Лекция 3.2. Криволинейные интегралы. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования

1. Лекция 3.2. Криволинейные интегралы.

4. Независимость криволинейного интеграла от
пути интегрирования
Вычислить интеграл
где L представляет собой:
1) Отрезок OA, O=(0,0), A=(1,2).
2) парабола от O до A.
3) два отрезка: по оси Ox и вертикально вверх до точки
A.

2.

Теорема. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в области
D. Тогда следующие три условия эквивалентны.
1. Для любой замкнутой (возможно самопересекающейся)
кусочно-гладкой кривой L, расположенной в D, = 0
2. Для любых двух точек А и В области D значение интеграла
не зависит от кусочно-гладкой кривой L, соединяющей точки А и
В и расположенной в D.
3. Дифференциальная форма Р(х, у) dx + Q(x, у) dy представляет
собой полный дифференциал.
Иными словами, в D существует такая функция u(М) = u(х, у),
что du = Pdx + Qdy. В этом случае для любых точек А и В из
области D и для произвольной кусочно-гладкой кривой L,
соединяющей эти точки и расположенной в D, = u(В) - u(А).

3.

Теорема. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) и их частные
производные непрерывны в односвязной области D.
Тогда каждое из трех условий 1; 2; 3 предыдущей
теоремы эквивалентно следующему (четвертому)
условию

4.

1. Понятие поверхности
Множество Ф точек трехмерного пространства называется элементарной
поверхностью, если это множество является образом открытого круга G при
гомеоморфном отображении G в пространство.
Множество Ф точек пространства называется простой поверхностью, если это
множество связно и любая точка этого множества имеет окрестность, которая
является элементарной поверхностью.
Поверхность Ф, точки которой имеют координаты x, у, z, называется
регулярной (k раз дифференцируемой), если при некотором k 1 у каждой
точки Ф есть окрестность, допускающая k раз дифференцируемую
параметризацию:
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v),
в которых функции х(u, v), у (u, v), z(u, v) являются k раз дифференцируемыми в
области G.
Если k = 1, то поверхность обычно называется гладкой.
Точка регулярной поверхности называется обыкновенной, если существует
такая регулярная параметризация некоторой ее окрестности, что в этой точке
ранг матрицы
равен двум. В противном случае точка поверхности называется особой.

5.

Для поверхностей можно ввести понятие стороны поверхности.
Такие поверхности характеризуются, как двухсторонние
поверхности. Их можно выкрасить в два цвета так, что один цвет
не будет переходить в другой. Сторону поверхности можно
определить, как множество всех единичных нормалей к
поверхности таких, что любые две нормали данной стороны
получаются одна из другой непрерывным движением по
поверхности вдоль некоторой непрерывной кривой, лежащей на
этой поверхности.
Существуют поверхности, не обладающие подобным
свойством. Такие поверхности называются односторонними.
Примерами односторонних поверхностей могут служить лист
Мёбиуса и «бутылка» Клейна.

6.

Поверхность
называется
двухсторонней,
если выполнено
следующее
свойство:
для
произвольной
точки поверхности
при движении по
любому замкнутому
пути, лежащем на
поверхности и
выходящем из этой
точки,
мы
возвращаемся в эту
точку с тем же
направлением
нормали.

7.

В
дальнейшем
будут
рассматриваться
только
двухсторонние поверхности.
Определение. Поверхность с выбранной стороной
(совокупностью нормалей) называется
ориентированной
поверхностью.
В
любой
обыкновенной точке гладкой поверхности существует
касательная плоскость.
Нормалью к поверхности Ф в точке M0 называется
прямая, проходящая через M0 и перпендикулярная к
касательной плоскости в M0. Вектором нормали к
поверхности в точке M0 будем называть любой
ненулевой вектор, коллинеарный нормали в M0.
Пусть M0 — обыкновенная точка гладкой поверхности
Ф. Тогда, вектор N = [ru, rv]

8.

Понятие площади поверхности.
Пусть Ф —ограниченная полная
двусторонняя поверхность. Разобьем
Ф кусочно-гладкими кривыми на
конечное число частей Фi, каждая из
которых однозначно проецируется
на
касательную
плоскость,
проходящую через любую точку
этой части. Обозначим через
максимальный из размеров частей
Фi, а через Qi — площадь проекции
Фi на касательную плоскость в
некоторой точке Mi части Фi.
Составим далее сумму Qi всех
указанных площадей.

9.

Площадь а поверхности может быть найдена по
формуле
Если поверхность задана в явном виде вычислить по
формуле

10.

Поверхностные интегралы
Пусть Ф — гладкая, ограниченная полная двусторонняя поверхность. Пусть
на Ф задана функция f(M) точки М поверхности Ф. Обозначим через n(М)
непрерывное векторное поле единичных нормалей к Ф. Разобьем поверхность
Ф кусочно-гладкими кривыми на части Фi и на каждой такой части выберем
произвольно точку Мi. Введем следующие обозначения: — максимальный
размер частей Фi; Qi— площадь Фi; i, i, i - углы, которые составляет с осями
координат вектор n(Mi).
Составим следующие четыре суммы:

11.

Определение. Число I называется пределом сумм при 0, если для любого
> 0 можно указать такое > 0, что для любых разбиений поверхности Ф
кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф i, максимальный
размер которых меньше , независимо от выбора точек Mi на частях Фi
выполняется неравенство .
Предел сумм при 0 называется поверхностным интегралом первого рода
от функции f(M) по поверхности Ф и обозначается следующим образом:
Пределы сумм остальных сумм при 0 называются поверхностными
интегралами второго рода от функции f(М) по поверхности Ф. Для этих
интегралов соответственно используются обозначения
или