Уравнение плоскости

1.

Уравнение плоскости
Точка на плоскости: M0 (x0, y0, z0) ;
Произвольная точка на плоскости: M (x, y, z) ;
Нормаль к плоскости: N (A, B, C) ;
Найти: уравнение плоскости.
Вектор на плоскости: M0M (x x0 , y y 0 , z z 0 ) ;
N M0M = 0 ; A (x x0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) = 0 ;
D A x0 B y 0 C z 0 .
Общее уравнение плоскости:
A x + B y + C z D = 0

2.

Уравнение плоскости в отрезках
A x + B y + C z D = 0 ; A x + B y + C z = D ;
A
B
C
D
D
D
x y z =1 ; a =
; b= ; c= ;
D
D
D
A
B
C
x y z
+ + =1
a b c
Если y = 0, z = 0 , то x = a .
Если x = 0, z = 0 , то y = b .
Если x = 0, y = 0 , то z = c .
Плоскость отсекает от осей координат отрезки a , b , c .

3.

Задача 1. Дано: M0 (1, – 5, 6) ;
N (4, 2, 3) ;
Найти: уравнение плоскости, проходящей через т. M0
перпендикулярно вектору N .
Решение. Пусть: M0 (x0, y0, z0) - точка на плоскости ;
N (A, B, C) нормаль к плоскости .
Расчетная формула (уравнение плоскости):
A (x x0 ) + B (y y 0 ) + C (z z 0 ) = 0 ;
4 (x 1) + 2 (y + 5) - 3 (z 6) = 0 .
Ответ : 4 x + 2 y 3 z + 24 = 0

4.

Задача 2. Даны две плоскости:
2x + 3y – 2z – 4 = 0
(1)
13x – 8y + z + 44 = 0
(2)
Найти: угол между плоскостями .
Решение. Пусть: N1 , N2 нормали к плоскостям ;
Тогда:
N1 (2, 3, 2) ; N2 (13, 8, 1) ;
N1 N2 2 13 3 8 2 = 0 .
Нормали к плоскостям перпендикулярны.
Ответ: плоскости перпендикулярны.

5.

Задача 3. Даны две плоскости:
6x + 4y – 14z + 16 = 0
3x + 2y – 7z + 32 = 0
(1)
(2)
Найти: угол между плоскостями .
Решение. Пусть: N1 , N2 нормали к плоскостям ;
Тогда:
N1 (6, 4, 14) ; N2 (3, 2, 7) ;
Нормали коллинеарны:
N1 2 N2 .
Плоскости не совпадают : см. уравнение плоскости в
отрезках.
Ответ: плоскости параллельны.

6.

Задача 4. Даны две плоскости: x – z = 0 ; y – z = 0 .
Найти: угол между плоскостями α .
Решение. Пусть:
Тогда:
N1 , N2 нормали к плоскостям ;
N1 (1, 0, 1) ; N2 (0, 1, 1) ;
N1 N 2
cosα =
;
N1 N 2
N1 N2 0 + 0 1 = 1 .
N1 = 1+ 0 +1 = 2 ; N2 = 0 +1+1 = 2 ;
cosα = 1/2 ;
α = π/3

7.

Задача 5. Найти уравнение плоскости, отсекающей
от координатных осей x, y, z соответственно отрезки
2, 3, 4 .
Решение. Уравнение плоскости в отрезках:
x y z
+ + =1 ;
a b c
a=2;b=3;c=4.
x y z
Ответ : + + = 1 .
2 3 4