Предел функции

1. Предел функции

2.

3.

Свойства вычисления пределов
Если lim хn = b и lim уn = c , то
n→∞
n→∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim (хn+ уn) = lim хn + lim уn = b + c
n→∞
n→∞
n→∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim (хn· уn) = lim хn ∙ lim уn = b · c
n→∞
n→∞ n→∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim (хn : уn) = lim хn : lim уn = b : c
n→∞
n→∞ n→∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k · хn) = k · lim хn = k · b
n→∞
n→∞

4. Свойства вычисления пределов

Примеры вычисления пределов
Пример 1. Вычислить
lim
x
2 x 5 3x 3 1
x5 4 x 2 2 x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е. на x3.
2 x 5 3x 3
1
3
1
2
x 2 x5
x5
x5
x5
2 x 5 3x 3 1
lim
lim 5
2
4
2
lim
5
2
x
x
4
x
2
x
x
1
x x 4 x 2 x
3
4
5 5
5
x
x
x
x
x
3
1
3
1
2 lim 2 lim 5 2 0 0
2 2 5 lim
lim
2
x
x x
x x
x
x
x
2
4
2
4
2
1 0 0
1
1
lim
1
lim
lim
lim
x x 3
x x 4
x 3 x 4 x
x

5. Примеры вычисления пределов

Пример 2. Вычислить
5x3 x 2 1
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x 3т.е. 2на x4.
5x3 x 2 1
lim
lim
4
2
x
x 2 x 3 x 5 x 2
1
1
5
lim
x2 x4
x x
3
5
2
2 2 3 4
lim
x
x
x
x
5
1
1
5x
x
1
x x2 x4
x4
x4 x4
lim
2
3
5
2
2
3x
5x
2
x
2 2 3 4
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
5
1
1
lim 2 lim 4
x x
x x
x x
3
5
2
lim 2 lim 2 lim 3 lim 4
x
x x
x x
x x
lim
0 0 0
0
0
2 0 0 0 2

6. Примеры вычисления пределов

Пример 3. Вычислить
lim
x
2x6 x2 i
x 4 2 x3 x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е. на x6.
lim
x
x6 x2 i
lim
4
3
x 2 x x x
1
i
2x6 x2
i
2 4 6
6 6
6
x
x
x
x
x
1
2
1
x 4 2 x3
x lim
x
3 5
6 6
2
6
x
x
x
x
x
x
1
i
1
i
lim 2 lim 4 lim 6
2 4 6
lim
x
x x
x x
x
x
n
1
2
1
2
1
1
lim 2 lim 3 lim 5
2
3
5
lim
x x
x x
x
x
x
x x
n
2 0 0 2
(не существует)
0 0 0 0

7. Примеры вычисления пределов

Правила вычисления пределов
1. Если старшая степень числителя и
знаменателя совпадают, то предел
такого вида всегда будет равен
отношению коэффициентов при
старших степенях переменной.
2 x 3x 1
2
5
2
x 4x 2x
5
lim
x
3

8. Правила вычисления пределов

2. Если степень знаменателя
выше степени числителя, то
предел такого вида равен нулю.
5x x 1
0
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
3
2

9. Правила вычисления пределов

3. Если же старшая степень числителя
выше степени знаменателя, то, очевидно,
все слагаемые знаменателя в пределе
будут равны нулю, это означает, что
предел не существует.
x x i
4
3
x 2x x
6
lim
x
2

10. Правила вычисления пределов

Вычислите самостоятельно пределы функций на
бесконечности:
x4 4x 2
1. lim 2
x 5 x 3 x 1
3x
2. lim 2
0
x x 3x 7
4
2
x 4x 7
3. lim 2
x x 4 x 3
6 x 3 3x 2 x 1
4. lim
3
2 x x 13
x
6
3
2

11.

Методика вычисления пределов в точке
Если функция существует в точке x = a, то ее предел
равен f(a).
Примеры вычисления пределов
Пример 1. Вычислить lim (2 x 5)
x 3
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3) и
применим правила вычисления пределов.
(2 x 5) lim 2 x lim 5 2 lim x lim 5
lim
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
6 5 2 3 5 11

12. Методика вычисления пределов в точке

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
Решение.
lim ( x 2 x 3)
2
x ( 2 )
lim ( x 2 x 3) lim x lim 2 x lim 3
2
2
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
lim x 2 lim x lim 3
2
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
( 2) 2 ( 2) 3 4 4 3 3
3x
Пример 3. Вычислить lim 2 x 1
x 3
Решение.
3 lim x
2
lim 3 x
3x
x 3
x 3
lim
x lim 1
lim (2 x 1) 2 lim
x 3 2 x 1
x 3
x 3
x 3
3 3
1,8
2 3 1

13.

Методика вычисления пределов в точке
Если же функция в точке х = а не существует, в
знаменателе дроби ноль, то вычисляем
значение числителя
в этой точке.
3
x
1. lim 3
2
x x 4
5
x
1
2. lim
2
x 1 x 1
2x
3. lim
x 3 x 3
x 2

14. Методика вычисления пределов в точке

Примеры вычисления пределов
x3
Пример 1. Вычислить lim 3
x 2 x x 2 4
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2) и
применим правила вычисления пределов.
3
lim x
x
x 2
lim 3
2
3
2
x 2 x x 4
lim ( x x 4)
3
lim x 3
x 2
3
2
3 2
3
2
lim x lim x lim 4 2 2 4
x 2
x 2
x 2
x 2
8
8
8 4 4 0

15.

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
5x 1
lim 2
x 1
x 1
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2) и
применим правила вычисления пределов.
5x
lim 2
x 1
x 1
lim 5 x
x 1
lim ( x 1)
x 1
5 lim x
5 1
x 1
2
2
lim x lim 1
1
1
x 1
x 1
5
5
1 1 0
2

16.

Примеры вычисления пределов
Пример 3. Вычислить
2x
lim
x 3
x 3
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3) и
применим правила вычисления пределов.
lim x
3
lim
2
x
x 3
2x
x 3
lim
x 3
x lim 3
( x 3) lim
x 3 lim
x 3
x 3
x 3
2 lim x
2 3 6
lim x lim 3 3 3 0
x 3
x 3
x 3

17.

Методика вычисления пределов в точке
Если и в знаменателе и в числителе нули, то,