Точка, прямая и плоскость на комплексном чертеже. Лекция № 1

1. Лекция № 1

Точка, прямая и плоскость на
комплексном чертеже

2. Метод проецирования

• В начертательной геометрии изображения
получают методом проецирования (от латинского
projectio – бросание вперед). Проекция – это
отображение образа (предмета) на плоскость
проекций. Идею метода можно рассмотреть на
примере проецирования любого образа.
Спроецируем призму. Методы проецирования
подразделяют на центральное и параллельное.
Проф. Пиралова О.Ф.
2

3.

Проф. Пиралова О.Ф.
3

4. Метод центрального проецирования

• Сущность центрального проецирования заключается в
том, что при этом методе должен быть центр
проецирования S и плоскость проекций П1.
• Свойства центрального проецирования:
1. Проекция точки– точка.
2. Проекция прямой – прямая.
3. Сохраняется взаимная принадлежность
образов и их проекций.
• В машиностроительном черчении не применяется т. к.
размеры оригинала не соответствуют размерам
изображения.
Проф. Пиралова О.Ф.
4

5. Примеры центрального проецирования

Проф. Пиралова О.Ф.
5

6. Метод параллельного проецирования

Является частным случаем центрального
проецирования в котором центр проецирования S
удален в бесконечность и проецирующие прямые
в этом случае принимаются за параллельные.
Подразделяется на :
1. Косоугольное;
2. Прямоугольное (ортогональное)
Проф. Пиралова О.Ф.
6

7. Свойства параллельного проецирования

При параллельном проецировании сохраняются следующие
свойства:
1. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой есть прямая.
3. Сохраняется взаимная
принадлежность образов и их
проекций (если точка принадлежит
линии, то ее ортогональные проекции
принадлежат соответствующим
проекциям линии).
4. Сохраняется простое отношение трех точек.
Проф. Пиралова О.Ф.
7

8. Примеры параллельного проецирования точки и плоскости

Проф. Пиралова О.Ф.
8

9. Метод ортогонального проецирования

• Широко применяется в инженерной
практике.
• Сущность этого метода в том, что
направление проецирования
перпендикулярно плоскостям проекций.
Проф. Пиралова О.Ф.
9

10. Пример ортогонального проецирования

Проф. Пиралова О.Ф.
10

11.

Ортогональные проекции точки
А1(x, y),
A2(x, z),
A3(y, z)
Проф. Пиралова О.Ф.
11

12.

Проф. Пиралова О.Ф.
12

13. Таблица знаков координат в октантах

Знак координаты
Октант
Знак координаты
Октант
x
y
z
I
+
+
+
II
+
−
III
+
IV
+
x
y
z
V
−
+
+
+
VI
−
−
+
−
−
VII
−
−
−
+
−
VIII
−
+
−
Проф. Пиралова О.Ф.
13

14. Чертеж

• Проекционным чертежом называют такое графическое
изображение предмета, которое построено по законам
метода проецирования и отвечает требованию
обратимости. Обратимость изображения дает
возможность восстановить (реконструировать предмет в
пространстве) с точностью до всех его позиционных и
метрических свойств. К позиционным относят свойства,
которые связаны с вопросами относительного
расположения. Метрическими считаются свойства фигур,
связанные с вопросами измерения длин, расстояний,
углов, площадей и т.д.. Чертеж должен быть наглядным.
Проф. Пиралова О.Ф.
14

15. Преобразование пространственного чертежа в плоский

• Осуществляется путем совмещения
горизонтальной П1 и профильной П3
плоскостей проекций с фронтальной П2. Для
этого П1 поворачиваем на 90 градусов
вокруг оси Х в направлении движения
часовой стрелки, а П3 вправо вокруг оси Z.
Проф. Пиралова О.Ф.
15

16. Комплексный чертеж

• КЧ – это ортогональное отображение
предмета на 2 или 3 взаимно
перпендикулярные плоскости проекций,
развернутые до плоскости чертежа(П2).
Проф. Пиралова О.Ф.
16

17. Комплексный чертеж призмы

18. Точка

Точка. как математическое понятие не имеет размеров. Очевидно, если
объект проецирования является нульмерным образом, то говорить о его
проецировании бессмысленно.
В геометрии под точкой целесообразно понимать физический объект,
имеющий линейные измерения. Условно за точку будем принимать шарик с
бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно
говорить о ее проекциях.
Пиралова О.Ф.
18

19.

Пиралова О.Ф.
19

20. Эпюр прямой

Положение прямой линии однозначно в
пространстве определяется заданием двух ее
точек.
Комплексный чертеж прямой может быть
представлен двумя проекциями прямой.
Если прямая не параллельна ни одной
плоскости проекций, ее называют прямой
общего положения. Такая прямая изображена
на рисунке.

21. Ортогональные проекции прямой общего положения

Z
П2
z
B2
П2
B2
П2
A2
A2
X
A
A1
B
z
Bx
Ax
O
Bx
Ax
x
y
B1
П1
А1
O
x
В1
y
П1
y

22.

Частные случаи расположения прямой
Кроме общего случая существуют частные
случаи расположения прямой по отношению к
заданной системе плоскостей проекций:
А. Прямая параллельна плоскости проекции.
Б. Прямая перпендикулярна плоскости проекции.
В. Прямая принадлежит плоскости проекции
(частный случай параллельности).
Пиралова О.Ф.
22

23. Проецирующие прямые

Это прямые, перпендикулярные к
плоскостям проекций.
Горизонтально-проецирующая –
прямая, перпендикулярная
горизонтальной плоскости проекции.
Такая прямая проецируется на
плоскость π1 в точку; ее фронтальная
проекция перпендикулярна оси x.

24. Иллюстрация горизонтально-проецирующей прямой

Иллюстрация горизонтальнопроецирующей прямой

25.

Фронтально-проецирующая – прямая,
перпендикулярная фронтальной плоскости
проекции.
Эта прямая проецируется на плоскость
π2 в точку, а ее горизонтальная проекция
перпендикулярна оси x.

26. Фронтально-проецирующая прямая

27. Прямые, параллельные плоскостям проекций (горизонталь, фронталь)

Горизонталь – прямая, параллельная
горизонтальной плоскости проекции: h ||
π1.
Все точки горизонтали удалены на
одинаковые расстояния от плоскости π1 .
Фронтальная проекция горизонтали h2 ||
оси x. Горизонтальная проекция может
занимать любое положение.

28. Иллюстрация линий уровня. Горизонталь

29.

Фронталь – прямая, параллельная
фронтальной плоскости проекции: f || π2.
Все точки фронтали удалены на одинаковые
расстояния от плоскости π2.
Горизонтальная проекция f1 || оси x.
Фронтальная проекция может занимать
любое положение.

30. Иллюстрация линий уровня. Фронталь

31. Прямая, принадлежащая плоскости проекций

32. Следы прямой

Прямая общего положения пересекает
все основные плоскости проекций. Точку
пересечения (встречи) прямой с плоскостью
проекций называют следом прямой.

33.

А2
П2
А
В2
В
Ах
Вх
Н≡Н1
П1
А1
В1
Н2

34.

Построение горизонтального следа
прямой
Н≡Н1
А2
В2
Аx
Вх
X2,1
В1
H2
А1
Пиралова О.Ф.
34

35.

Построение фронтального следа прямой
А2
В2
F≡F2
F1
В1
А1
Пиралова О.Ф.
35

36. Задание плоскости на комплексном чертеже

Для задания
плоскости на эпюре
Монжа достаточно
указать проекции
а) трех различных
точек, не
принадлежащих
одной прямой

37. Задание плоскости на комплексном чертеже

Для задания плоскости
на эпюре Монжа
достаточно:
б) указать проекции
прямой и не
принадлежащей ей
точки

38. Задание плоскости

в) с помощью
задания проекций
двух прямых,
пересекающихся в
собственной или
несобственной
точке

39. Задание плоскости

Проекциями отсека
плоской фигуры Ф

40. Задание плоскости следами

Задание плоскости
следами обладает
преимуществом перед
другими вариантами ее
изображения на эпюре:
1) сохраняется наглядность
изображения;
2) требуется указать только
две прямые вместо
четырех или шести .
На рис. Показана плоскость
общего положения.

41. Частные случаи расположения плоскости

Перпендикулярное к плоскости проекций.
Параллельное к плоскости проекций.

42.

Проецирующие плоскости
(горизонтально-проецирующая плоскость)
Пиралова О.Ф.
42

43.

Проецирующие плоскости
(фронтально-проецирующая плоскость)
Пиралова О.Ф.
43

44.

Плоскости
фронтальнопроецирующая
горизонтальнопроецирующая
профильнопроецирующая
В2
В2
А2
В2
А2
А2
С3
С2
С2
Х1,2
В3
С2
Х1,2
Х1,2
В1
В1
В1
А1
А1
С1

45. Плоскость уровня

Плоскость,
параллельную плоскости
проекций называют
плоскостью уровня. Их
три.
Горизонтальная.
Фронтальная.
Профильная.

46. Плоскости уровня на комплексном чертеже

К замечательному свойству плоскостей уровня относят
следующее: если какая-либо фигура расположена в
плоскости уровня, то она проецируется без искажения
своего истинного вида на ту плоскость проекций, которой
параллельна плоскость уровня.

47. На комплексном чертеже

48. Линии уровня плоскости на комплексном чертеже

49. Главные линии плоскости. Их относительное расположение.

1. Горизонталь h.
2. Фронталь f.
3. Профильная прямая
p.
4. Линия наибольшего
наклона – прямая,
принадлежащая
плоскости и
перпендикулярная к
линиям уровня этой
плоскости.

50. Линия наибольшего наклона плоскости

с – линия
наибольшего наклона
плоскости к
горизонтальной
плоскости проекций
(линия ската).
С

51. Линия наибольшего наклона на комплексном чертеже

Линия наибольшего
наклона к π1
перпендикулярна к
горизонтальной
проекции горизонтали
плоскости или к
горизонтальному
следу плоскости
f0 ≡ f02
12
22
x2,1
11
f01≡ h02
21
h0 ≡ h01

52. Построить следы плоскости Σ (∆ АВС).

F'≡F'2
F≡F2
f0≡f2
Sx
В2
А2
С2
F'1
F1
H2
Н'2
В1
А1
Н≡Н1
С1
h0≡h1
Н≡Н'1

53.

Позиционные задачи
Взаимная
принадлежность
Принадлежность
точки линии
Принадлежность
точки плоскости
Принадлежность
линии плоскости
Взаимное
пересечение
Метод конкурирующих
точек
D2
z
A2 ≡ B 2
ZD
A1
o
Взаимное
пересечение
плоскостей
YA
YB
B1
Пересечение линии с
плоскостью
C2
Zc
Х
Пересечение линии
линией
С1 ≡ D1
y
YA<YB видна В2
ZC<ZD видна D1
Проф. Пиралова О.Ф.
53

54. Основные графические задачи

Все графические задачи условно
делятся на 2 класса.
1-й класс – задачи позиционные;
2-й класс – задачи метрические.
Позиционными называются такие
задачи, в которых определяется взаимное
расположение различных геометрических
фигур относительно друг друга.
Проф. Пиралова О.Ф.
54

55. Позиционные задачи

• Позиционные
задачи условно
делятся на две
группы:
Позиционные
задачи
Задачи на
принадлежность
Проф. Пиралова О.Ф.
Задачи на
пересечение
55

56. Задачи на принадлежность (ицидентность)

Задачи на
принадлежность
Определение
принадлежности
точки линии
(А l)
Определение
принадлежности
точки плоскости
(поверхности)
A α
Проф. Пиралова О.Ф.
Определение
принадлежности
линии плоскости
(поверхности)
l α
56

57. Принадлежность точки линии

Из инвариантного свойства 3 параллельного
проецирования следует, что проекции точки К (К1, К2 и К3)
принадлежащие прямой а, должны принадлежать
соответствующим проекциям этой прямой т. е. Если хотя бы
одна проекция точки не принадлежит соответствующей
проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой.
Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки
К (К1, К2 и К3), принадлежащие прямой АВ, делят
соответствующие проекции отрезка в том же отношении, в
каком точка К делит отрезок АВ.
Проф. Пиралова О.Ф.
57

58. Изображение на комплексном чертеже принадлежности точек А, В, К прямой а

Проф. Пиралова О.Ф.
58

59. МЕТОД КОНКУРИРУЮЩИХ ТОЧЕК

Метод конкурирующих точек используется в
начертательной геометрии для определения
взаимной видимости двух геометрических фигур.
Конкурирующими называются точки
пространства, у которых совпадают какие-либо
две одноименные проекции.
Проф. Пиралова О.Ф.
59

60. Определение видимости точек

На рис. показаны конкурирующие
точки А и В (совпадают горизонтальные
проекции А1≡В1) и C и D (совпадают
фронтальные проекции С2≡D2).
Точка В находится выше точки А
относительно плоскости π1 (ZB>ZA), поэтому
на плоскости π1 видна точка В, которая
закрывает точку А (считается, что
наблюдатель смотрит на плоскости
проекций из бесконечности и направление
луча зрения параллельно проецирующему
лучу S).
S12
z, -y
B2
C2 ≡ D2
ZB
ZА
A2
О
x2,1
На плоскости π2 видна точка D, т. К.
она находится ближе к наблюдателю
(дальше от плоскости π2, YD>YC) и
закрывает невидимую точку С.
A1 ≡B1
YC
C1
YD
D1
S21
Проф. Пиралова О.Ф.
y, -z
60

61. Пример рассмотрения принадлежности точек прямой

B2
E2
A2
C2
D2
x2,1
D1
A1
C1
B1
E1
Проф. Пиралова О.Ф.
61

62. Принадлежность линии поверхности

Линия
принадлежит
поверхности, если: 1.
Имеет две общих
точки;
2. Имеет одну
общую точку и прямую
параллельную
прямой,
принадлежащей
поверхности.
Дано: α(a b),
с α
Проф. Пиралова О.Ф.
a2
с2
12
22
b2
x2,1
b1
21
с1
a1
11
62

63. Условие принадлежности точки поверхности

Точка принадлежит
поверхности, если она
принадлежит прямой
принадлежащей
поверхности
Проф. Пиралова О.Ф.
63

64. Задача на определение принадлежности

a2
с2
Дано: α(a
d2
b),
d ║ с; с α.
12
22
Определить: принадлежит
ли d поверхности α ?
b2
x2,1
b1
21
с1
d1
a1
11
Проф. Пиралова О.Ф.
64

65. Задача

а2
b2
Дано: α(a ║ b), A2
Определить: A1, если А
принадлежит ( )
поверхности α(a ║ b),
A2
h2
22
12
x2,1
b1
a1
A1
h1
21
12
Проф. Пиралова О.Ф.
65

66.

Задачи на
пересечение
Пересечение
линии с линией
l m
Пересечение
линии с
поверхностью
l α
Проф. Пиралова О.Ф.
Пересечение
поверхности
с поверхностью
α β
66

67. Взаимное положение прямых. Пересечение прямых

Две прямые в
пространстве могут
пересекаться, скрещиваться
и могут быть параллельны.
Прямые a и b ( a b)
пересекаются. Точки
пересечения одноименных
проекций пересекающихся
прямых расположены на
одной линии проекционной
связи.
Дано: m
n,
M
M
m;
n
n2
M2
m2
x2,1
m1
M1
n1
Проф. Пиралова О.Ф.
67

68. Параллельные прямые

На рис. представлены
параллельные прямые –
прямые, пересекающиеся в
несобственной точке (прямые,
лежащие в одной плоскости и
пересекающиеся в бесконечно
удаленной точке).
Из инвариантного
свойства 6 следует, что
проекции параллельных
прямых а и b параллельны.
b2
а2
x2,1
Проф. Пиралова О.Ф.
a1
b1
68

69. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые
– это прямые, не лежащие в
одной плоскости, это прямые
не имеющие ни одной общей
точки.
На комплексном чертеже
точки пересечения проекций
этих прямых не лежат на одном
перпендикуляре к оси Х (в
отличие от пересекающихся
прямых).
n2
K2
M2
m2
x2,1
m1
K1
M1
n1
Проф. Пиралова О.Ф.
69

70. Условие перпендикулярности двух прямых

Две прямые перпендикулярны, если угол
между ними составляет 90°.
Кроме того, в начертательной геометрии
существует еще одно утверждение на эту
тему:
Две прямые перпендикулярны, если одна
из них линия уровня.
Для подтверждения этого заключения
рассмотрим примеры.
Проф. Пиралова О.Ф.
70

71. Пример: через точку А провести прямую ℓ, пересекающую горизонталь h под прямым углом ℓ h

┴
Так как одна из сторон h прямого угла параллельна
плоскости π1, то на эту плоскость прямой угол
спроецируется без искажения. Поэтому через
горизонтальную проекцию А1 проведем горизонтальную
проекцию искомой прямой ℓ 1 h 1. Отметим
┴
горизонтальную проекцию точки пересечения прямой и
горизонтали М1= ℓ1 ∩ h1. Отметим горизонтальную
проекцию точки пересечения прямой и горизонтали М1=
ℓ1 ∩ h1. Найдем по принадлежности фронтальную
проекцию точки пересечения М2. Точки А2 и М2
определяют фронтальную проекцию искомой прямой ℓ.
Две проекции прямой определяют ее положение в
пространстве.
Проф. Пиралова О.Ф.
71

72.

Если вместо горизонтали будет задана
фронталь f, то геометрические построения
по проведению прямой ℓ f аналогичны ┴
рассмотренным с той лишь разницей, что
построения неискаженной проекции
прямого угла следует начинать с
фронтальной проекции (рис. б).
Проф. Пиралова О.Ф.
72

73. Прямые, перпендикулярные к линиям уровня

Проф. Пиралова О.Ф.
73

74. Алгоритм решения задачи

А2
А2
f2
ℓ2
ℓ2
М2
М2
h2
X2,1
X2,1
ℓ1
ℓ1
М1
h1
f1
М1
А1
А1
Проф. Пиралова О.Ф.
74

75. Пример. Из точки А, принадлежащей плоскости α (∆ ABC), восставить к плоскости α перпендикуляр АD.

В2
D2
Для определения
направления проекций
перпендикуляра,
проведем проекции
горизонтали h и
фронтали f плоскости ∆
ABC. После этого из точки А1
восстанавливаем
перпендикуляр к h1, а из А2
– к f2
21
12
f2
h2
А2
С2
С1
D1
11
А1
Проф. Пиралова О.Ф.
h1
f1
21
В1
75

76.

Если плоскость задана следами, для
того, чтобы прямая в пространстве была
перпендикулярна плоскости, необходимо и
достаточно, чтобы проекции этой прямой
были перпендикулярны к одноименным
следам
Проф. Пиралова О.Ф.
76

77. Пример. Из точки А, принадлежащей плоскости α( h f) , восставить к плоскости α перпендикуляр АD.

D2
f0
A2
Sx
X 2,1
A1
h0
D1
Проф. Пиралова О.Ф.
77

78. Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости
перпендикулярны,
если одна из них
содержит прямую,
перпендикулярную
к другой плоскости
А2
a2
ℓ2
m2
h2
12
n1
f2
22
β2
32
42
X2,1
41
β1
a1
h1
11
m1
n2
f1
ℓ1
31
21
А2
Проф. Пиралова О.Ф.
78

79. Пересечение линии с поверхностью

Задача сводится к решению задачи на определение
точки, принадлежащей прямой и поверхности.
Для решения необходимо:
1) через одну из проекций прямой провести
конкурирующую прямую, принадлежащую поверхности;
2) найти ее проекцию во второй плоскости проекций.
Если эта проекция пересечет проекцию заданной
прямой, значит имеется точка пересечения прямой и
поверхности.
Проф. Пиралова О.Ф.
79

80. Задача

ℓ2
Дано: α (∆ ABC), (l1,l2 )
Определить: имеется ли
точка пересечения прямой с
поверхностью α ?
B2
A2
C2
x2,1
C1
A1
ℓ 1О.Ф.
Проф. Пиралова
B1 80

81.

m2
B2
ℓ2
1122 ≡ 32
42
К2
52
22
Z5
Z4
A2
C2
x2,1
A1
41 ≡51
Y1
21
Y3
C1
31
К1
ℓ1
m1
11
Проф. Пиралова О.Ф.
B1
81

82. Пересечение плоскостей

Две плоскости
пересекаются по
прямой линии, для
определения которой
достаточно найти две
точки,
принадлежащие
одновременно
каждой из заданных
плоскостей.
Чтобы найти
такие точки
достаточно ввести
две вспомогательные
секущие плоскости.
Проф. Пиралова О.Ф.
82

83. Пример. Определить линию пересечения плоскостей α(a b) и β(с║d).

Алгоритм решения.
1. Проводим вспомогательную
горизонтально проецирующую плоскость γ
2. и 3. Определяем проекции прямых m
и n, по которым пересекаются плоскости
α(a b) и β(с║d).
4. Находим точки пересечения
одноименных фронтальных проекций
линий пересечения плоскостей α и β.
Проф. Пиралова О.Ф.
83

84. Пример решения задачи на определение линии пересечения плоскостей

a2
52
L2′
62
72
L2
22
c2
d2
32
82
42
b2
h0 ≡ h01
12
b1
31
21
L1
11
51
L1′
61
41
h0 ≡ h01 γ
81
71
γ
d1
c1
a1
Проф. Пиралова О.Ф.
84

85. Дано: α (∆ ABC), β (∆ DEF); Определить взаимное положение плоскостей

γ2
E2
22 32
≡52
В2
82
72
A2
4422≡ 62
N2
F2
12
M2
D2
Y3
Y5
E1
21
D1
41
51
N1
M1
11
δ1
С1
31
В1
Y5
x2,1
Y4
С2
61
71 ≡ 81
A1
F1
Проф. Пиралова О.Ф.
85

86.

Проф. Пиралова О.Ф.
86