Кинематика. Раздел теоретической механики, в котором изучается движение

1.

КИНЕМАТИКА
КИНЕМАТИКА

2.

Кинематика
Кинематика
Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение точек и тел без учета их
масс и действующих на них сил.
Основные задачи кинематики:
• Задать закон движения тела.
• По этому закону найти основные кинематические характеристики (траекторию, скорость, ускорение).

3. Способы задания движения точки

Кинематика
Кинематика точки
точки
Способы задания движения точки
• 1) Векторный.
• 2) Координатный.
• 3) Естественный.

4. Векторный способ задания движения точки

Кинематика
Кинематика точки
точки
Векторный способ задания движения
точки
М
r
О
r = r(t)

5.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Скорость точки
V
M
Z
r( t )
Dr
M1
Vср
r (t + Dt )
o
X
Y

6.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Ускорение точки
M1
v1
Dv
v2
Dv
acp =
Dt
M2
v2
Dv
Dt

7.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Координатный способ задания движения точки
z
x = x(t );
М
z
О
x
y
x
y
y = y (t );
z = z (t ).

8.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Связь между координатным и
векторным способами
z
r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k
r
k
i
x
j
y
M
z
x
y

9.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Скорость точки при координатном способе задания движения
dr dx
dy
dz
V =
= i+
j+ k
dt dt
dt
dt
dx
Vx =
dt
dy
Vy =
dt
dz
Vz =
dt

10.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Другая форма записи:
Vx = x&; Vy = y&; Vz = z&;
(Точка означает производную по времени)
Проекции скорости на оси координат равны
первым производным от соответствующих
координат по времени
Модуль скорости и угол между вектором и
координатными осями:
V = x& + y& + z& ;
2
2
2
x&
cos( i V ) = .
V
Ù

11.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Ускорение точки
2
dV d r
a=
= 2
dt
dt
& j + V&k = &
&+ &
&.
a = V&
i
+
V
xi
y&j + &
zk
x
y
z
&= &
&= &
&
&
&
ax = V&
=
x
;
a
=
V
y
;
a
=
V
z&
;
x
y
y
z
z
a= &
x& + &
y& + &
z&;
2
2
2
&
x&
cos( i a ) = .
a
Ù

12.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Проекции ускорения на оси координат равны
первым производным от проекций скорости или
вторым
производным
соответствующих
координат точки по времени

13.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Естественный способ задания движения точки
Задается:
• траектория движения;
• начало и положительное направление
отсчета;
• закон движения точки по траектории:
S=S(t).

14.

Кинематика
Кинематика точки
точки
AM = S (t )
M
z
+
A
y
x

15.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Скорость точки при естественном способе задания движения
O
M
s
s1
s1 - s Ds
vcp =
=
t1 - t Dt
Ds
M1
Ds ds
v = lim
=
= s&
Dt ® 0 Dt
dt
Численная величина скорости точки в данный момент
времени равна первой производной от расстояния
(криволинейной координаты) s точки по времени

16.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Ускорение точки
Естественный трехгранник
I
II
I-соприкасающаяся плоскость
II-нормальная плоскость
III-спрямляющая плоскость
Единичные векторы:
+
n
M
b
t
III

17.

Кинематика
Кинематика точки
точки
2
&
s
&
a =V = &
s&×t + n .
r
at = &
s&
t;
s&
an = n .
r
a = at + an .
at ^ an
2
О
+
at
&
s&< 0
a
an
n
r
М
t
V
s&> 0

18.

Кинематика
Кинематика точки
точки
Проекция ускорения точки на касательную равна
первой производной от численной величины скорости
или второй производной от расстояния (криволинейной
координаты) s точки по времени, а проекция ускорения
на главную нормаль равна квадрату скорости,
деленному на радиус кривизны треактории в данной
точке кривой

19.

Кинематика
Кинематика точки
точки
При координатном задании движения могут быть
использованы также цилиндрические и сферические
координаты, а при движении точки в плоскости –
полярные.

20. Цилиндрическая система координат

Кинематика
Кинематика точки
точки
Цилиндрическая система координат
z
Закон движения:
r = r t ,
= t ,
z = z t.
.
M
z
O
x
r
y
Формулы перехода к декартовым координатам:
x = r cos f ,
y = r sin f ,
z = z.

21. Сферическая система координат

Кинематика
Кинематика точки
точки
Сферическая система координат
z
Закон движения:
.
M
r
O
x
y
r = r t ,
= t ,
= t .
Формулы перехода к декартовым координатам:
x = r cos cos f ,
y = r cos sin f ,
z = r sin .

22. Полярные координаты

Кинематика
Кинематика точки
точки
Полярные координаты
Их иногда используют при движении точки в
плоскости.
Закон движения:
y
М
.
r
O
r = r t ,
= t .
x
Формулы перехода к декартовым координатам:
x = r cos f ,
y = r sin f .