcsin x
.
sin 2x
x + 2, x ≤ −1,
2) f (x ) = 1 − x , −1 < x ≤ 1,
ln x ,
x > 1.
1) f (x ) =
;
z1 та
4
z 2 , якщо:
3
3) f (x ) = 5x + 4 + 1 у точках x1 = 5, x 2 = −4.
Знайти похідні функцій (10—13):
5
1 + 2n
3
4.1) lim +
+ ... +
.
n →∞ 4
16
4n
n7 + 5 − n − 5
n7 + 5 + n − 5
2) y =
.
(n 4 + 1)(n 2 − 1) − n 6 − 1
.
n →∞
n
−5x 2 + 11x − 2
1 − cos2 2x
5.1) lim
.6.1)
lim
.
x →2 3x 2 − x − 10
x → 0 x arcsin x
sin 3x
x 3 + 3x − 28
2) lim
.
2) lim
.
2
0
x →4
x
→
ln(1
+ 2x )
x − 4x
3) lim
( 44xx −+ 11 ) .
5x − 7
8) lim (
x +6 )
x →∞
x →1
( 2 −x x )
2x −1
x →−∞
3
.
8) lim
x →3
x
.
(x − 1)4 (x − 7)2
.
(x + 1)2 3 (x + 2)5
1
x = et ,
x = t + 1 ,
12.
: 1)
2)
′′ = ?
t 2 . y = arcsin et .
yxx
y =
t +1
(
)
13.1) y = (x 2 − x ) ln x , y (5) = ?
2) y = xe 6x , y (n ) = ?
52x − 23x
6) lim
.
x → 0 sin x + sin x 2
7) lim
8 lg(4x + 5)
.
(x − 1)5
yx′ = ?
5x − 2x + 3
tg πx
. 4) lim
.
2
x →−∞ 2x + 3x − 7
x →−2 x + 2
3x + 1
(x 3 − π3 )sin 5x
5) lim 3
.
5)
lim
.
2
x →∞ x − 5x 2 + 4x
x →π
e sin x − 1
7) lim
4) y = 4− sin x arctg 3x +
11.1) x 2y 2 + x = 5y 3 . 2) x 2 sin y + y 2 = r 2 .
4) lim
1
ln(2−x )
arcctg3 x
.
sh(2x − 5)
6) y = (tg 2x )ch(2x −1) +
e 4x − 1
3) lim
.
x → 0 sin(π( x + 1))
2
2x
3) y = tg6 2x ⋅ cos 7x 2 −
5) y = ch2 5x ⋅ arctg x 4 − (ctg 2x 3 )sin
3
2x + 7 − 5
6) lim
.
x →9
3− x
(3x + 1)4 5 4
− x + 83 .
e 4x
x
ctg x − 2
7x 3 − ln cos 1 +
.
3
lg(3x + 5)
10.1) y =
Знайти границі (4—7):
4
1 − x , β(x ) = x − 1, x → 1.
9. Дослідити функцію на неперервність:
3) z 3 + 6z 2 + 24z + 32 = 0.
2x 3 + 7x 2 − 2
3) lim
.
x →∞ 6x 3 − 4x + 3
3
3) α(x ) = ln(1 + x 9 tg x ), β(x ) = arcsin x , x → 0.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z − i < 3, π < arg z < 3π .
3
2
2) z − 1 < z + 3i , Re z < 1.
n →∞ 7
x →0
1) α(x ) = e x − cos2 3x 9 , β(x ) = arctg x , x → 0.
z1 = 6 + 6i, z 2 = −3 + 3 3i, z 3 = 3 − 4i.
2) lim
4) lim(arcsin x )x .
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
б) тригонометричну форму z 3;
z
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
2
ex − 1 − x 3
3) lim
.
x → 0 sin x − x
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
.
1) y =
5+x −2
.
sin πx
2x
, x = 1.
x +1 0
2
2) x = 3 cos t, y = 4 sin t, t0 =
48
π
.
4

52.

3) x = 2 sin t, y = 2 cos t, z = tg t, M 0 ( 2; 2;1).
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності функції y = 1 (16 − 6x 2 − x 3 ).
8
2)∫
16. max
min f (x ) = ?
[a ,b ]
3
2) y = 2 x − 1 − x ,[1; 5].
3)∫ (x + 3)e −xdx .
6)∫ x ln(x 2 + 1)dx .
1
2
2)∫
0
10
9)∫ sin 3x cos 3xdx .
3)∫
6
7
xdx
.
2x 2 − 7
10)∫
5)∫ e 2−4x dx .
11)∫
4)∫
5)∫ (x + 1)cos 7xdx .
1)∫
ln3 (x + 3)
dx .
x +3
5
2
tg 3x
dx .
cos2 3x
arccos 2x
dx .
1 − 4x 2
3)∫
dx
(2x 2 + 4x + 20)dx
.
7)
∫ (x + 1)(x 2 − 4x + 13).
x 2 + 7x + 6
4)∫
(x − 5)dx
x 2dx
.
8)
∫ x 4 + 5x 2 + 4.
2x 2 + x + 1
6)∫
4)∫ sin2 x cos4 xdx .
2)∫ sin 3 5xdx .
5)∫
3)∫ cos x cos 7xdx . 6)∫
2π
4)∫ 24 sin 4
0
x
x
cos4 dx .
2
2
2 3
dx
dx
. 5) ∫ 4 2
.
2
(x + 1)(x + 4)
−
x
x
3
2
x 3dx
.
x 2 − 3x + 2
1)∫ e
e4
6)∫
1
1
−3x
xdx .
0
dx
.
x 1 + ln x
2)∫
0
x 4dx
.
3
1 − x5
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
x
, y = 0, x = 1.
(x + 1)2
= 9 cos t,
y = 2 (y ≥ 2).
= 4 sin t,
1) y =
x 3 − 4x + 5
dx .
(x 2 − 1)(x − 1)
20.1)∫ tg4 3xdx .
1
arctg dx .
x
∞
2
dx
.
12)∫ e1−6x xdx .
2
2x + 7
2x − 7
(2x 2 + 12x − 6)dx
19.1)∫ 2
dx . 5)∫
.
x −5
(x + 1)(x 2 + 8x + 15)
2x 2 + 5
dx .
x +1
.
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
6)∫
2)∫
(x + 1) 1 − x − x 2
dx
.
x −6x
2)∫ x 2 cos2 xdx .
3
5 − 4xdx . 7)∫ cos(7x + 3)dx .
8)∫
dx .
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
dx
2)∫
.
1 + 6x
dx
3)∫
.
4x 2 + 3
2x 2 − x + 6
dx
3
dx
1 + 5 x4
.
8)∫
dx .
x (x − 1)
x 2 15 x
22.1)∫ arcsin x dx . 4)∫ x arctg 2xdx .
5
3
2
2) y = x + x 2 − 3x − 1 .6) y = x − ln(1 + x 2 ).
2x − 2
2
3) y = 3 (x − 6)x 2 .
7) y = x 2 + 2x − 7 .
x + 2x − 3
x +3
4) y = ln(− 2 sin x ).
8) y = e
.
x +3
18.1)∫
2x + 3
4)∫
3
4.
5) y = x +
2
x
x (x − 2).
.6)∫
3)∫ x 3 1 − x 2dx . 7)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
1) y =
2x 2 + 5
dx
dx . 5)∫
5 − 7x − 3x 2
2
1) y = e 6x −x ,[−3; 3].
3x + 4
2
x
2)
y
3) ρ = sin 6ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = 2 − x 2 , y = x 2 , навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
dx
.
3 − 2 sin2 x
dx
.
3 cos x − 4 sin x
ної обертанням кривої ρ =
ло полярної осі.
49
2
cos ϕ навко3

53.

x ln(x + 1) − x 2
1
1
.3) lim
− 2 .
x →0
x → 0 x arctg x
tg x − x
x
Варіант 24
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
1) y = 2 cos ( 2x − π ). 4) y = ctg ( 1 x + π ).
3
2
4
x +1
2) y = 1 arccos(x + 2). 5) y = ( 1 ) .
3
2
3) y = 1 arctg ( x − 1 ). 6) y = 3 ln(5 − x ).
3
2
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 6;
2
2) lim (1 − x )log2 x .
x →1−0
(z )
10
x →1+ 0
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) =
2) α(x ) =
3
2
1 + x 6 − 1, β(x ) = e x − 1, x → 0.
1 − 2x − 3 1 − 3x , β(x ) = x ,
x → 0.
3) α(x ) = ln cos 2x 2, β(x ) = sin x , x → 0.
б) тригонометричну форму z 3;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
4) lim (ctg πx )sin πx .
9. Дослідити функцію на неперервність:
;
3) z 3 − 7z 2 + 24z − 18 = 0.
1
.
lg x
−1,
x < 0,
2) f (x ) = cos x , 0 ≤ x ≤ π,
1 − x , x > π.
x −4
3) f (x ) =
у точках x1 = −2, x 2 = 1.
x +2
Знайти границі (4—7):
Знайти похідні функцій (10—13):
3
1) f (x ) =
z1 та 4 z 2 , якщо:
z1 = −7 + 7i, z 2 = −2 3 − 2i, z 3 = 4 + 5i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z + i < 3, 0 < arg z < π.
2) z + 1 > z − 3i , Im z < 2.
2
10.1) y = 74 + 7 x 2 − 5x +−4xx − 2 .
e
x
tg(3x − 5)
2) y = 3 8x 4 − ctg sin 1 + 2
.
13 ln (x + 3)
2 + 4 + ... + 2n
.
n →∞ 1 + 3 + ... + (2n − 1)
4.1) lim
3
2) lim
n 2 + 2 − 5n 2
− n4 − n + 1
3) lim (n − n(n − 1)).
n →∞ n
.
3) y = ctg 3 4x ⋅ arcsin x −
n →∞
1 − cos 4x
x 2 − 5x − 14
. 6.1) lim
.
x → 7 2x 2 − 9x − 35
x → 0 x sin x
3x 2 + 11x + 10
arcsin 8x
2) lim
. 2) lim
.
2
x →−2 x − 5x − 14
x → 0 tg 4x
14x 2 + 3x
1 − cos x
3) lim
. 3) lim 3x
.
2
x →−∞ 1 + 2x + 7x
x → 0 (e
− 1)2
1 − sin x
8x 3 + x 2 − 7
2.
4) lim 2
. 4) lim
x →∞ 2x − 5x + 3
x →π π − x
2 − x − 3x 2
e x − e 3x
5) lim
.
5)
lim
.
x →−∞
x → 0 sin 3x − tg 2x
x 3 − 16
2− x
tg(x + 1)
6) lim
.
6) lim 3 3 2
.
x → 4 6x + 1 − 5
x →−1
x − 4x + 6
e
−e
3
4) y = 2cos x arcctg 3 x + arccos 5x .
th(x − 2)
5.1) lim
(
)
3 − 4x
8) lim (
2−x )
3x + 4
7) lim
x →∞
3x
−2x
.
6x
x →∞
.
7) lim(2 − e
x →0
x2
5) y = th 4 7x ⋅ arccos 3x 3 − (tg 7x 5 )
6) y = (ctg 7x )sh 3x +
8) limπ ( ctg x )
2
x→
2
x +2
.
(x + 7)2 (x − 3)5
(x + 1)2 x 2 + 3x − 1
.
11.1) x 4 + x 2y 2 + y 3 = 4. 2) xy − ln y = 1.
x = cos t, x = 5 sin 3 t,
12.
: 1)
2)
4
t
y = sin . y = 3 cos3 t.
′′ = ?
yxx
2
2
(5)
13.1) y = x ln(1 − 3x ), y = ?
yx′ = ?
2) y =
1
)1−cos πx .
1
cos x
2 log 3 (4x − 7)
.
(x + 3)4
11 + 12x (n )
,y = ?
6x + 5
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
.
1) y = −2( 3 x + 3 x ), x 0 = 1.
2) x = t − t 4 , y = t 2 − t 3 , t0 = 1.
50

54.

3) x = t 2, y = 3t 2 , z = 1 − 2t, M 0 (1; −3; 3).
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності функції y = − 1 (x 2 − 4)2 .
16
1) y = lnxx ,[1; 4].
max
16. min f (x ) = ?
[a ,b ]
2) y = 3 (x + 2)2 (1 − x ),[−3; 4].
7x − 2
x2 − 1
dx
x −9
dx . 5)∫
. 6)∫
4 + 2x − x 2
dx
2)∫
3x 2 − x + 5
3)∫
(4 − x 2 )3
dx
dx . 7)∫
.
4
3 x +6x
x
dx .
(x − 1) 1 − x − x 2
3
(1 + 5 x 4 )2
dx .
x2 3 x
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік.
dx
4)∫
.
1+ x −2
8)∫
5) y = 1 3 x 2 (x − 5).
3
22.1)∫ x ln2 xdx .
4)∫ arctg(x + 5)dx .
6) y = 1 − ln 3 x .
x
2)∫ (x 2 + x )sin xdx . 5)∫ (x + 2)sin dx .
2
1 .
x −1
8) y = ln x − 1.
x +5
3)∫ arccos xdx .
1) y =
3
x 2 − 4x + 3.
2
2) y = x + 6x + 9 .
x +4
3) y =
4) y =
3
x 2 − 3 (x − 1)2 .7) y =
cos x .
4
18.1)∫
2)∫
3)∫
4)∫
5
0
9xdx
dx
3 − 4x
2
.
dx
.
4x 2 − 3
5)∫ e 3−6x dx .
9)∫
10)∫
1 − 9x
3
−1
9
2)∫
.
2
7
4,5
ln 4 (x − 5)
dx .
x −5
3)∫
ctg 3 5x
dx .
sin2 5x
11)∫ e x
3
4
+1 2
x dx .
5)∫
3)∫ sin 2x sin 3xdx . 6)∫
x 2dx
8x − x − 15
2
ln 3
. 6) ∫
ln 2
16 − x 2
dx .
x4
dx
.
1 + ex
2
x 2dx
64 − x 6
.
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) x = 4 − y 2, x = y 2 − 2y.
x = 8(t − sin t ),
2)
y = 8(1 − cos t ),
y = 12 (0 < x < 16π, y ≥ 12).
(2x + 3)dx
2x 4 + 8x 2 − 8x + 2
.
8)
dx .
∫
3x 2 + 2x − 8
x 4 + 4x 2
2)∫ sin 4 xdx .
x2 − x + 2
dx . 5)∫
x 4 − 5x 2 + 4
2
x2
x
1) ∫ 3
−
dx . 2)∫
x − 1 1 + x 2
−∞
0
x 3 + 3x + 1
3x 2 + 2
2)∫
dx
.6)
∫ x (x + 1)2 dx .
x2 + 2
dx
(5x + 13)dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
2x − 3x + 4
(x + 1)(x 2 + 6x + 13)
4)∫ sin 4 x cos2 xdx .
−π
2
4
0
cos 6x
arcctg 5x
6)∫
dx .
12)∫
dx .
3
sin 6x
1 + 25x 2
3x − 3
(5x 2 + 5x − 58)dx
19.1)∫
dx
.
5)
∫ (x 2 + 2x − 3)(x − 4).
1 − x2
20.1)∫ tg3 4xdx .
4) ∫ 28 sin2 x cos6 xdx .
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
4
4)∫
0
1)∫ x ln(1 − x )dx .
7)∫ sin(7 − 4x )dx .
(6 − 5x )2dx . 8)∫
6)∫ ln(2x − 1)dx .
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
dx
.
2 + 7x
.
3) ρ = 2 cos ϕ, ρ = 3 cos ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = 8 − x 2, y = x 2 , навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої x = 3 cos3 t,
y = 3 sin 3 t навколо осі Ox .
(3 tg x − 1)dx
.
sin2 x + 4 cos2 x
dx
.
5 + 3 cos x
51

55.

Варіант 25
1. Побудувати графіки функцій:
(
)
(
2
tg x − x
. 3) lim x ne −x .
x → 0 arcsin x − ln(1 + x )
x →∞
7.1) lim
)
1) y = 1 sin 2x − π . 4) y = tg 1 x − π .
2
4
3
6
x +2
2) y = 2 arcsin(x − 2). 5) y = −3 .
(
1
x →0
)
3
1) α(x ) = e x − cos 4x, β(x ) = arcsin x, x → 0.
1 + x + 2x 2
, β(x ) = sin x1 , x → ∞.
x5
3) α(x ) = ln(1 + x sin 5 x ), β(x ) = tg x ; x → 0.
2) α(x ) =
б) тригонометричну форму z 3;
( )
z
z1 = −8 − 8i, z 2 =
10
3
9. Дослідити функцію на неперервність:
;
x
z1 та z 2 , якщо:
4
0,
x ≤ −1,
2) f (x ) = x 2 − 1, −1 < x ≤ 2,
2x ,
x ≥ 2.
x −4
3) f (x ) =
у точках x1 = −3, x 2 = 2.
x +3
3 − i, z 3 = −5 + 6i.
3) z 3 − 4z 2 + 4z − 3 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
Знайти границі (4—7):
2) y =
n + 2 − 3 n3 + 2
2) lim
.
n →∞ 7 n + 2 − 5 n 5 + 2
3) lim
n →∞
arccos 3x .
sh2 2x
3 log4 (2x + 9)
4) y = tg3 x ⋅ arcctg 3x −
.
(x − 7)2
3) y = lg(x − 3)arcsin2 5x +
n (n + 4) − (n − 1)).
6
3
8
3x 2 − 6x − 45
cos 5x − cos x
. 6.1) lim
.
x → 5 2x 2 − 3x − 35
x →0
4x 2
x2 − 4
e 5x − 1
2) lim
.
2)
lim
.
x →−2 3x 2 + x − 10
x → 0 tg 2x
5.1) lim
5) y = cth 4x 5 ⋅ arccos 2x + (arccos x )
6) y = (ch 3x )cos(x + 4) −
x − 2x 2 + 5x 4
sin2 x − tg2 x
. 3) lim
.
2
4
x →∞ 2 + 3x + x
x →0
x4
3x 4 + 2x 2 − 8
1 − 2 cos x
4) lim
. 4) limπ
.
x →−∞ 8x 3 − 4x + 5
x→
3 π − 3x
3) lim
(
(
)
)
x →1
.
x − 3(x + 7)5
.
(x + 1)(x − 4)2
3
x = ch2 t,
x = e −3t ,
12.
: 1)
2)
t
y = ln(1 + e ). y = 3 sh2 t .
′′ = ?
yxx
2
3x +2 (5)
13.1) y = (x + 3x + 1)e
,y = ?
yx′ = ?
4x 2 − 10x + 7
9x − 23x
.
5)
lim
.
x →∞
x → 0 arctg 2x − 7x
2x 3 − 3x
lg x − 1
x 3 − 27
6) lim
.
6) lim
.
x → 3 3x − x
x →10 x − 9 − 1
7) lim(2
cos x
11.1) sin y = xy 2 + 5. 2) y = 1 + e xy .
5) lim
2x − 1 1−x
7) lim
.
x →∞ 2x + 4
1 − 2x −2x
8) lim
.
x →∞ 3 − x
5x 2 − x + 1 − 5 + 5 x 4 .
e 3x
x4
cos2 x
4x 5 + sin ln 1 −
.
2
2 lg(x − 2x + 1)
10.1) y =
1 + 5 + ... + (4n − 3) 4n + 1
−
4.1) lim
.
n →∞
n +1
2
2
2
1) f (x ) = 41−x .
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z − 2 < 3, π < arg z < π .
4
2
2) z − 2i < z + 1 , Re z > 3.
n 3(3
x →0
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
3) y = 1 arcctg x + 1 .6) y = −2 lg(x + 3).
2
2
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 + i 7 ;
2
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
4) lim x 2 tg x .
2) lim ( ctg 2x )ln x .
2) y = lg(2x + 7), y (n ) = ?
sin πx
2
− x )ln(2−x ) .
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
1 + 3x 2
, x = 1.
3 + x2 0
2) x = t 3 + 1, y = t 2 + t + 1, t0 = 1.
1) y =
ln cos 2x
8) lim
.
x →π ln cos 4x
52

56.

3) x = 3 cos t, y = 4 sin t, z = et , M 0 (3; 0;1).
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
2)∫
кції y = 16x 3 − 36x 2 + 24x − 9.
1) y = 3x 4 − 16x 3 + 2,[−3;1].
16. max
min f (x ) = ?
[a ,b ]
2) y = 2x −
3)∫
x2
+ 8 ,[−2;1].
x −2
2
1 + 3x
x2 + 1
dx
dx .
1 − x − x2
dx
.
(4 + x 2 )3
dx
.
x x −2
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
4)∫
1) y = 9 3 (x + 1)2 − 6x . 5) y =
3
22.1)∫ x 2 ln xdx .
2
2) y = 3x 2− 10 .
4x − 1
6) y =
x3 .
x4 −1
3) y = (x − 1)e 4x +2 .
7) y = −
x (x − 3)2 .
.
2x + 7
5)∫
x 2 + 5x − 4
dx
6)∫
.
x 1 − x − x2
xdx
7)∫
.
1− 3 x
8)∫
4
x2 5 x2
x
2)∫ (x 2 + x )cos xdx . 5)∫ x sin dx .
5
( x +x 2 )
3)∫ (x 2 − 3)e x dx .
2
6)∫ ln(2x + 3)dx .
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
x dx
1)∫ arcsin
.
2 2−x
2)∫
3)∫
4)∫
4
2 − 5xdx .
dx
.
2
9 − 8x
dx
.
2
3x + 4
5)∫ e
6)∫
dx
.
7 − 3x
4−5x
dx .
dx
0
6
3xdx
8)∫ 2
.
9x + 2
dx
9)∫
.
(x + 3) ln 4 (x + 3)
11)∫
sin2 x 5 ctg4 x
. 12)∫
5x + 2
dx .
x2 + 9
5)∫
19.1)∫
1
7)∫ cos(3x − 7)dx .
10)∫
2)∫
4
1
3)∫
arctg x
e
dx .
x2 + 1
0
cos 2x sin 2xdx .
∞
1)∫
2
1 − 25x 2
π
4)∫ 28 cos8 xdx .
π
2
7
3
xdx
. 5) ∫ x 3 7 + x 2dx .
x − 6x + 16x − 16
0
3
2
dx
.
2
x + 4x + 5
e3
6)∫
e2
ln xdx
.
x (1 − ln2 x )
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
3
arcsin 5x
dx .
4)∫ x 2 arctg xdx .
4) y = −(2x + 3)e 2(x +2). 8) y = e cos x −sin x .
18.1)∫
(1 + 5 x 4 )3
dx .
dx .
0
(x 3 − 12x + 13)dx
.
(x 2 − 5x + 6)(x + 1)
dx
.
2
2x − 2x + 1
1
2)∫
1
2
9
dx
.
1 − 2x
25. Обчислити площі фігур, які обмежені
кривими:
x2 + x
dx .
2−x
(x + 5)dx
2)∫
6)∫ 3
.
x − x2 − x + 1
dx
4x 2 + x + 10
3)∫ 2
.7)∫
dx .
5x − 10x + 25
x3 + 8
(x − 3)dx
x 3 − x 2 + 4x
4)∫ 2
. 8)∫
dx .
4x + 2x − 6
x4 −1
x
20.1)∫ tg 4 dx .
4)∫ sin 3 x cos8 xdx .
4
dx
2)∫ cos4 xdx .
5)∫
.
5 + 3 sin2 x
dx
3)∫ sin 2x cos 3xdx . 6)∫
.
4 sin x − 6 cos x
1) x =
1
, x = 0, y = 1.
y 1 + ln y
x = 24 cos3 t,
2)
x = 9 3 (x ≥ 9 3).
y = 2 sin 3 t,
3) ρ = cos ϕ + sin ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y 2 = (x + 4)3 , x = 0, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої x = 2 cos t,
y = 3 + 2 sin t навколо осі Ox .
53

57.

ln 2x
.
x → 0 ln tg x
Варіант 26
1. Побудувати графіки функцій:
(
7.1) lim
)
1) y = 3 cos 3x + 4π . 4) y = ctg ( 1 x + π ).
3
4
4
x −1
2) y = 3 arccos(x − 3). 5) y = 4 .
2
3) lim e x x −5 .
x →∞
1
2) lim ln 2x ln(2x − 1). 4) lim x x +1 .
x →∞
x →1
2
3) y = −2 arctg(x + 3). 6) y = − lg(6 − 2x ).
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
2. Знайти:
1) α(x ) =
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 5 ;
2
б) тригонометричну форму z 3;
(z )
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
10
3
1
, β(x ) = tg x1 , x → ∞.
x4 + x + 1
3) α(x ) = ln cos 2x , β(x ) = tg2 x , x → 0.
;
9. Дослідити функцію на неперервність:
z1 та 4 z 2 , якщо:
1) f (x ) = 2
3) z 3 + 6z 2 + 18z + 27 = 0.
Знайти границі (4—7):
1 + 2 + 3 + ... + n
2) lim
3
n + 2n + 2
6
4
n 71n − 3 64n 6 + 9
(n − 3 n ) 11 + n 2
n →∞
− 3x
x +1.
x ,
x ≤ −2,
2) f (x ) = 1 − x , −2 < x ≤ 1,
x 2 − 1, x ≥ 1.
x +5
3) f (x ) =
у точках x1 = 3, x 2 = 4.
x −3
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z + 2 < 4, π < arg z < π.
3
2) z + 2i > z − 1 , Im z > 1.
n →∞
1 + x 2 − 1, β(x ) = sin x , x → 0.
2) α(x ) =
z1 = 2 − 2i, z 2 = 2 + 2 3i, z 3 = −6 − 7i.
4.1) lim
3
Знайти похідні функцій (10—13):
.
10.1) y =
.
2) y =
3) lim (n n − n(n + 1)(n + 2)).
6
4
2
−x
x 3 − 45 + e
.
x
(2x − 5)7
(2x 2 − 1)5 − 3 cos 2 −
log2 (3x + 7)
.
tg 3x
2
3) y = tg x ⋅ arcctg 3x 5 + arcsin 3x .
th x
lg(x 2 + 2x )
4) y = log2 (x + 3) ⋅ arccos2 x −
.
(x + 8)4
n →∞
3x 2 + x
sin 5x + sin x
. 6.1) lim
.
2
x → 0 4x − 5x + 1
x →0
arcsin x
4x 2 + 7x − 15
ln(1 + 4x )
2) lim 2
.2) lim
.
x →−3 x − 6x − 27
x →0
sin 2x
3x 4 − 2x 2 − 7
arcsin 2x
. 3) lim
.
3) lim
4
x →∞ 3x + 3x + 5
x → 0 ln(e − x ) − 1
5.1) lim
5) y = cth 3x ⋅ arcsin4 2x + (ctg 7x )sh(2x + 3).
6) y = (ch 2x )tg(x +5) −
3x 4 + 2x − 4
arctg(x 2 − 2x )
.
4)
lim
.
x →∞ 3x 2 − 4x + 1
x →2
sin 3πx
2x 3 − 3x + 1
e x − e −2x
5) lim
.
5)
lim
.
x →−∞ x 5 + 4x 3
x → 0 x + sin x 2
x + 10(x − 8)3
.
(x + 1)2 (x − 1)5
4) lim
11.1) x 3 + y 3 = 5xy. 2) y = cos(x + y ).
6) lim
x = 3 t − 1, x = arctg t,
12.
: 1)
2)
3
y = t − 1. y = 1 t 2 .
′′ = ?
yxx
2
−x (5)
13.1) y = (5x − 8) ⋅ 2 , y = ?
x →0
yx′ = ?
1 + 3x 2 − 1
3x +1 − 3
.
6)
lim
.
x → 0 ln(1 + x 1 + xe x )
x3 + x2
( 33xx ++ 45 )
4 + 3x
8) lim (
5+x )
x +1
7) lim
x →∞
.
1
x 3
1 + tg x cos 2x
7) lim
x → 0 1 + tg x cos 5x
7x
x →−∞
.
8) lim
x →3
1
x −3
x
( sin
sin 3 )
2) y = ln(5 + 2x ), y (n ) = ?
.
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
1) y = 14 x − 15 3 x + 2, x 0 = 1.
.
π
2) x = 2 cos t, y = sin t, t0 = − .
3
54

58.

3) x = e −t cos t, y = e −t sin t, z = e −t , M 0 (1; 0;1).
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності функції y = 1 (6x 2 − x 3 − 16).
8
1) y = x 5 − 5x 4 + 5x 3,[−1;2].
max
16. min f (x ) = ?
2) y = 8x + 42 , 1 ;2 .
[a ,b ]
x 2
2)∫
3)∫
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
2)∫
3
3)∫
dx
.
4x 2 − 3
dx
4)∫
4 − 2xdx .
8x 2 − 9
9)∫
.
5)∫ e 5−2xdx .
3
6)∫ e 3x x 2dx .
19.1)∫
x −5
dx .
x2 + 7
0
3)∫
−1
3
12)∫
cos
tg x
dx
∞
1)∫
1
.
1 − 25x 2 arcsin 5x
(9x 2 + 3x )dx
5)∫ 2
.
(x + x − 2)(x + 1)
2x 2 + 5
dx .
x −7
3)∫
dx
(4x 2 + 7x + 5)dx
.
7)
∫ (x − 1)(x 2 + 2x + 5).
2x 2 + 6x + 7
6)∫
4)∫ 24 sin 8 xdx .
0
8
dx
.
3
x +1
5) ∫
4 2
3
9
dx
2 − 6x − 9x
2
. 6)∫
4
x2 − 8
.
x4
xdx
.
x −1
dx
.
2
x (x + 1)
5
2)∫
1
x 2dx
.
31(x 3 − 1)
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1
1) y = x −2e x , y = 0, x = 2, x = 1.
3x 2 − 7x + 2
dx .
(x 2 − x )(x − 1)
x = 3 cos t,
2)
y = 4 3 (y ≥ 4 3).
y = 8 sin t,
3) ρ = 2 sin 4ϕ.
2x 3 + 8x − 3x 2 − 27
dx .
x 4 + 13x 2 + 36
3 cos2 x
20.1)∫ tg4 (x + 5)dx .4)∫
dx .
sin 4 x
cos2 x
2)∫ cos3 4xdx .
5)∫
dx .
1 + sin2 x
dx
3)∫ sin 5x cos xdx . 6)∫
.
3 + 5 sin x + 3 cos x
4)∫
π
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
.
2)∫
(x + 2)dx
.
3x 2 − x + 5
2)∫
1
2
x −1
dx .
x− x
3
1+ 4 x
dx .
x3 x
3
x
5)∫ (x + 4)cos dx .
2
x
6)∫ arccos dx .
5
1
.
7x 2 − 1
ln5 (x − 8)
dx .
x −8
x5
dx .
3
8)∫
1)∫ ln(3x + 2)dx .
2
dx
2x 2 − 6x + 1
dx
.
2
x x +x −3
7)∫
2
5xdx
2
x2 + 9
dx .
x4
x 2dx
.
x −2
3x − 4
23. Обчислити інтеграли:
10)∫ sin 4 8x cos 8xdx .
11)∫
. 6)∫
3)∫ xe −4xdx .
7)∫ sin(8x − 5)dx .
8)∫
1 − 2x − x 2
2)∫ (x 2 + 1)e xdx .
Знайти інтеграли (18—22):
18. 1)∫
x2 − 8
dx
dx . 5)∫
22.1)∫ x ln(x + 1)dx . 4)∫ x arctg2 xdx .
2
6 3 6(x + 3)2
1) y = 2
. 5) y = x − 2x + 2 .
x +3
x + 10x + 33
2
2) y = 2x + 4x + 2 . 6) y = x ln x .
2−x
3
3) y = 3 x (x + 3)2 .
7) y = x −2 32 .
x
2(x −1)
sin x + cos x
4) y = 3
. 8) y = − e
.
2(x − 1)
2
dx
.
5 − 2x
3 − 2x
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = x 3 , x = 0, y = 8, навколо осі Oy.
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої ρ2 = 9 cos 2ϕ навколо полярної осі.
8)∫
55

59.

x 2x − 1
ln(x + 7)
.
3) lim 7
.
x →1 ln x + 1 − x
x →+∞
x −3
4
3
1
2) lim
−
. 4) lim x 5 +2 ln x .
x →0
ln 3x
x → 1 3x − 1
3
Варіант 27
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) lim
1) y = −2 sin ( 1 x − π ). 4) y = tg ( 2x − π ).
2
8
4
2) y = 3 arcsin ( x + 1 ). 5) y = 5x −2.
2
1
3) y = arcctg(x − 1). 6) y = 2 ln(2x − 5).
2
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 3 ;
2
(
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
5
1) α(x ) = e x − cos x 3 , β(x ) = sin x , x → 0.
2) α(x ) = ln(2x 2 − 2x − 3), β(x ) = x − 2,
x → 2.
б) тригонометричну форму z 3;
( )
z
в), г) (z1z 2 ) та z1
2
10
д), е) всі значення
3
8
3) α(x ) = ln(x 8 + 1), β(x ) = sin x , x → 0.
;
9. Дослідити функцію на неперервність:
z1 та 4 z 2 , якщо:
sin 2x
.
x
sin x , x < 0,
2) f (x ) = x ,
0 ≤ x ≤ 2,
0,
x > 2.
1) f (x ) =
z1 = −4 + 4i, z 2 = −1 − 3i, z 3 = 7 − 8i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z − 2i < 3, π < arg z < 2π .
2
3
2) z − 2 < z − i , Re z < 2.
1
c)z 3 − z 2 − 4z − 6 = 0.
3) f (x ) = 31−x у точках x1 = 1, x 2 = 2.
Знайти границі (4—7):
Знайти похідні функцій (10—13):
n(2n )!− (2n + 1)!
4.1) lim
.
n →∞ n (2n − 1)!+ (2n )!
n + 6 − n2 − 5
2) lim
n →∞ 3
3) lim
3
n →∞
n + 3 + n +1
4
3
3
10.1) y =
2) y =
.
n ( 3 n 2 − 3 n(n − 1)).
1 − sin x
x 2 − 2x − 35
. 6.1) limπ
2.
x →−5 2x 2 + 11x + 5
x→
2 (π − x )
2
2
2x − 11x − 6
sin(x − 3)
2) lim 2
. 2) lim 3
.
x → 6 3x − 20x + 12
x → 3 x − 27
4 − 5x 2 − 3x 5
tg x − sin x
3) lim 5
. 3) lim
.
x → ∞ x + 6x + 8
x → 0 x (1 − cos 2x )
2
( 13 ++ 22xx )
3x − 1
8) lim (
2x + 5 )
11.1)
.
x →∞
3x
x →−∞
.
x →0
arctg2 5x
.
3
cth x
3 ln(x 2 + 5)
arctg3 4x −
.
(x − 7)2
3
(x − 2)3 (x − 1)3
.
(x + 1)2 (x + 3)4
5
y = e xy . 2) x 3 + y 3 = arcsin xy.
x = 2(t − sin t ), x = ln2 t,
12.
: 1)
2)
′′ = ?
yxx
y = 4(2 + cos t ). y = t + ln t.
2
13.1) y = x 2 ln(x − 1), y (5) = ?
−7 x
6) lim
7) lim
ln3 x .
ctg(x − 3)
yx′ = ?
3 −2
.
x → 0 2x − tg x
5x
1−2x
tg cos 2 −
6) y = (th 7x )sin(3x +2) −
2x − 13
a x −a − 1
.
5)
lim
.
x →∞ x 7 − 3x 5 − 4x
x →a tg ln x
a
7) lim
7
5) y = th5 3x ⋅ arcctg x + (sh 5x )arctg(x +2).
5) lim
x →−4
4x 5 +
4) y = 2−x
7x 3 − 2x + 4
1 − x2
4) lim
.
4)lim
x →−∞ 2x 2 + x − 5
x →1 sin πx
x + 20 − 4
.
x 3 + 64
3
e cos 3x − 3 x 5 − 2 .
(2x + 4)5
x4
3) y = tg 3 2x ⋅ arccos 2x 3 +
5.1) lim
6) lim
)
2) y =
cos x − 1
.
sin2 2x
1 + x 3x
8) lim
x
x →0 1 + x 7
x
, y (n ) = ?
x +1
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої у заданій точці:
2
ctg
1) y = 3 4 x − x , x 0 = 1.
x
.
56

60.

π
.
4
3) x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 5t, M 0 (−3; 0;5π).
2) x = 2 tg t, y = 2 sin2 t + sin 2t, t0 =
2)∫
15. Знайти проміжки монотонності функції y = − 1 (x − 2)2 (x − 6)2 .
16
[a ,b ]
1) y = (3 − x )e ,[0;5].
2) y =
3
4)∫
1) y = 8x − 6 − 12 3 (x − 2)2 . 5) y = x 2 + 12 .
x
3
2
2) y = 2x + 2x2 − 9x − 3 . 6) y = −x ln2 x .
2x − 3
4(x + 1)2
3) y = 3 (x + 2)2 − 3 (x + 3)2 .7) y = 2
.
x + 2x + 4
5
4) y = ln(cos x − sin x ).
8) y = ln x −
x + 2.
2)∫
3)∫
dx
.
8x 2 − 9
4)∫ e
5)∫
7 + 3x
9)∫
10)∫
dx .
dx
5 − 4x
1)∫ x
19.1)∫
2
.
5
3
9x + 5
2
2)∫
1
π
2
.
2
ln (x + 6)
dx .
x +6
tg6 2x
dx .
cos2 2x
2)∫ cos2 7xdx .
5)∫
3)∫ sin x cos 4xdx . 6)∫
.
3
8)∫
4)∫ sin6 x cos2 xdx .
2
dx
5)∫
.
5
2
1
x
x
−
2
26
6) ∫
7
x3
2 dx .
(x 2 + 1)3
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
1)∫
e2
dx
.
x (ln x − 1)2
3
2
2)∫
1
dx
3x − x 2 − 2
.
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) y = x 2 16 − x 2 , y = 0 (0 ≤ x ≤ 4).
x = 2(t − sin t ),
2)
y = 2(1 − cos t ),
y = 2 (0 < x < 4π, y ≥ 2).
2x 3 + 3x 2 + x + 2
6)∫
dx .
x3 + x2
3x 2 + 2x + 1
7)∫
dx .
x3 −1
5x 3 − x 2 + 21x − 9
8)∫
dx .
x 4 + 10x 2 + 9
4)∫ sin5 x 5 cos3 xdx .
x5 + 1
dx
x6 + x4
0
11)∫ sin5 4x cos 4xdx .
20.1)∫ tg 3 3xdx .
(x + 1) x 2 + x − 2
xdx
7)∫
.
1+ 4 x
0
3)∫ cos xdx .
3
dx . 12)∫
2x 2 + 3
dx .
x −1
x + 9dx .
2
5
−1
dx
.
x − 6x + 8
(3x − 2)dx
4)∫ 2
.
x + 5x + 7
3)∫
3xdx
3
0
arctg8 3x
dx .
1 + 9x 2
3 − 7x
(3x 2 − 13x − 38)dx
dx
.
5)
∫ (x 2 − 5x + 4)(x + 3).
1 + x2
6)∫ x 4e −x
2)∫
8)∫
. 6)∫
2π
4
7)∫ cos(8x − 4)dx .
3 − 4xdx .
x −1
dx .
x x −2
dx .
3x 2 + 9x − 4
dx
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫
2x + 5
dx . 5)∫
(1 + 4 x )2
dx .
x 12 x 5
x
22.1)∫ sin(ln x )dx . 4)∫ x 2 cos dx .
3
x
2)∫ (x 2 − 1)e −xdx . 5)∫ (x + 1)sin dx .
3
x
3)∫ (x + 1)e 2xdx .
6)∫ arctg dx .
4
(x + 2)2 (x − 4),[−4;2].
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
dx
.
2x + 7
8 − 4x
dx
2
4 − 3x − x 2
dx
.
(9 + x 2 )3
3)∫
−x
16. max
min f (x ) = ?
x −5
21.1)∫
3) ρ = 2 cos 6ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривою
x = cos 3 t, y = sin 3 t, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утворе-
dx
.
sin x − sin 2x + 1
dx
.
cos x − 3 sin x
ної обертанням кривої y = x 3, x = ±
2
навколо осі Ox .
57
2
3

61.

tg 2x − 2x
.
x → 0 x − sin x
Варіант 28
1. Побудувати графіки функцій:
3) lim x sin 2x .
7.1) lim
1) y = 2 cos ( 2x + π ). 4) y = ctg ( 1 x − π ).
4
3
4
x +1
2) y = 1 arccos(x − 2). 5) y = ( 1 )
.
2
3
3) y = 2 arctg(x + 2). 6) y = − lg(2x + 4).
x →+0
1
2) lim(arcsin x − x )ctg x . 4) lim ( 4x − x )ln x .
2
x →0
x →∞
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
1) α(x ) =
4
1 + x 4 − 1, β(x ) = arcsin 2x , x → 0.
2) α(x ) = sin( x 2 + 9 − 3), β(x ) = tg x , x → ∞.
2. Знайти:
3) α(x ) = cos x − 3 cos x , β(x ) = ln(1 + 3 x ),
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 + i 3 ;
2
б) тригонометричну форму z 3;
( )
z
в), г) (z1z 2 ) та z1
2
10
д), е) всі значення
3
8
x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
1
;
1) f (x ) = e − x .
z1 та 4 z 2 , якщо:
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z + 2i < 3, 0 < arg z < π .
4
2) z + 2 > z + i , Im z < 3.
1,
x ≤ 0,
2) f (x ) = 2x ,
0 < x ≤ 2,
x + 3, x ≥ 2.
4x
3) f (x ) =
у точках x1 = −5, x 2 = 4.
x +5
3) z 3 − 5z 2 + 12z − 18 = 0.
Знайти похідні функцій (10—13):
Знайти границі (4—7):
10.1) y =
z1 = −5 − 5i, z 2 = 2 3 − 2i, z 3 = 8 + 9i.
n !+ (n + 2)!
.
n →∞ (n − 1)!+ (n + 2)!
4.1) lim
2) y =
n8 + 6 − n − 6
.
n →∞ 8 n 8 + 6 + n − 6
3) lim n + 2( n + 3 − n − 4).
2) lim
sin 5x
x 3 + 23 − e
.
x
(3x − 2)2
3x 7 + sin 3 tg 2 +
3) y = 2tg x arctg5 3x −
arctg2 5x
.
th(x + 3)
n →∞
4) y = arcsin3 4x ⋅ ctg 3x +
2x 2 + 15x − 8
5.1) lim
.6.1) limπ ( π − x ) tg x .
2
x →−8 3x 2 + 25x + 8
x→
2
3x 2 − 3
.
x →1 8 + x − 3
3x x −2
7) lim
.
x →∞ 3x + 2
1 − x 5x
8) lim
.
x →∞ 2 − 10x
(
(
)
)
6) y = (ch 2x )cos(3x +4) +
(x + 1)3 (x − 2)5
.
(x − 3)2 (x − 1)3
4
x −y
11.1) sin y 2 = x + y . 2) y = tg(x + y ).
yx′ = ?
x = et , x = sin t − t cos t,
12.
: 1)
2)
y = te −t . y = cos t + t sin t .
′′ = ?
yxx
13.1) y = e −x (2x 2 − 3), y (5) = ?
e 2x − e x
.
x → 0 sin 2x − sin x
6) lim
2) y = log3 (2x − 1), y (n ) = ?
1
7) lim(1 + tg2 x )ln(1+3x 2 ) .
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
x →0
18 sin x
ctg x .
3x − 2x 3
, x 0 = 1.
3
2) x = t 3 + 1, y = t 2, t0 = −2.
8) lim(sin
x)
π
x→
4 log2 (3x − 5)
.
(x − 2)2
5) y = sh 4 3x ⋅ arccos 4x 4 − (arctg x )th(3x +1).
x 2 + 2x − 24
tg(x + 5)
2) lim 2
. 2) lim 2
.
x →−6 2x + 15x + 18
x →−5 x − 25
5x 3 − 7x 2 + 3
ln(x 2 + 1)
.
3)
lim
.
3) lim
x →∞ 2 + 2x − x 3
x →0 1 − x 2 + 1
cos πx
4x 3 + 5x 2 − 3x
2 .
4) lim
. 4) lim
x →∞ 3x 2 + x − 10
x →1 1 − x
2x 2 − 3x + 1
(x 3 − π3 )sin 3x
5) lim 3
.
5)
lim
.
2
x →−∞ x + 2x 2 + 5
x →π
e 2 sin x − 1
6)lim
tg4 5x
.
ln(x + 7)
1) y =
2
58

62.

3) x = t cos t, y = t sin t, z = t, M 0 (0; 0; 0).
15. Знайти проміжки монотонності фун-
2)∫
кції y = 16x 3 − 12x 2 − 4.
1) y = ln(x − 2x + 2),[0; 3].
2
16. max
min f (x ) = ?
2) y = x 2 + 4x + 16 ,[−1;2].
x +2
3)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
4)∫
[a ,b ]
1) y = −
6 3 6(x − 6)2
.
x 2 − 8x + 24
2) y = (x + 4)e
3) y =
4) y =
3
−(x + 3)
2
5) y = 3x − 10 .
3 − 2x
x (x − 6)2 .
7) y = x 2 − 2 ln x .
sin x .
2.
8) y = 3x −
x3
dx
.
2x + 9
2)∫
5
3)∫
dx
.
2
4x + 7
2xdx
.
5x 2 − 3
dx
.
3x 2 − 4
ctg5 x
dx .
sin2 x
4)∫
5)∫
6)∫
3 + 2xdx .
1)
19.1)∫
2
π
2
2
5
6
6)∫
1
3
dx
8 + 6x − 9x 2
.
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
sin 4x
dx .
cos 4x
∞
1)∫
arccos2 7x
1
dx
(6x − 5x + 1)ln 3
4
2
4
. 2)∫
0
10xdx
4
(16 − x 2 )3
.
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
1) x =
dx
1 − x4
dx .
6)∫ 3
.
2
x +4
x − x2
dx
6x
dx .
3)∫
. 7)∫ 3
2
x −1
1 − 2x − 3x
(x − 7)dx
2x 5 − 2x 3 − x 2
4)∫ 2
. 8)
dx .
4x + 3x − 1 ∫
1 − x4
3)∫
0
3
x
x
cos4 dx .
4
4
x + x2 + 2
dx . 5)∫ x 4 9 − x 2dx .
x (x 2 − 1)2
0
3)∫ cos5 xdx .
4 − y 2 , x = 0, y = 0, y = 1.
x = 4 2 cos3 t,
2)
x = 2 (x ≥ 2).
y = 2 sin 3 t,
3) ρ = cos ϕ − sin ϕ.
2)∫
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
2y = x 2 ,2x + 2y − 3 = 0, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням дуги кривої x = 2 cos3 t,
y = 2 sin 3 t навколо осі Ox .
4)∫ sin 4 x cos5 xdx .
dx
.
6 − 3 cos2 x
dx
cos 3x cos xdx . 6)∫
.
4 − 4 sin x + 3 cos x
2)∫ sin 3 4xdx .
dx . 4)∫ sin4
π
dx .
1 − 49x 2
(7x 2 − 17x )dx
x +4
.
5)
dx
∫ (x − 2)(x 2 − 2x − 3).
7x 2 + 3
20.1)∫ tg3 5xdx .
∫ (x + 1)e
2)∫
10)∫ xe 3−x dx .
12)∫
4)∫ x arctg2 xdx .
2π
− 2x
−1
3 3
dx
3
dx .
. 6)∫
.
x 2 + 5x + 1
x x 2 − 3x + 2
x 2dx
( 3x + 1 − 1)dx
.
7)
.
∫
3
3x + 1 + 3x + 1
9 − x2
4
1+ 3 x
x 3dx
.
8)∫
dx .
x +6
x 12 x 5
0
.
1 − 3x 2
dx
9)∫
.
(x − 4) ln5 (x − 4)
11)∫
2x 2 − x + 5
dx
23. Обчислити інтеграли:
7)∫ sin(9x − 1)dx .
8)∫
4x + 3
x
2)∫ (x 2 − 4)sin xdx . 5)∫ (x + 2)cos dx .
4
x
3)∫ xe −5xdx .
6)∫ arcsin dx .
7
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫
1 − 3x
dx
dx . 5)∫
2
22.1)∫ x sin2 xdx .
4
6) y = 5x x+ 3 .
.
8 − 2x
21.1)∫
5)∫
59

63.

ln ( x − π )
2 .
7.1) limπ
x→
tg
5
x
2
Варіант 29
1. Побудувати графіки функцій:
1) y = 1 sin ( 3x − 3π ). 4) y = tg ( 1 x + π ).
2
4
2
8
x −2
2) y = 2 arcsin(x + 3). 5) y = −e .
x →+∞
( )
10
x →0
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
4
1) α(x ) = e x − cos 4x , β(x ) = tg 3 x 2 , x → 0.
2) α(x ) =
4 − x 2 + x 2 − 2, β(x ) = arcsin x ,
x → 0.
б) тригонометричну форму z 3;
z
x →1
tg x
2) lim (π − 2 arctg x ) x . 4) lim ( x2 ) .
3) y = 1 arcctg(x − 2). 6) y = − ln(2x − 3).
3
2. Знайти:
z
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 + i 8 ;
2
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
πx
3) lim(1 − x )2 cos 2 ;
3) α(x ) = ln(1 + sin x ⋅ tg6 x ), β(x ) = x , x → 0.
;
9. Дослідити функцію на неперервність:
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 2 < z − 3 < 4, π < arg z < 2π .
2
3
2) z − 3i < z − 2 , Re z > 1.
x −1
.
x2 − x 3
3x + 4, x ≤ −1,
2) f (x ) = x 2 − 2, −1 < x < 2,
x ,
x ≥ 2.
3) z 3 − 5z 2 + 2z + 78 = 0.
3) f (x ) = 6 4−x у точках x1 = 3, x 2 = 4.
Знайти границі (4—7):
Знайти похідні функцій (10—13):
3
z1 = 6 − 6i, z 2 = 3 +
z1 та
4
z 2 , якщо:
1) f (x ) =
3i, z 3 = −9 + 8i.
2
3 + 6 + 9 + ... + 3n
4.1) lim
.
n →∞
n2 + 4
2) lim
n2 − n 3 + 1
n →∞ 3
n + 2 −n
6
log 3 (x + 4)
10.1) y = 43 − 5 x 3 −
.
cos5 x
x
2) y =
.
3) y = sin5 3x ⋅ arctg x −
3) lim n( n 4 + 3 − n 4 − 2).
n →∞
3x 2 − 2x − 40
7x
. 6.1) lim
.
2
x → 4 x − 3x − 4
x → 0 sin x + sin 7x
x 3 − 2x − 4
1 − cos 8x
2) lim 2
. 2) lim
.
x →2 x − 11x + 18
x →0
2x 2
tg ( π ( 1 + x ) )
4x 3 − 2x + 1
2 .
3) lim 3
.
3)
lim
x →∞ 2x + 3x 2 + 2
x →0
ln(x + 1)
5.1) lim
9+x −3
.
x2 + x
x →0
3−2x
7) lim
( x −x 1 )
8) lim
(
x →∞
x →∞
3+x
9x − 4
6) y = (ln(7x + 4))tg x +
)
.
2 ln(2x 2 + 3)
(x − 7)4
(x − 1)5 (x + 1)2
.
(x + 2)4 (x − 5)7
6
2
11.1) sin xy 2 = y. 2) y x = x y .
1
x = 6t 2 − 4, x = 2 ,
t
12.
: 1)
2)
5
′′
yxx = ?
y = 21 .
y = 3t .
t +1
(5)
13.1)y = (5x − 1)ln 2x , y = ?
yx′ = ?
1 − sin 3 x
.
2
x→
2 cos x
2
2) y =
7) lim(1 − ln cos x )ctg x .
x →0
ln(x +1)
2x
x 2 − 3x − 7.
5) y = e − cos x arcsin 2x − (cth x )sin(x +3).
6) limπ
.
3
sh 3 x .
arcctg 5x
4) y = lg(x + 3)arcctg2 5x +
2x 2 + 10x − 11
3 − 10 − x
4) lim
.4) lim
.
x →−∞ 3x 4 − 2x + 5
x →1
sin 3πx
x 3 − 81
e 2x − e x
5) lim 2
. 5) lim
.
x →∞ 3x + 4x + 2
x → 0 x + tg x 2
6) lim
2x 3 − cos2 sin 3 + e x
1 + x (n )
,y = ?
1−x
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
8) lim ( x1 )ln(2−x ) .
x →1
1) y =
60
x2
+ 3, x 0 = 2.
10

64.

2) x = sin t, y = a t , t0 = 0.
3) x = 2t, y = ln t, z = t , M 0 (2; 0;1).
2
2)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = 1 (11 + 9x − 3x 2 − x 3 ).
3)∫
8
1) y = 108x − x 4 ,[−1; 4].
16. max
min
[a ,b ]
f (x ) = ?
4)∫
2) y = 42 − 8x , −2; − 1 .
2
x
1) y =
6(x − 1)
. 5) y = 4 − 2x2 .
2(x + 2x + 9)
1−x
4x − 13 .
4x + 3
2
9.
3) y = x − 6x +
2
(x − 1)
7) y = e
.
x −3
4) y = e
8) y =
+
2 cos x
.
1
18.1)∫
2)∫
4
3)∫
2dx
.
4 + 3x 2
4)∫
5)∫
9)∫
xdx
.
3x 2 − 2
dx
4x + 5
2
10)∫
.
6)∫ e 8x +1dx .
19.1)∫
2)∫
3)∫
3x + 7
dx .
x2 + 4
x2 + 4
dx .
x −3
11)∫
5
5)∫
x − 5x + 1
dx
dx .
(x + 1) 2 − x − x 2
8)∫
.
dx
.
4 x−6x
3
1+ 5 x
dx .
x 15 x 4
4)∫ x 2 arcctg xdx .
6)∫ arccos xdx .
π
1)∫ x tg xdx .
0
5
x (x + 6) .
2
2)∫
3
3
2
3)∫
2
4)∫ 24 sin2
0
3
x 3 − 2x 2 + 4
dx . 5)∫
x 3 (x − 2)2
0
4x − 3 − x
x 3dx
9 + x2
ln 12
dx
2
.
x
x
cos6 dx .
2
2
.
dx
.
e +4
6) ∫
x
ln 5
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
2
1)∫
ctg x
dx .
sin2 x
1
3
dx
.
9x − 9x + 2
2
1
4
2)∫
3
0
dx
.
1 − 4x
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
arctg x
dx .
1 + x2
12)∫ xe −2x
7)∫
2
ln6 (x + 9)
dx .
x +9
sin 2x
dx .
3
cos4 2x
5
16 − x 2
dx .
x4
dx
.
3+ x −6
π
4
x −3
7)∫ cos(10x − 3)dx .
(3 + 5x )3dx . 8)∫
6)∫
3 − x − x2
3x − 7
2
23. Обчислити інтеграли:
Знайти інтеграли (18—22):
dx
.
7x − 3
.
2x − 1
dx
3)∫ xe x + 3dx .
6) y = e 2−x .
3
5)∫
x
2)∫ (x 2 + x )cos xdx . 5)∫ x sin dx .
5
2
2
2
2) y = x
dx .
2
22.1)∫ ln(x + 5)dx .
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
33
3x + 2
21.1)∫
1) y = (x − 1)2, y 2 = x − 1.
2 −1
dx .
x = 2 2 cos t,
2)
y = 5 (y ≥ 5).
y = 5 2 sin t,
3) ρ = 3 sin ϕ, ρ = 5 sin ϕ.
6x 4 − 30x 2 + 30
dx .
(x 2 − 1)(x + 2)
2x 2 + 1
dx .
x 3 − 2x 2 + x
dx
(5x 2 + 17x + 36)dx
.
7)
∫ (x + 1)(x 2 + 6x + 13).
2x 2 + 3x + 6
6)∫
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
y = x − x 2, y = 0, навколо осі Ox .
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням
кривої
x = cos t,
y = 2 + sin t навколо осі Ox .
(2x + 1)dx
x3 + x2 + x − 1
.
8)
dx .
5x 2 + 2x + 10 ∫ x 4 + 5x 2 + 4
7x
20.1)∫ tg2 dx . 4)∫ sin 4 3x cos2 3xdx .
4
dx
2)∫ sin 3 4xdx .
5)∫
.
2
sin x + 3 cos2 x
dx
3)∫ cos 2x sin 3xdx . 6)∫
.
3 sin x − cos x
4)∫
61

65.

3
sec2 x − 2 tg x
. 3) lim x 2e−x .
x →∞
x→
4 1 + cos 4x
Варіант 30
1. Побудувати графіки функцій:
7.1) limπ
1) y = − 1 cos ( 2x + π ). 4) y = ctg ( 1 x + π ).
2
3
3
12
2) y = 2 arccos ( x − 1 ). 5) y = e x +2 .
2
3) y = 3 arctg(x + 1). 6) y = lg(5 − 3x ).
8. Визначити порядок і головну частину
розкладу α(x ) відносно β(x ) :
2. Знайти:
1) α(x ) =
πx
2) lim(x − 1)cos 2 .
x →1
z
(z )
10
3
3) α(x ) = ln cos 2x , β(x ) = arcsin x , x → 0.
9. Дослідити функцію на неперервність:
z1 та 4 z 2 , якщо:
1− x
.
x2 − 1
x + 2,
x ≤ −1,
2) f (x ) = x 2 + 1, −1 < x ≤ 1,
−x + 3, x > 1.
x +1
3) f (x ) =
у точках x1 = 2, x 2 = 3.
x −2
1) f (x ) =
z1 = 7 + 7i, z 2 = − 3 + i, z 3 = −8 − 7i.
3. Зобразити множину точок z ∈ ℂ :
1) 1 < z + 3 < 4, π < arg z < π.
3
2) z + 3i > z + 2 , Im z > 2.
3) z 3 + 5z 2 + 8z + 6 = 0.
Знайти границі (4—7):
Знайти похідні функцій (10—13):
.
− tg x
10.1) y = 64 − x 7 + 2 e
.
x
4x + 7x − 5
tg4 3x
2) y = 3 5x 5 − sin 3 cos 2 −
.
2
lg(x − x + 4)
n + 1 − 3 n3 + 1
.
n →∞ 4 n + 1 − 5 n 5 + 1
2) lim
n(n + 1)(n + 2)( n 3 − 3 − n 3 − 2).
3) lim
n →∞
3
5.1) lim
7x 3 + 3x − 4
.
x →∞ 2x 2 − 5x + 1
7x + 4
5) lim
.
3
x →−∞ 3x − 5x + 1
4x + 1 − 3
.
x3 − 8
4 − 2x x +1
.
7) lim
x →∞ 1 − 2x
6) lim
x →2
(
8) lim
x →−∞
)
(
x +5
4x − 2
)
3x
4) lim
x →π
5) y = th 3 5x ⋅ arcctg(2x − 5) + (sh 3x )arccos 2x .
6) y = (lg(8x + 3))tg 5x −
sin 5x
.
tg 3x
5) lim
x →π cos 32x
3
3x
(x + 1)2 5 (x + 2)3
.
(x − 1)4 (x − 3)5
11.1) ctg2 (x + y ) = 5y. 2) x 3 + y 3 = 15xy.
π
tg(3 x − 3)
5
ch 3x .
arctg(x + 2)
4 lg(3x + 7)
4) y = log5 (x + 1)arctg2 x 3 −
.
(x − 5)3
3) y = cos4 3x ⋅ arcsin 3x 2 +
2x + 5x − 3
cos x − cos x
. 6.1) lim
.
2
x →−3 3x + 10x + 3
x →0
5x 2
x 3 − 64
ln(1 + 5x )
2) lim 2
. 2) lim
.
x → 4 7x − 27x − 4
x →0
sin 3x
5x 2 − 3x + 1
2(e πx − 1)
3) lim
.
3) lim 3
.
2
x →∞ 3x + x − 5
x → 0 3( 1 + x − 1)
2
4) lim
1 + x 3 − 1, β(x ) = arctg x , x → 0.
x → −2.
;
29
2n + 5n
7
4.1) lim +
+ ... +
n →∞ 10
100
10n
x →0
2) α(x ) = ln(x 2 + 7x + 11), β(x ) = x + 2,
а) алгебричну форму z 1 + 2z 3 − i 5 ;
2
б) тригонометричну форму z 3;
в), г) (z1z 2 )8 та z1
2
д), е) всі значення
4
2
4) lim(ctg x )sin x .
.
12.
−1
2 − 32x
6) lim
.
x → 0 x + arcsin x 3
log3 x − 1
7) lim
.
x →3
tg πx
1
. 8) lim ( 1 − sin2 x )ln(1+ tg
2
x →0
2 x)
yx′ = ?
x = cos t + sin t, x = arcsin t,
: 1)
2)
y = sin 2t.
y = ln t.
′′ = ?
yxx
13.1) y = (x 2 + 2x − 1) sin 2x , y (5) = ?
2) y =
7x + 1 (n )
,y = ?
4x + 3
14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:
.
1) y =
62
x 2 − 2x − 3
, x 0 = 4.
4

66.

π
.
6
3) x = t 3 − 1, y = 3t 2, z = 2t 3 − 1, M 0 (0; 3;1).
2) x = sin t, y = cos 2t, t0 =
21.1)∫
15. Знайти проміжки монотонності фун-
кції y = − 1 (x + 1)2 (x − 3)2 .
16
1) y = 1 x 4 − 6x 3 + 7,[16;20].
4
f (x ) = ?
2) y = 3 (x + 1)2 (x − 2),[−2; −5].
16. max
min
[a ,b ]
3 3 6(x − 1)2
.
2(x 2 + 2x + 9)
3) y =
4) y =
3
6) y =
5x .
4 − x2
3)∫
dx
.
3x 2 − 2
2dx
(x − 2)2dx .
4x 2 − 3
7xdx
.
7x 2 + 1
6)∫ e
4 −7 x
19.1)∫
3)∫
16 − x 2
dx .
x2
7)∫
(3
( x + 1 − 1)dx
.
x + 1 + 1) x + 1
1)∫ x arctg xdx .
3
5)∫
. 6)∫
.
x 2 + 4x + 1
x 1 − 3x − 2x 2
sin x + cos x
.
2
dx
.
6x + 1
1
6
8) y = ln x +
x .
9)∫
.
dx .
x −5
.
9x 2 + 4
10)∫
11)∫
1
3
0
3)∫
−π
2
π
x
5)∫ sin 4 dx .
2
0
6 − x dx .
dx
.
x + 2x + 3
−1
6)∫
2
24. Обчислити інтеграли або довести їх
розбіжність:
∞
arctg 8x
dx .
1 + 64x 2
1)∫
3
xdx .
dx
.
x − 3x + 2
2
1
2
2)∫
0
dx
.
(2x − 1)2
25. Обчислити площі фігур, обмежених
кривими:
(3x 2 − 17x + 2)dx
.
(x − 1)(x 2 + 5x + 6)
1) y = x 2 cos x , y = 0 ( 0 ≤ x ≤ π ).
2
x = 4(t − sin t ),
2)
y = 4(1 − cos t ),
y = 6 (0 < x < 3π, y ≥ 6).
2x 3 + 3
2x 3 + 5x 2 − 1
dx
.
6)
∫ x 3 + x 2 dx .
2x 2 − 1
dx
(2x + 22)dx
3)∫ 2
. 7)∫
.
3x + 5x + 2
(x + 2)(x 2 − 2x + 10)
(x − 4)dx
(2x + 3)dx
4)∫ 2
. 8)∫
.
5x − x + 1
(x − 1)2 (x 2 + 4)
4)∫
4) ∫ 28 cos8 xdx .
1
2
0
2)∫
20.1)∫ tg5 4xdx .
x 2dx
.
x4 −1
6
4
12)∫ e
5)∫
2) ∫
ln(3x + 5)
dx .
3x + 5
cos 6x
dx .
sin 4 6x
tg7 3x
dx .
cos2 3x
4 −5x 2
0
0
7)∫ sin(9x + 7).
8)∫
dx .
2)∫
23. Обчислити інтеграли.
2)∫
4)∫
2 − 3x − x 2
dx
(x + 1)2 − 3 (x + 2)2 .7) y = ln(4 − x 2 ).
Знайти інтеграли (18—22):
18.1)∫
7x − 1
5)∫
5
dx
1+ 5 x
. 8)∫
dx .
2+ x −8
x 15 x 4
2−x
dx . 4)∫ (x 2 + 4)e 2xdx .
22.1)∫ ln
2+x
x
2)∫ x arctg 2xdx . 5)∫ (x − 9)sin dx .
2
x
3)∫ x cos(x − 2)dx . 6)∫ arccos dx .
3
2
5) y = −82− x .
x −4
3
2) y = x − 273x + 51 .
x
3x 2 − 4
dx
.
4)∫
17. Дослідити функцію і побудувати її
графік:
1) y =
2x − 1
3) ρ = 2 sin ϕ, ρ = 4 sin ϕ.
26. Обчислити об’єм тіла, утвореного
обертанням фігури, обмеженої кривими
3
sin x
dx .
cos4 x
3x
sin2 x
2)∫ sin2 dx .
5)∫
dx .
4
3 sin2 x − cos2 x
dx
3)∫ cos 7x cos 5xdx . 6)∫
.
2 − 3 cos x + sin x
3
y = 2−
x2
, x + y = 2, навколо осі Oy.
2
27. Обчислити площу поверхні, утвореної
обертанням кривої x = cos t, y = 4 + sin t
навколо осі Ox .
63

67.

Додаткові задачі
1. Описати множини A ∪ B, A ∩ B, A \ B,
B \ A, A△B переліком всіх елементів якщо:
9. Визначити порядок нескінченно великої:
1) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4}.
2) f (x ) =
x5
, x → ∞.
1 + x + 2x 2
2) A = {4, 5, 6}, B = {5, 6, 7}.
3) f (x ) =
x 4 + x + 1, x → ∞.
1) f (x ) = ctg2 x 3, x → 0.
3) A = (−2, 3], B = [2, 4).
4) f (x ) =
ln x
, x → 1.
(x − 1)2
Вважаючи U = [0, 2] універсальною
множиною, знайти і зобразити A, якщо A :
10. Які з пар функцій є функціями одного
1) {0,1, 2}.
2) ( 1 ,1 ). 3) (0,1].
2
3. Знайти max X , min X , sup X , inf X , якщо:
1
1) X = n , n ∈ N . 2) X = [0,1).
5
4. Знайти множину точок z ∈ C :
порядку:
1) z − 1 = Re z .
x 2 arctg x
, g(x ) = 1, x → ∞;
x2 + x + 1
1
4) f (x ) = x cos , g(x ) = x , x → 0 ?
x
11. Визначити при яких значеннях α та
2.
{
2)
π
4
x → 1, x → ∞.
}
≤ arg(z + 2 − i ) ≤
3) Re
1) f (x ) = x 3 − x 2 − x + 1, g(x ) = x 3 − x ;
2) f (x ) =
4) z > 2 + Im z .
z −1
= 0.
z +1
1
; x → ±∞.
x
3) f (x ) =
z −1
= 0.
z +1
z −1
= 0.
6) arg
z +1
3π
.5)
4
x 2 + 1 − x , g(x ) =
Im
5. Довести, що:
β функції f (x ) та g (x ) = αx β є еквівале-
1) n(2n 2 − 3n + 1)⋮ 6.
нтними:
1
1
2) n < 1 +
+ ... +
< 2 n.
n
2
3) (1 + x )n ≥ 1 + nx , x > −1.
1) f (x ) =
2x + x ; x → +0, x → +∞.
2) f (x ) =
1 − 2x − 3 1 − 3x , x → 0.
4
3) f (x ) = 2e x + (cos x − 1)2 + x 5 − 2, x → 0.
6. Довести, користуючись означенням, що:
4) f (x ) = 1 − cos ( 1 − cos x ) .
1
3n − 2
3
2x 2 + 5x − 3
1) lim
= . 3) lim
= −7.
n →∞ 2n − 1
x →−3
2
x +3
4n − 1
5x 2 − 4x − 1
2) lim
= 2. 4) lim
= 6.
n →∞ 2n + 1
x →1
x −1
7. Знайти границі.
1) lim
n →∞
12. Знайти корені рівнянь на інтервалах з
точністю до 0,1 :
1) x 3 − 3x + 1,(1;2).
2) x 3 − 6x + 2 = 0,(−3; −2),(0;1),(2; 3).
( n1 + n4 + ... + 3nn− 2 ).
2
2
3) x 3 − 3x 2 + 3 = 0,(−1; 0),(1;2),(2; 3).
2
3n + 2n
1 1 1 1
2) lim + + + + ... +
.
n →∞ 2
3 4 9
6n
(n + 2)!− n(n + 1)!
3) lim
.
n →∞
(n + 1)!+ n !
(2n )!+ n(2n − 1)!
4) lim 2
.
n →∞ n (2n − 2)!− (2n − 1)!
8. При яких значеннях α і β функція f (x )
буде нескінченно малою при x → +0 :
1
ln(1 + x α )
1) f (x ) = x α sin β . 3) f (x ) =
.
x
xβ
β
1
2) f (x ) = x α arctg β . 4) f (x ) = (1 − x α )x .
x
13. Наближено обчислити:
1) arcsin 0, 6. 2) arctg 0, 95. 3)
3
26,19.
14. Перевірити теорему Ролля:
1) f (x ) = x (x 2 − 1), x ∈ [−1;1], x ∈ [0;1].
2) f (x ) =
3
x 2 − 5x + 6, x ∈ [2; 3].
3) f (x ) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6, x ∈ [1; 3].
15. Перевірити теорему Лагранжа:
1) f (x ) = x 3 − 3x 2 + x + 1, x ∈ [1; 3].
2) f (x ) = arctg x , x ∈ [1; 3].
64

68.

16. Довести нерівності:
1) e x > 1 + x , x ≠ 0.
22. Дослідити функцію на екстремум:
1
1) f (x ) = x + .
3) f (x ) = x 2 (2 − x ).
x
b −a
1+b
b −a
< ln
<
, 0 < a < b.
1+b
1+a
1+a
x
3)
< ln x (1 + x ) < x , x > 0.
1+x
2(x − 1)
4)
ln x , x > 1.
x +1
5) ln(1 + x 2 ) ≤ 2x arctg x .
2)
2
4) f (x ) = xe −x .
2) f (x ) = e x cos x .
23. Знайти найменше та найбільше зна-
чення функції:
1) y = 2 sin x + sin 2x , 0; 3π .
2
2
9π
2) y = 4x +
+ sin x , x ∈ [π;2π].
x
arctg x
< ln(1 + x ), x > 0.
1+x
x3
7) x −
< sin x , x > 0.
6
x3
< tg x , x ∈ 0; π .
8) x +
2
3
17. Перевірити теорему Коші:
6)
24. Дослідити функцію на опуклість:
2
5) f (x ) = e −x .
x
2) f (x ) = x 4 − 6x 2 + 2. 6) y = 2
.
x +1
1) f (x ) = x 3 + 1.
2
7) f (x ) = e 2x −x .
3) f (x ) = x 2 ln x .
1) f (x ) = x 4 , ϕ(x ) = x 2 ,[a;b ], 0 < a < b.
4) f (x ) = x 3 − 6x 2 + 2x + 10.
2) f (x ) = sin x , ϕ(x ) = cos x , x ∈ π6 ; π3 .
18. Розвинути f (x ) за степенями g (x ) :
25. Знайти асимптоти графіка функції:
1)
1) f (x ) = x 3 + 2x 2 − 3x + 1, g(x ) = x + 1.
x 2 y2
−
= 1.
25
4
3) f (x ) =
x3
.
1 − x2
4) f (x ) = x ( 1 − x ) .
1 x
2) f (x ) = x 4 − 2x + 3, g(x ) = x − 1.
2) f (x ) = x arctg x .
19. Наближено обчислити з похибкою
26. Побудувати графік функції:
1) y = cos 3x + 3 cos x .
6) y = e cos x .
меншою 10−3 :
1) 3 127. 2)
4
83. 3) sin 85°. 4)ln(1, 3).
20. Оцінити абсолютну похибку набли-
2) y = cos x − ln cos x .
7) y = e − arctg x .
3) y = e sin x + cos x .
8) y = (1 + x )x .
4) y = ln(cos x + sin x ).
9) y =
1
жених формул:
n
xk
1) e ≈ ∑ , x ∈ [0;1].
k =0 k !
x
5) y = arctg
x3 x5
2) sin x ≈ x −
+ , x < 1.
3!
5!
2
x
x4 x6
3) cos x ≈ 1 −
+
− , x ≤ 0, 5.
2!
4 ! 6!
x3
4) tg x ≈ x + , x ≤ 0,1.
3
x2 x3 x4
5) ln(1 + x ) ≈ x −
+
− , x ≤ 0,1.
2
3
4
21. Дослідити функцію в околі заданих
arcsin x
1 − x2
.
sin x + cos x
1 x
. 10)y = ( 1 + x ) .
2
27. Обчислити інтеграли:
5
2
dx
1)∫
.
(5 − x 2 )3
0
3
dx
2)∫
.
(1 + x 2 )3
1
2 2
x2 − 4
dx .
x4
3) ∫
2
+∞
4) ∫
0
dx
.
(1 + x 2 )6
29. Дослідити інтеграли на збіжність:
точок:
+∞
1) ∫
1) y = x − 4x − (x − 2) ln(x − 1), x 0 = 2.
2
0
2) y = 6e x −2 − x 3 + 3x 2 − 6x , x 0 = 2.
5
2)∫
3) y = sin2 (x + 2) − x 2 − 4x − 4, x 0 = 2.
0
65
1
x 7dx
.
(x 3 + x + 1)3
3)∫
dx
.
ln x
4)∫
0
π
4
0
dx
.
e − cos x
x
sin x
x3
dx .