Решение неравенств, содержащих логарифмические выражения

1. Решение неравенств, содержащих логарифмические выражения.

МБОУ г. Мурманска гимназия №3
Шахова Татьяна Александровна

2.

Необходимые умения.
Знать и уметь использовать для преобразований свойства
логарифмов.
Уметь решать рациональные неравенства методом
интервалов.
Понимать значение понятий: система, совокупность.
Уметь решать системы и совокупности.
Следует помнить условие существования логарифма logab
a>0, a≠1, b>0
26.12.2016
2

3.

Некоторые методы решения логарифмических
неравенств.
Назад
Простейшие логарифмические неравенства
Сведение неравенства к простейшему
Метод введения новой переменной
Сведение к равносильной совокупности
Метод рационализации (замены множителей)

4.

Простейшие логарифмические неравенства
Методы
loga f(x) < loga g(x)
ОДЗ: f(x)>0, g(x)>0
Решение основано на следующем свойстве логарифмической
функции:
- функция у=loga x возрастает, если а>1
- функция у=loga x убывает, если 0<а<1
loga f(x) < loga g(x)
Таким образом:
f(x)<g(x)
при а>1
26.12.2016
f(x)>g(x)
при 0<а<1
4
Свойства

5.

Простейшие логарифмические неравенства
Пример 1.
log0 ,1 ( x 2 x 2 ) log0 ,1 ( x 3 )
0 0 ,1 1
x2 x 2 x 3
x 5 0
( x 5 )( x 5 ) 0
2
3
5
2
1
5
Методы
ОДЗ :
x2 х 2 0
x 3 0
( x 2 )( x 1 ) 0
x 3
3
2
1
Учтем ОДЗ
Ответ : ( 3 ; 5 ) ( 5 ; )
Свойства

6.

Методы
Сведение неравенства к простейшему
Пример 2. log3
3x 2
1
2x 3
ОДЗ :
3x 2
log3
log3 3 3 1
2x 3
3x 2
3 x 2 3( 2 х 3 )
3
0
2x 3
2x 3
3x 2
0
2x 3
2
3
3
2
3 x 2 3( 2 х 3 )
3x 7
3x 7
0
0
0
2x 3
2x 3
2x 3
Учтем ОДЗ
2
3
2 7
;
;
Ответ :
3 3
3
2
7
3
Свойства

7.

Методы
Сведение неравенства к простейшему
Пример 3.
ОДЗ :
log2 ( 7 x ) log2 x 1 log2 3
log2 (( 7 x ) x ) log2 2 log2 3
log2 (( 7 x ) x ) log2 6
2 1 (7 x )x 6
x2 7 x 6 0
7 x 0
x 0
x 7
x 0
0
( x 1 )( x 6 ) 0
7
Учтем ОДЗ
Ответ : 1;6
0
1
6
7
Свойства

8.

Методы
Сведение неравенства к простейшему
Пример 4.
log 1 ( 13 x ) 2 log 1 ( x 1 2 )
3
3
log1 ( 13 x ) log1 ( x 1 2 )
2
3
3
1
0 1 13 x ( x 1 2 )2
3
13 x x 1 4 4 x 1
13 5 4 x 1
8 4 x 1
2 x 1
4 x 1
x 3
1
3
ОДЗ :
13 x 0
x 1 0
x 1 2 0
x 13
x 1
x R
x 1
Учтем ОДЗ
Ответ : [ 1;3 )
9
Свойства

9.

Методы
Сведение неравенства к простейшему
ОДЗ :
1
log2
log0 ,5 x 2
6 x
Пример 5.
1
1
2
log2
1 log2 x log2
log2 x 2
6 x
6 x
2
1
1
x
(6 x )
2 1
0
2
2
6 x x
x (6 x )
x2 x 6
( x 3 )( x 2 )
0
0
2
2
x (6 x )
x (6 x )
( x 3 )( x 2 )
0
2
Учтем ОДЗ
x ( x 6 )
3
!
0
2
x 0
1
6 x 0
x 0
1
x 6 0
0
6
6
Ответ : [ 3 ;0 ) ( 0 ;2 ]
10
Свойства

10.

Методы
Сведение неравенства к простейшему
Пример 6. log4 ( x 1 ) log 1 ( x 1 ) log 1 ( x 2 )
4
4
log4 ( x 1 ) log4 ( x 1 ) log 4 ( x 2 ) x 0
log4 ( x 1 ) log4 ( x 1 ) log4 ( x 2 ) 0
( x 1 )( x 2 )
log4
0
x 1
( x 1 )( x 2 )
log4
log4 1
x 1
( x 1 )( x 2 )
1
4 1
x 1
ОДЗ :
x 1 0
x 1 0
x 2 0
x 0
x 1
x R
x R
x 1
11
Свойства

11.

Сведение неравенства к простейшему
Методы
Пример 6. log4 ( x 1 ) log 1 ( x 1 ) log 1 ( x 2 )
4
4
( x 1 )( x 2 )
1
x 1
ОДЗ :
x 1
x 3
x x 2
x x 2 x 1
0 ( x 1) 0
1
0
x 1
x 1
x 1
x 3 0 x 3
Учтем ОДЗ
1
3
Ответ : ( 1;3 )
12
Свойства

12.

Методы
Метод введения новой переменной
Пример 7.
Замена : log2 x t
t 2 4t 3
t 2 4t 3 0
( t 1 )( t 3 ) 0
1
ОДЗ :
log22 x 4 log2 x 3
log2 x 1
log x 3
2
t 1
t 3
x 0
log2 x log2 2 x 2
x 8
log
x
log
8
2
2
Учтем ОДЗ
3
0
2
3
Ответ : ( 0 ;2 ) ( 8 ; )
Свойства

13.

Метод введения новой переменной
Методы
log22 x 2 15 log2 2 x 11 0
ОДЗ :
4 log22 x 15(log2 2 log2 x ) 11 0
x 0
Пример 8.
х >0 => |x|=x
4 log22 x 15 15 log2 x 11 0
4 log22 x 15 log2 x 4 0
Замена : log2 x t
4 t 2 15 t 4 0
4 ( t 4 )( t 0 ,25 ) 0
0 ,25
4
log2 x 0 ,25
t 0 ,25
log2 x 4
t 4
1
1
log2 x log2 4
x 4
2
2
log x log 16 x 16
2
2
1
Ответ : 4 ;16
2
Учтем ОДЗ
Свойства

14.

Методы
Метод введения новой переменной
Пример 9.
log02,5 x
1
2
1 log0 ,5 x logx 0 ,5
log02,5 x
2
log0 ,5 x
1 log0 ,5 x
Замена : log0 ,5 x t
2
2
t2
2 t
2
2
t
t
t
t
2
t
0
0
1 t
1 t
1 t
t 2 log0 ,5 x 2
2
1
t 1 log0 ,5 x 1
log0 ,5 x log0 ,5 4 x 4
x 2
4
2
0
1
log0 ,5 x log0 ,5 2
ОДЗ :
x 0
x 1
log x 1
0 ,5
logx 0 ,5 0
x 0
x 1
x 2
Ответ : ( 0 ;1 ) ( 1;2 ) [ 4 ; )
Учтем ОДЗ
Свойства

15.

Сведение к равносильной совокупности
log ( x )
Методы
( x ) 1
f ( x ) g( x ) 0
f ( x ) log ( x ) g ( x )
0 1
g ( x ) f ( x ) 0
Если начать с нахождения ОДЗ, то это часто дает возможность
исключить один из случаев
Пример 10. logx 1 ( x 5 ) logx 1 ( 4 x )
С учетом ОДЗ второй случай невозможен
x 5 4x
x
5
3
ОДЗ :
x 0
x 1 1
5
;
Ответ : 3
Свойства

16.

Сведение к равносильной совокупности
2
(
x
6
)
Пример 11. log6 x
2
x 2
2
( x 6 )
log6 x
log6 x ( 6 x )2
x 2
6 x 1
x 5
x 5
2
( x 6 ) ( 6 x )2 1 1
3 x 0
x 2
x 2
x 2
0 6 x 1
5 x 6
5 x 6
( x 6 )2
1
3 x
2
(6 x )
x 2 1
x 2 0
x 2
Методы
ОДЗ :
x 6
x 5
x 2
2
3
5
2
3
5
6
Если сомневаетесь в правильности
Ответ : ( 2 ;3 ] ( 5 ;6 )
использования математической символики,
то используйте другую форму записи решения.
Отдельно рассмотрите каждый случай.
Свойства

17.

Метод замены множителей
Методы
Назад
Можно использовать только в случае, когда
выражение сравнивается с нулем
Выражение
Замена
loqh f
( h 1 )( f 1 )
f 0; h 0; h 1
loqh f loqq f
( h 1 )( f 1 )( q 1 )( q h )
f 0 ; q 0 ; q 1; h 0 ; h 1
Свойства

18.

Метод замены множителей
Пример 11
(2 способ).
Методы
( x 6 )2
log6 x
2
x 2
ОДЗ :
x 6
x 5
x 2
( x 6 )2
log6 x
log6 x ( 6 x )2 0
x 2
( x 6 )2
log6 x
0
2
( x 2 )( 6 x )
log6 x
1
0
x 2
Замена множителя
1
( 6 x 1 )
1 0
( x 2)
3 x
( 5 x )
0
x 2
Учтем ОДЗ
( 5 x )( 3 x )
0
x 2
2
3
5
6
Ответ : ( 2 ;3 ] ( 5 ;6 )
Свойства

19.

Метод замены множителей
Методы
1
2
ОДЗ :
Пример 12.
log
1
1 x 2
log
1
1 x 2
log
1
1 x 2
2 log2 x 2
1
0
2
2 log
2 0
1
2 x2
2 log2 x 2
1
x
2
x 0
1 x 1
1
1
1
1
1 2 1 ( 2 1 ) 2
0
Замена множителя
2
2
1 x
1 x
2 x
2x
x 2 1 2 x 2 1 3 x 2
2
0
2
2
2
1 x 2 x 2 x ( 1 x )
Объясни, почему.
2
2
( 1 2 x )( 1 3 x )
2
2
0
(
1
2
x
)(
1
3
x
) 0
2
2 2
4x (1 x )
Свойства

20.

Метод замены множителей
Методы
1
2
ОДЗ :
Пример 12.
log
1
1 x 2
2 log2 x 2
1
x
2
x 0
1 x 1
( 1 2 x 2 )( 1 3 x 2 ) 0
( 1 2 x )( 1 2 x )( 1 3 x )( 1 3 x ) 0
1
1
2
Учтем ОДЗ
1
3
0
1
3
1
2
1
1 1
1
1
;
;
Ответ :
2
3 3
2
Свойства

21.

Метод замены множителей
Методы
Пример 13 (ЕГЭ 2013).
2 x2 9 x 7
logx 1 ( 2 x 7 ) logx 1
2
4
( x 1)
( 2 x 7 )( x 1 )
logx 1 ( 2 x 7 ) logx 1
2
4
( x 1)
logx 1 ( 2 x 7 ) (logx 1 ( 2 x 7 ) 3 ) 2
t ( t 3 ) 2
Замена : logx 1 ( 2 x 7 ) t
t 2 3t 2 0
( t 1 )( t 2 ) 0
1
2
ОДЗ :
x 1
x 0
x 3 ,5
x 3 ,5
x 1
x 1
x 0
t 1
t 2
Свойства

22.

Метод замены множителей
ОДЗ :
Пример 13 (ЕГЭ 2013).
2 x2 9 x 7
logx 1 ( 2 x 7 ) logx 1
2
4
( x 1)
Замена : logx 1 ( 2 x 7 ) t
t 1
t 2
logx 1 ( 2 x 7 ) 1
logx 1 ( 2 x 7 ) 2
Методы
x 1
x 0
logx 1 ( 2 x 7 ) logx 1 ( x 1 ) 0
2
log
(
2
x
7
)
log
(
x
1
)
0
x 1
x 1
Замена множителя
2x 7
( 2x 7 )
( x 1 1 )
1 0
logx 1 x 1 0
x 1
(
2
x
7
)
2x 7
logx 1
0
( x 1 1 )
1 0
2
( x 1 )2
( x 1)
x 6
x x 1 0
2
x
6
x
0
2
( x 1 )
Свойства

23.

Метод замены множителей
Методы
ОДЗ :
Пример 13 (ЕГЭ 2013).
x 1
x 0
2 x2 9 x 7
logx 1 ( 2 x 7 ) logx 1
2
4
( x 1)
x 6
x x 1 0
2
x
6
x
0
2
( x 1 )
x( x 6 )
x 1 0
2
x
(
x
6 )
0
2
( x 1 )
Учтем ОДЗ
6
1
0
6 1
0
6
Ответ : [ 6 ; )
Свойства

24.

Задачи для самостоятельного решения
Методы
(неравенства из экзаменационных работ прошлых лет)
1
1 ) logx 2 ( x 1 ) 1 Ответ : 1;0 0 ; 1;
2
1
1
2 ) log3 x
log3 27 x 9 0 Ответ : 0 ; 1;
27
3
2
4
x
3 x
3 ) logx 5
3
logx 5
x 3
x
Ответ :
5 ; 4 3; 1 3;
4 )2 log9 ( 4 x 2 1 ) log3 ( 3 x 2 4 x 1 )
5 ) log6 x
Ответ :
1
; 1 ;0 4 ;
3
x4
0 Ответ : 3;0 0 ;2
2
x 12 x 36
Свойства

25.

Источники
Мордкович А. Г. Задачник (профильный
уровень) 11 класс
Алтынов П. И. «Контрольные и зачетные
работы по алгебре. 11 класс»
КИМ ЕГЭ 2012, 2013
Методы