Арифметическая и геометрическая прогрессии. 10 класс

1.

Какая наука может быть более благородна,
более восхитительна, более полезна для
человечества, чем математика? Франклин
Мыслить последовательно, судить
доказательно, опровергать неправильные
выводы должен уметь всякий: физик и
поэт, тракторист и химик.
Э.Кольман
В математике следует помнить не формулы,
а процессы мышления.
В.П.Ермаков
Легче найти квадратуру круга, чем
перехитрить математика. Огастес де Морган

2.

Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
10 класс

3. I. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Вопросы

1. Определение арифметической прогрессии.
Арифметической
прогрессией
называется прогрессии.
2.
Формула n-го члена
арифметической
последовательность, каждый член которой, начиная со
3.
Формула
суммы
первых nчлену,
членов
второго,
равен
предыдущему
сложенному с одним
n
1
n
и тем
же
числом.
арифметической
прогрессии
.
n
1
a
d
a a d n 1
a
a
2
a
d
n
1
1
n
1
4. S
Определение
геометрической
прогрессии.
n
S
n
a
n
n
2
2
Геометрической
прогрессией
называется
5. Формула n-го члена геометрической прогрессии.
последовательность отличных от нуля чисел,
n 1каждый
b
b
q
bnФормула
b
q
,
b
0
член
которой,
начиная
со
второго,
равен
предыдущему
n
1
1
6.
суммы
первых
n
членов
геометрической
1
n
n
n же число
члену,
умноженному
на одноbи то
прогрессии
.
q 1
Sn
1
q 1
,q 1

4. II. Арифметическая прогрессия. Задания

1. Арифметическая прогрессия задана формулой an = 7 – 4n
(-33)
Найдите a10.
2. В арифметической прогрессии
a3 = 7 и a5 = 1.
3. В арифметической прогрессии
a3 = 7 и a5 = 1.
4. В арифметической прогрессии
a3 = 7 и a5 = 1.
Найдите a4 .
Найдите a17.
Найдите S17.
(4)
(-35)
(-187)

5. II. Геометрическая прогрессия. Задания

5. Для геометрической прогрессии
найдите пятый член
2 2
2; ; ;...
3 9
2
81
6. Для геометрической прогрессии
найдите n-й член.
2 2
2; ; ;...
3 9
1
2
3
7. В геометрической прогрессии
b3 = 8 и b5 = 2.
8. В геометрической прогрессии
b3 = 8 и b5 = 2.
9. В геометрической прогрессии
b3 = 8 и b5 = 2.
Найдите b4.
Найдите b1 и q.
Найдите S5.
n 1
(4)
1
и
32
2
(62)

6.

7.

8.

n
1
0
n
2

9.

определение:
Геометрическая прогрессия называется
бесконечно убывающей, если модуль её
знаменателя меньше единицы. q 1

10. Задача №1

Является ли последовательность бесконечно
убывающей геометрической прогрессией, если
она заданна формулой:
10
а )bn n
7
б )b n 4
n 2
Решение: а)
10
b1
7
10
b2
49
10 10 1
q
:
49 7 7
1
1
7
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б)
данная последовательность не является бесконечно убывающей
геометрической прогрессией.

11.

1
lim n 0
n 2
1
lim 1 n 1
n
2
lim S n 1
n

12.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
есть предел последовательности S1, S2, S3, …, Sn, … .
1 1 1
1
1
,
,
,
,...,
гдеb
1
,
q
Например, для прогрессии
1
3 9 27
3
имеем
Так как
n
1
1 1
1 2
1 1 7
3 3 3 1 n
S1 1, S 2 1 , S3 1 ,..., S n
,...
3 3
3 9 9
4 4 3
1
1
3
n
3
1
lim 0, то lim S n .
n
n
4
3
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
можно находить по формуле
b1
S
1 q

13. Вопросы

• С какой последовательностью сегодня
познакомились?
• Дайте определение бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
• Как доказать, что геометрическая
прогрессия является бесконечно
убывающей?
• Назовите формулу суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.

14.

• Известный польский
математик Гуго Штейнгаус
шутливо утверждает, что
существует закон, который
формулируется так:
математик сделает это
лучше. А именно, если
поручить двум людям, один
из которых математик,
выполнение любой
незнакомой им работы, то
результат всегда будет
следующим: математик
сделает ее лучше.
Гуго Штейнгаус
14.01.1887-25.02.1972