Исследование устойчивости методом Ляпунова

1. Исследование устойчивости методом Ляпунова

2.

Двумерный случай
x f1 ( x, y );
y f 2 ( x, y ).
x const ;
y const.
f1 ( x, y ) 0;
f 2 ( x, y ) 0.
«Точка
неподвижности»
«Точка неподвижности» — (0;0)
v
u

3.

Теорема Ляпунова об устойчивости
Нулевое решение (0;0) асимптотически
устойчиво

4.

Вычисление полной производной
dL L
L
x
y
dt x
y
x f1 ( x, y );
y f 2 ( x, y ).
L
L
f1 ( x, y )
f 2 ( x, y )
x
y

5.

Геометрический смысл функции Ляпунова
dL
0
dt
L
y
Линии уровня
L=0
x
L=C>0

6.

Пример применения теоремы Ляпунова
x x y;
3
y x y .
3
x y
L ( x, y )
0
2
L
L
y
x
y
x
2
2
dL
x x y y
dt
3
3
x x y y x y
x y 0
4
4

7.

Теорема Ляпунова о неустойчивости
Нулевое решение (0;0) неустойчиво

8.

Пример применения теоремы Ляпунова
x x y;
3
y x y .
3
x y
V ( x, y )
0
2
V
V
y
x
y
x
2
2
dV
x x y y
dt
3
3
4
4
x x y y x y x y 0

9.

Геометрическая интерпретация

10.

Недостаточность линейного приближения
x x y;
3
y x y .
3
3 x
1
стационарная
точка (0;0)
У
Н
1
2
3 y
Матрица
Якоби
Матрица
линеаризованной
системы:
0 1
1 0
2
x x y;
3
y x y .
3
3x
1
2
1
2
3y
1,2 i
«Центр»

11.

Теорема Четаева
y
V>0
D
V=0
O — предельная точка D
x
dV
0
dt
( x, y ) D
Нулевое
решение
неустойчиво

12.

Применение теоремы Четаева
x x xy ;
3
2
y x y y .
3
2
x y
V ( x, y )
2
2
| x | | y |
2
V
x
x
V
y
y

13.

Применение теоремы Четаева
V
x x xy ; V
y
x
3
2
x
y
.
y
y
x
y
dV
3
2
2
3
x x xy y x y y
dt
3
2
x x y x y y x y 0
при | x | | y |
4
2
2
2
2
4
4
Нулевое решение неустойчиво
4

14.

Применение теоремы Четаева
x y
V ( x, y )
2
2
V 0
y
V 0
x
2

15.

Построение функции Ляпунова
u Ax Bxy Cy
2
x
x
2
u y A B C
y
y
2
Условие сохранения знака: D B 4 AC 0
2
2

16.

Построение функции Ляпунова

17.

Построение функции Ляпунова
dL
(2 x By ) x 4 y
dt
( Bx 2Cy ) x 2 y
2 x 8 xy Bxy 4 By
2
2
Bx 2 Bxy 2Cxy 4Cy
2
2
(2 B) x (8 B 2C ) xy (4 B 4C ) y
2
B 2
B C
2

18.

Построение функции Ляпунова
B 4C (8 B 2C ) 4(2 B)(4 B 4C )
2 B C
C B
B 2
2
2
C
2
B
C
4
B
2
B 3
Подбор:
C 4

19.

Построение функции Ляпунова
B 4C 2 B C
2
(8 B 2C ) 4(2 B)(4 B 4C )
Подбор:
B 3
C 4
2
(8 3 8) 4(2 3)(12 16)? 9 16
2
L( x, y ) x 3 xy 4 y 0
2
2
dL
2
2
(2 B) x (8 B 2C ) xy (4 B 4C ) y
dt
dL
2
2
x 3 xy 4 y 0
dt

20.

Геометрическая интепретация
y
x