Особые приемы при решении логарифмических неравенств

1.

Особые приёмы решения
логарифмических
неравенств с переменной
в основании
Занятие №1
Методическая разработка
учителя Поляковой Е. А.

2.

Неравенство, содержащее переменную под
знаком логарифма, называется
логарифмическим.
Например, неравенства вида:
log a f x log a x log a f x log a x
При а > 0, а ≠ 1 являются логарифмическим

3.

Решение простейших
логарифмических неравенств:
log a x1 log a x2
log a x1 log a x2
a>1
x1 > x 2 > 0
0<a<1
x2 > x 1 > 0
a>1
x2 > x 1 > 0
0<a<1
x1 > x 2 > 0

4.

Решите неравенство:
log 2 x 3 x 1
Решение традиционным способом
log 2 x 3 x 1 log2 x 3 x log2 x 3 (2 x 3)
1)
2 x 3 1
x 2
2 x 3
x 3
x 2x 3
2 x 3 1
2x 3 0
2)
x 2x 3
x 2
x 1,5
x 3
решений нет
Ответ: (2; 3)

5.

Решите неравенство: log 4 x2 5 x 6 1
Решение традиционным способом
log 4 x2 5 х 6 1 log4 x2 5x 6 log4 x2 4 x2
4 x 2 1
1)
2
5 x 6 4 x
///////////////////////
+
○
+
○
4 x 2 1 0
2
4 x 5 х 6 0
-
○
2 x 1 2 x 1 0
4 x 0,75 х 2 0
+
///////////////////////////////
- 0,5
0,5
////////////////////////////////////////////
- 0,75
Решение системы: - 0,75 < x < - 0,5;
х
○
+
2
0,5 < x < 2
х

6.

4 x 2 1
2) 2
4 x 0
5 х 6 4 x 2
2 x 1 2 x 1 0
2
x 0
4 x 0,75 х 2 0
0,5 x 0,5
x 0
x 0,75; x 2
/////////////////////////////////////////
//////////////////////////////////////
////////////////////// ○ ○/////////////////
○
○
○/////////////
- 0,75- 0,5 0
0,5
2
х
Очевидно, что у системы решений нет
Ответ: - 0,75 < x < - 0,5;
0,5 < x < 2.

7.

Интересное заключение
о знаках
двух выражений

8.

Доказать, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1)
одинаковых знаков.
Доказательство. Докажем, например, что log а b > 0
и (b – 1)(а – 1) > 0 1) Перейдём к основанию, например, 2
log 2 b
log а b
;
log 2 a
log 2 b
0.
log 2 a
log 2 b 0
а)
log 2 a 0
2) Неравенство log а b > 0 перепишем в виде
3) Дробь положительна, если числитель и
знаменатель одинаковых знаков, тогда
b 1 0
log 2 b log 2 1
b 1
a 1 0
log 2 a log 2 1
a 1
0.
b 1 a 1с основанием
Логарифмическая
2 возрастающая,
функция
тогда

9.

б)
log 2 b 0
log 2 a 0
b 1 0
a 1 0
log 2 b log 2 1
log 2 a log 2 1
b 1
а 1
b 1 a 1 0.
Доказано, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1)
одинаковых знаков.
Это свойство используется при решении логарифмических
неравенств, где выражение log а b можно заменить выражением
(b – 1)(а – 1) того же знака
Чтобы не возникало проблем, необходимо находить ОДЗ
переменной, так как формальная замена приводит к
расширению области определения неравенства

10.

Доказать, что при всех допустимых значениях переменной х
неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно
неравенству (f – g)(h – 1) > 0.
Доказательство. 1) Перейдём к основанию, например, 2
log 2 f
log h f
;
log 2 h
log 2 g
log h g
;
log 2 h
2) Неравенство log h f (х) > log h g(х) перепишем в виде
log 2 f log 2 g
log 2 h log 2 h
log 2 f log 2 g
0.
log 2 h
3) Дробь положительна, если числитель и знаменатель
одинаковых знаков, тогда

11.

log 2 f log 2 g 0
а)
log 2 h 0
log 2 f log 2 g
log 2 h log 2 1
f g
h 1
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, тогда
f g 0
f g h 1 0
h 1 0
log 2 f log 2 g 0
б)
log 2 h 0
log 2 f log 2 g
log 2 h log 2 1
f g
h 1
f g 0
f g h 1 0
h 1 0
Доказано - неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x)
равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ

12.

Решение логарифмических
неравенств с применением
доказанного свойства
Неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно
неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ
Аналогично неравенство log h(x) f(x) < log h(x) g(x)
равносильно неравенству (f – g)(h – 1) < 0 на ОДЗ

13.

Алгоритм решения неравенства log h(x) f(x) > log h(x) g(x)
1) Находим область допустимых значений переменной (ОДЗ):
f ( x ) 0,
g ( x ) 0,
h( x ) 0,
h( x ) 1.
(Условимся далее две последние строки
системы писать одной так: 0 < h(x) ≠ 0)
2) Решаем неравенство (f(х) – g(х))(h(х) – 1) > 0.
3) Для найденного решения учитываем ОДЗ.
4) Записываем ответ.

14.

Решите неравенство: log 2 x 3 x 1
x 0,
x 0,
1,5 x 2.
0 2 x 3 1; 3 2 x 4; 1,5 x 2;
1) ОДЗ:
x 0,
2) Переписываем неравенство в виде
log 2 x 3 x log 2 x 3 (2 x 3)
Решаем неравенство (х – (2х – 3))(2х – 3 – 1) > 0;
(х – 2х + 3)(2х – 4) > 0;
(– х + 3)2(х – 2) > 0;
– 2(х – 3)(х – 2) > 0 : (– 2);
(х – 3)(х – 2) < 0,
ОДЗ
Ответ: (2; 3)
х
–
////////////////////////////////
+
////////////////////////////////////////////////////
+
○
1,5
○
2
○
3

15.

Решите неравенство: log 4 x2 5 x 6 1
x 1,2,
5 x 6 0,
1) ОДЗ:
x 0,5,
2
0 4 x 1; х 0;
2) log 2 5 х 6 1 log 5x 6 log 4 x2
4x
4x
4x
2
5х 6 4 x 4 x 1 0; 4 x
2
2
2
2
5 х 6 2 x 1 2 х 1 0;
4 х 0,75 х 2 2 x 0,5 2 х 0,5 0; х 0,75 х 2 x 0,5 х 0,5 0;
ОДЗ
+
/////
+
//////////////
+
////////////////////////////////////////////////////
○
○ ○
○
○
○
- 1,2 - 0,75 - 0,5
0
Ответ: - 0,75 < x < - 0,5;
0,5
2
0,5 < x < 2
х

16.

Решите рассмотренным способом неравенства
1) log x 3 x 1 2;
Ответ: 3 < x < 4; x > 5.
2) log x2 3 2 x 1
Ответ: (- 3; - 1)
3) log x2 3 х x 3 1
Решения – в материалах следующего занятия