Функции многих переменных (ФМП)

1.

Функции многих переменных (ФМП)
Частные производные высших порядков
функции двух переменных
Попова Елена Александровна
К. пед. н., доцент
доцент кафедры ММиИТ ТЭИ,
СФУ
[email protected]
13 апреля 2020
Красноярск

2.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x 2
y
y
13 апреля 2020
Красноярск
2

3.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x 2
y
y
Решение.
13 апреля 2020
Красноярск
3

4.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x 2
y
y
Решение.
дz
f x, y
дх
'
x
13 апреля 2020
Красноярск
4

5.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x 2
y
y
Решение.
2
дz
3
x
'
y 1
f x x, y y x
2
дх
y
13 апреля 2020
Красноярск
5

6.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x 2
y
y
Решение.
2
дz
3
x
'
y 1
f x x, y y x
2
дх
y
дz
f x, y
дy
'
у
13 апреля 2020
Красноярск
6

7.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x 2
y
y
Решение.
2
дz
3
x
'
y 1
f x x, y y x
2
дх
y
дz
f x, y
дy
'
у
3
2x
x ln x 3
y
y
13 апреля 2020
Красноярск
7

8.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
13 апреля 2020
Красноярск
8

9.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz
f x, y
дх дх
''
xx
13 апреля 2020
Красноярск
9

10.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz
f x, y
дх дх
''
xx
3x
y 1
y x 2
y
2
13 апреля 2020
Красноярск
'
x
10

11.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz
f x, y
дх дх
''
xx
3x
y 1
y x 2
y
2
13 апреля 2020
Красноярск
'
6x
y 2
y y 1 x 2
y
x
11

12.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
13 апреля 2020
Красноярск
12

13.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz
f x, y
дy дy
''
yy
13 апреля 2020
Красноярск
13

14.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz y
f x, y x ln x 2 x
дy дy
y3
3
''
yy
13 апреля 2020
Красноярск
'
y
14

15.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz y
f x, y x ln x 2 x
дy дy
y3
3
''
yy
13 апреля 2020
Красноярск
'
6x
y
2
x ln x 4
y
y
3
15

16.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz
f x, y
дy дх
''
yx
13 апреля 2020
Красноярск
16

17.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz
3x
y 1
f x, y y x 2
y
дy дх
2
''
yx
13 апреля 2020
Красноярск
'
y
17

18.

Пример 7 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz
3x
y 1
f x, y y x 2
y
дy дх
2
''
yx
'
y
2
6
x
x y 1 y x y 1 ln x 3
y
13 апреля 2020
Красноярск
18

19.

Пример 7 ФМП. Найти частные производные функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
13 апреля 2020
Красноярск
19

20.

Пример 7 ФМП. Найти частные производные функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
д дz
f x, y
дх дy
''
хy
13 апреля 2020
Красноярск
20

21.

Пример 7 ФМП. Найти частные производные функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
2x
д дz y
f x, y x ln x 3
y
дх дy
3
''
хy
13 апреля 2020
Красноярск
'
х
21

22.

Пример 7 ФМП. Найти частные производные функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
дz
3
x
f x' x, y y x y 1 2
y
дх
3
2x
дz
y
f x, y x ln x 3
дy
y
'
у
2x
д дz y
f x, y x ln x 3
y
дх дy
3
''
хy
'
х
y x
13 апреля 2020
Красноярск
y 1
ln x x
2
y 1
6x
3
y
22

23.

Пример 7 ФМП. Найти частные производные функции
3
x
z f x, y x y 2
y
Решение .
2
д
дz
6
x
f yx'' x, y x y 1 y x y 1 ln x 3
y
дy дх
2
д
дz
f хy'' x, y y x y 1 ln x x y 1 6 x
дх дy
y3
Выполняется ли равенство?
д дz
д дz
''
f x, y f хy x, y
дх дy
дy дх
''
yx
13 апреля 2020
Красноярск
23