Основная теорема статики

1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ

ЛЕММА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ
Силу, приложенную в некоторой точке АТТ, можно переносить параллельно самой себе в любую другую точку этого тела, прикладывая при
этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.
Доказательство:
F2
M
d
A
F
B
F1
A
F
B
d
A
F1
( F , F1 , F2 ) ~ F в точке А т.к. ( F1 , F2 ) ~0;
( F , F1 , F2 ) ~ F1 в точке В пара сил ( F , F2 );
Следовательно, сила F в точке А эквивалентна
силе F1 в точке В и паре сил ( F , F2 ).
1

2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ

Теорема Пуансо
Произвольную пространственную систему сил, приложенных к АТТ, в
общем случае можно заменить одной силой, равной главному вектору
R о системы сил и приложенной в произвольно выбранном центре приведения О, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту
Mо системы относительно выбранного центра приведения.
Доказательство:
z
z
F3
M3
Fn
F2
r3
MO
Mn
M2
rn
r2
O
x
F1
r1
RO
y
y
O
M1
x
n
n
n
k 1
k 1
k 1
RO Fk , M O M O ( Fk ) rk Fk .
2

3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ СИЛ

n
Rx Fkx ,
k 1
n
Ry Fky ,
k 1
n
Rz Fkx .
k 1
n
n
M x M x ( Fk ) ( yk Fkz zk Fky ) ,
k 1
k 1
n
n
M y M y ( Fk ) ( zk Fkx xk Fkz ) ,
k 1
k 1
n
n
M x M x ( Fk ) ( xk Fky yk Fkx ) .
k 1
k 1
RO Rx2 Ry2 Rz2 ,
M O M x2 M y2 M z2 ,
cos( R x) R / R ,
O,
x
O
cos(
R
O , y ) R y / RO ,
cos( R z ) R / R .
O,
z
O
cos( M x) M / M ,
O,
x
O
cos(
M
O, y) M y / M O ,
cos( M O, z ) M z / M O .
3

4. ПЕРЕМЕНА ЦЕНТРА ПРИВЕДЕНИЯ

При перемене центра приведения главный вектор системы сил не изменяется, а главный момент системы сил относительно нового центра приведения равен главному моменту системы сил относительно старого центра
приведения, сложенному с моментом главного вектора системы сил, взятого в старом центре приведения относительно нового центра приведения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Fk
Mk
rk
rk
O
O1
rk O1O rk
Центр O :
Центр O1 :
n
R O Fk ,
k 1
n
M r F .
k
k
O
k 1
n
R O1 Fk ,
k 1
n
M r F .
k
k
O1
k 1
n
n
n
n
k 1
k 1
k 1
k 1
M O1 rk Fk (O1O rk ) Fk O1O Fk rk Fk
n
n
k 1
k 1
O1O ( Fk ) M O ( Fk ) M O O1O RO .
Величины, не изменяющиеся при каком-либо преобразовании, называют инвариантами этого преобразования. В рассматриваемом случае существуют два
инварианта: RO RO1 invar ; RO M O RO1 M O1 invar.
RO1 RO
M O1 M O O1O RO .
4

5. ВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ

Ось динамы
1) Динамический винт (динама).
О
Динамическим винтом (динамой)
называют совокупность главного
вектора и коллинеарного ему
главного момента.
Пусть в центре приведения О
Rо
≠0,
Mо
≠0,
Rо
┴
МО
О
•O
•O
МО
правый
левый
Mо
MO
R2
M2
RO
O
d
M1
M1
R1
Ось динамы
5

6. ВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ

2) Пусть в центре приведения О
Rо
≠0,
Mо
≠0,
Rо
┴
Mо
MО
R2
RO
∟
d
O
R1
d
Равнодействующая,
не проходящая через
выбранный центр приведения.
MO
RO
6

7. ВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ

3) Пусть в центре приведения О
Rо
≠0,
Mо
=0
4) Пусть в центре приведения О
R о = 0 , Mо ≠ 0
МО
RO
•O
O
Равнодействующая,
проходящая через
выбранный центр приведения.
5) Пусть в центре приведения О
О
Пара сил.
Rо
=0,
Mо
=0
Система сил, эквивалентная нулю.
7

8. ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Если произвольная пространственная система сил приводится к
равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно
любого центра равен векторной сумме моментов всех сил данной
системы относительно того же центра.
Доказательство:
Пусть в центре приведения O : R O 0, M O 0.
Тогда в произвольном центре О1
M O1 M O O1O RO O1O RO M O1 ( RO ) т.к. M O 0.
n
n
k 1
k 1
С другой стороны M O1 rk Fk M O1 ( Fk ).
n
Таким образом : M O1 ( RO ) M O1 ( Fk ) .
k 1
Замечание. Данная теорема справедлива и для момента равнодействующей силы
относительно произвольной оси, что позволяет при решении задач существенно
упростить вычисление моментов сил относительно выбранных осей координат.
8

9. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Пьер Вариньон (фр. Pierre Varignon)
Кан,1654 —23.12,1722,Париж)
французский математик и механик,
член Парижской Академии наук,
профессор математики коллежа Мазарини,
профессор Коллеж де Франс.
Обучался в иезуитском коллеже
и университете в Кане, где стал магистром в 1682г.
Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и Бернулли.
Основной вклад Вариньон совершил в статику и механику;
кроме того, труды Вариньона посвящены
анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике.
Вариньон был самым первым пропагандистом
дифференциального исчисления во Франции.
В 1687 г. в своей работе «Проект новой механики…»
Вариньон дал точную формулировку закона
параллелограмма сил, развил понятие момента сил
и вывел теорему, получившую имя Вариньона.
В работе «Новая механика или статика,
проект которой был дан в 1687» (1725)
Вариньон дал систематическое изложение учения
о сложении и разложении сил,
о моментах сил и о правилах оперирования ими.

10. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Луи́ Пуансо́ (фр. Louis Poinsot, 1777—1859) —
Французский математик и механик,
академик Парижской Академии наук (1813);
пэр Франции (1846), сенатор (1852).
Известен своими трудами в области геометрии
и механики. Именно Пуансо впервые ввёл понятие
эллипсоида вращения.
В 1797 г. Пуансо окончил лицей Людовика Великого
и Политехническую школу в Париже.
В 1834 г. Пуансо опубликовал работу Éléments de statique
(«Элементы статики»), в которой им были применены
Геометрические методы исследования к учению о
равновесии твёрдых тел и их систем;
эта книга много раз переиздавалась,
причём автор неоднократно дополнял её своими
новыми статьями. Долгое время работа считалась
образцовым руководством для первоначального
преподавания механики.
В 1834 г. Пуансо построил теорию вращения
твердого тела вокруг неподвижной точки.